2019届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：24

2019届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：24

（山东省德州市 2019 届高三期末联考数学（文科）试题） 8.已知直线 表示不同的直线， 表示不同的平面，下列命题： ①若 ， ，则 ；②若 ， ，则 ； ③若 ，且 ，则 ；④若 ， ，则 . 其中正确的命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 利用线面，面面平行和线面垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择． 【详解】由直线 l，m 表示不同的直线， α ， β 表示不同的平面，知： 在 ① 中，若 1∥ β ，m∥l，则 m∥ β 或 m ⊂β ，故 ① 错误； 在 ② 中，l∥ α ， α ∥ β ，则 l∥ β 或 l ⊂β ，故 ② 错误； 在 ③ 中，若 l⊥ β ，且 α ⊥ β ，则 l∥ α 或 l ⊂α ，故 ③ 错误； 在 ④ 中，若 l⊥ α ， α ∥ β ，则由线面垂直的判定定理得 l⊥ β ，故 ④ 正确． 故选：A． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查空间想象能力，是中档题． （福建省宁德市 2019 届高三第一学期期末质量检测数学理科试题） 10.若四面体的三视图如图所示，则以下判断中，正确的是（ ） A. 该四面体的所有对棱都互相垂直 B. 该四面体恰有三个面是直角三角形 C. 该四面体中，棱与面互相垂直的恰有两对 D. 该四面体中，面与面互相垂直的恰有四对 【答案】C 【解析】 【分析】 本道题结合三视图，还原直观图，分析，即可。 【详解】结合三视图，还原直观图，得到： 图中 O-ABC 即为原图，A 选项错误，如 AB 和 OC 不垂直；B 选项四个面都是直角三角形， 错误；C 选项棱和面互相垂直的有 AO 与平面 OCB,BC 和平面 ABO，故正确；D 选项面面 垂直有 2 对，故错误。故选 C。 【点睛】本道题考查了三视图还原直观图，难度较小。 （湖北省 2019 届高三 1 月联考测试数学（理）试题） 11.如图，在等腰 中，斜边 ， 为直角边 上的一点，将 沿直线 折叠 至 的位置，使得点 在平面 外，且点 在平面 上的射影 在线段 上设 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 推导出 AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AC1＝AC＝1，CD＝C1D ∈ （0，1），∠AC1D＝90°，CH⊥ 平面ABC，从而AH＜AC1＝1，当CD＝1时，B与D重合，AH ，当CD＜1时，AH ， 由此能求出 x 的取值范围． 【详解】解：∵在等腰 Rt△ABC 中，斜边 AB ，D 为直角边 BC 上的一点， ∴AC＝BC＝1，∠ACB＝90°， 将△ACD 沿直 AD 折叠至△AC1D 的位置，使得点 C1 在平面 ABD 外， 且点 C1 在平面 ABD 上的射影 H 在线段 AB 上，设 AH＝x， ∴AC1＝AC＝1，CD＝C1D ∈ （0，1），∠AC1D＝90°， CH⊥平面 ABC， ∴AH＜AC1＝1，故排除选项 A 和选项 C； 当 CD＝1 时，B 与 D 重合，AH ， 当 CD＜1 时，AH ， ∵D 为直角边 BC 上的一点， ∴CD ∈ （0，1），∴x 的取值范围是（ ，1）． 故选：B． 【点睛】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间 中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． （辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校 2019 届高三上学 期期末考试数学（文）试题） 16.如图，在四棱锥 中， 底面 ， 若 为棱 上一点，满足 ，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】 过 作 ，交 于 ，连接 ，根据 ，可得 平面 ，通过解三角形求得 的值，也即求得 的值. 【详解】过 作 ，交 于 ，连接 ，根据 ，可得 平面 ，故 ， 由于 ，所以 .由于 ，所以 .在直角三角形 中， ，所以 ，而 ，故 .根据前面证得 ， 可得 . 【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定，考查 线面垂直的证明，考查简单的解特殊角三角形的知识.属于基础题. （广东省广州市天河区 2019 届高三毕业班综合测试（二）理科数学试题） 9.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD 为矩形， E ， F 分别为 PA ， PD 的中点， 在此几何体中，给出下面 4 个结论： 直线 BE 与直线 CF 异面； 直线 BE 与直线 AF 异面； 直线 平面 PBC ； 平面 平面 PAD ． 其中正确的结论个数为 A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 【答案】C 【解析】 【分析】 把平面展开图还原回立体图形，根据异面直线的概念和线面关系的判定，依次判断各个选项， 得到正确结论的个数。 【详解】将平面展开图还原后可得立体图形如图所示： ① 为 中点 ，又四边形 为矩形 四点共面 直线 与 共面，不是异面直线，即①错误 ② 平面 ， 平面 ， ， 平面 直线 与直线 为异面直线，即②正确 ③ ， 平面 ， 平面 平面 ，即③正确 ④假设平面 平面 ，即平面 平面 又平面 平面 ，作 ，垂足为 ，可得 平面 但实际无法证得 平面 ，故假设不成立，即④错误 本题正确选项： 【点睛】本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系。关键在于熟悉异面直线的概念、线 面平行和垂直关系的判定定理。 （山东省泰安市 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题） 8.若 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】C 【解析】 试题分析：对于选项 A,当且仅当 平面 的交线的时，命题才成立，即原命题不成立； 对于选项 B，若 ，则直线 可能异面，可能平行还可能相交，所以原命题为假命 题；对于选项 C，由 ，可得平面 内一定存在直线与直线 平行，进而得出该 直线垂直于平面 ，所以原命题为真命题；对于选项 D，若 ，则平面 与平面 相交或垂直，所以原命题为假命题，故应选 ． 考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、空间直线与平面的位置关系． （西安市 2019 届高三年级第一次质量检测文科数学） 3.如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，E、F 分别为 BC、BB1 的中点，则下列直线中与直线 EF 相交的是（ ） （A）直线 AA1 （B）直线 A1B1 （C）直线 A1D1（D）直线 B1C1 【答案】D 【解析】 试题分析： 只有 与 在同一平面内，是相交的，其他 A，B，C 中直线与 都是异面直线，故选 D． 考点：异面直线 （安徽省江南十校 2019 届高三 3 月综合素质检测数学（文）试题） 10.如图所示，正方体 中，点 ， ， ， ， 分别为棱 ， ， ， ， 的中点.则下列叙述中正确的是（ ） A. 直线 平面 B. 直线 平面 C. 平面 平面 D. 平面 平面 【答案】B 【解析】 【分析】 将平面 扩展，可作出过 的正方体的截面，易证得 平面 . 【详解】过点 的截面如图所示（ 分别为 的中点） ， 平面 ， 平面 平面 本题正确选项： 【点睛】本题考察了直线与平面、平面与平面的平行的判定，关键在于能够准确地找到截面， 从而判断出结果. （陕西省咸阳市 2019 届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题） 6.设 ， 为两条不同直线， ， 为两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若 ， ，则 B. 若 ， ， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若 ， ， ，则 【答案】D 【解析】 【分析】 对四个选项分别进行判断，即可得出结论. 【详解】对于 A 项，平行于同一平面的两条直线的位置关系可以是平行、相交、异面的， 所以不正确； 对于 B 项，分别位于两个互相平行的平面内的两条直线可以是平行、相交、异面的，所以 不正确； 对于 C 项，平行于同一条直线的两个平面可以是相交的，可以是平行的，所以不正确； 对于 D 项，根据两个平面的法向量垂直时，两个平面是垂直的，可以得出若 ， ， ， 则 ，所以是正确的； 故选 D. 【点睛】该题考查的是有关空间关系的命题的正确性的判断问题，涉及到的知识点有线面平 行、面面平行以及垂直的判定和性质定理，依次分析选项，可得答案. （四川省成都市实验外国语学校 2019 届高三二诊模拟考试理科数学） 7.设 是两条直线， 是两个平面，则 的一个充分条件是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：A． 可能垂直也可能不垂直，平行都有可能；B． ；D． 可能垂直， 不垂直，或是平行都有可能；C． ， ，那么 ， ，那么 ，故 C 正确． 考点：线线，线面，面面位置关系 （安徽省合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测数学（文）试题） 18.如图，三棱台 的底面是正三角形，平面 平面 ， ， . （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）若 和梯形 的面积都等于 ，求三棱锥 的体积. 【答案】（I）见证明；（II） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）取 的中点为 ，连结 ，可证明四边形 为平行四边形，得 ，由等腰三 角形的性质得 ，可得 ，由面面垂直的性质可得 平面 ，从而可得结果； （ Ⅱ ） 由 三 棱 台 的 底 面 是 正 三 角 形 ， 且 ， 可 得 ， 由 此 ， .根据面积相等求得棱锥的高，利用棱 锥的体积公式可得结果. 【详解】（Ⅰ）取 的中点为 ，连结 . 由 是三棱台得，平面 平面 ，∴ . ∵ ， ∴ ， ∴四边形 为平行四边形，∴ . ∵ ， 为 的中点， ∴ ，∴ . ∵平面 平面 ，且交线为 ， 平面 ， ∴ 平面 ，而 平面 ， ∴ . （Ⅱ）∵三棱台 的底面是正三角形，且 ， ∴ ，∴ ， ∴ . 由（Ⅰ）知， 平面 . ∵正 的面积等于 ，∴ ， . ∵直角梯形 的面积等于 ， ∴ ，∴ ， ∴ . 【点睛】本题主要考查面面垂直证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直以及棱锥的体积，属 于中档题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面 面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明 直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用 面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交 线的直线垂直于另一个平面. （安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会 2019 届高三第二次联考数学（文）试题） 19.如图，ABCD 为矩形，点 A、E、B、F 共面，且 和 均为等腰直角三角形，且 90°． （Ⅰ）若平面 ABCD 平面 AEBF，证明平面 BCF 平面 ADF； （Ⅱ）问在线段 EC 上是否存在一点 G，使得 BG∥平面 CDF，若存在，求出此时三棱锥 G-ABE 与三棱锥 G-ADF 的体积之比． 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据 为矩形，结合面面垂直性质定理可得 平面 ，即 ，结合 ，即可得 平面 ，最后根据面面垂直判定定理可得结果；（Ⅱ）首先易得 平面 ，再证 平面 ，进而面面平行，延长 到点 ，使得 ，可得 是 平 行 四 边 形 ， 过 点 作 的 平 行 线 ， 交 于 点 ， 此 即 为 所 求 ， 通 过 可得结果. 【详解】（Ⅰ）∵ABCD 为矩形，∴BC⊥AB， 又∵平面 ABCD⊥平面 AEBF，BC 平面 ABCD，平面 ABCD∩平面 AEBF=AB， ∴BC⊥平面 AEBF， 又∵AF 平面 AEBF，∴BC⊥AF. ∵∠AFB=90°，即 AF⊥BF，且 BC、BF 平面 BCF，BC∩BF=B， ∴AF⊥平面 BCF 又∵AF 平面 ADF，∴平面 ADF 平面 BCF. （2）∵BC∥AD，AD 平面 ADF，∴BC∥平面 ADF. ∵ 和 均为等腰直角三角形，且 90°， ∴∠FAB=∠ABE=45°，∴AF∥BE，又 AF 平面 ADF，∴BE∥平面 ADF， ∵BC∩BE=B，∴平面 BCE∥平面 ADF. 延长 EB 到点 H，使得 BH =AF，又 BC AD，连 CH、HF，易证 ABHF 是平行四边形， ∴HF AB CD，∴HFDC 是平行四边形，∴CH∥DF. 过点 B 作 CH 的平行线，交 EC 于点 G，即 BG∥CH∥DF，（DF 平面 CDF） ∴BG∥平面 CDF，即此点 G 为所求的 G 点. 又 BE= ，∴EG= ，又 ， ， 故 .. 【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定，强调“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之 间可以相互转化，通过线线平行得到线面平行，等体积法求三棱锥的体积，考查了空间想象 能力，属于中档题. （河南省九师联盟 2019 届高三 2 月质量检测数学文试题） 19.如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， ， ， 是棱 的中点． （Ⅰ）证明：平面 平面 ； （Ⅱ）若 ，求点 到平面 的距离． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 试题分析：（1）证明 ， ，则 ，所以 ；（2）利用 ，求得 。 试题解析： （1）在矩形 ABCD 中， 又 又 （2）在 中， ， 是棱 的中点，∴ 由（1）知 平面 ，∴ . 又∵ ，∴ 平面 , ∥ , 面 ,而 面 , 所以，在 中， 设点 到平面 的距离为 所以点 到平面 的距离为 （河北省唐山市 2019 届高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题） 19.在直角三角形 中， 的中点，以 为折痕将 折起，使点 到 达点 的位置且 . （1）求证： ； （2）求 点到平面 的距离. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）在直角三角形中，求得 ，再由题意得 ，利用线面垂直判定定理，即可 求解； （2）利用等价法，把点 到平面 转化为三棱锥的高，即可求解. 【详解】（1）∵直角三角形 ABC 中，AB＝BC＝2， D 为 AC 的中点， ∴BD⊥CD， 又∵PB⊥CD，BD∩PB＝B， ∴CD⊥平面 PBD， 又因为 PD平面 PBD， ∴PD⊥CD． （2）∵AD⊥BD， ∴PD⊥BD． 又∵PD⊥CD，BD∩CD＝D， ∴PD⊥平面 BCD． 在直角三角形 ABC 中，AB＝BC＝2， 所以 PD＝AD＝ ，PB＝PC＝BC＝2． S△ABC＝2，S△PBC＝ ， 设 A 点到平面 PBC 的距离为 d， 由 VP-ABC＝VA-PBC 得， S△ABC×PD＝ S△PBC×d， ∴d＝ ＝ ． 即 A 点到平面 PBC 的距离为 ． 【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及点到平面的距离的求解，其中解 答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及利用等积法求解点到平面的距离是解答 的关键，着重考查了推理与论证能力，以及转化思想的应用. （山东省泰安市 2019 届 3 月高三第一轮复习质量检测数学文科试题） 18.如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面， ，E、F 分别为 和 BC 的 中点． 求证：平面 平面 ； 求证： 平面 ABE． 【答案】(1)见证明；(2)见证明 【解析】 【分析】 通过证明 平面 ，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面 平面 ； 取 AC 的中点 G，连结 G、FG，通过证明平面 平面 EAB，利用平面与平面平行的性 质定理证明 平面 ABE． 【详解】证明： 平面 ABC， 平面 ABC， 又 ， ， 平面 而 平面 ABE， 平面 平面 取 AC 的中点 G，连结 G、FG， 为 BC 的中点， 又 E 为 的中点 ，且 四边形 为平行四边形， ，因为 AB AE=A, =G, 平面 平面 EAB， 而 平面 ， 平面 EAB． 【点睛】本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理以及平面与平面平行的判定 和性质定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力． （河北省五个一名校联盟 2019 届高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题） 19.如图，在三棱锥 中， 面 ，∠BAC= ，且 =1，过 点作平面 ，分别交 于 点. （1）若 求证： 为 的中点； （2）在（1）的条件下，求点 到平面 的距离． 【答案】(1)见证明(2) 【解析】 【分析】 （1）取 中点 ，连接 ,证明 面 ，进而 ， ；（2）利用 等体积转化即可. 【详解】（1）取 中点 ，连接 ∵ ∴ ， ∵ 面 ， ∴ ，又 为 的中点， 为 的中点 （2）设点 到平面 的距离为 ， ∵ 为 的中点， 又 ， ，∴ ， ∵ ∴ 又 ， ，AM= ， 可得 边 上的高为 ， ∴ 由 ∴h= 【点睛】本题考查线面垂直的判定，点到面的距离，是中档题，熟练运用定理性质,及求 是关键. （西安市 2019 届高三年级第一次质量检测文科数学） 19.如图，多面体 中，底面 是菱形， ，四边形 是正方形且 平面 . （1）求证： 平面 ； （2）若 ，求多面体 的体积 . 【答案】（1）证明详见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由面面平行的判定定理先证明平面 平面 ，进而可得 平面 ； （2）将多面体 拆成两个四棱锥，由四棱锥的体积公式即可求出结果. 【详解】（1）证明： 是菱形， . 又 平面 ， 平面 ， 平面 .又 是正方形， . 平面 ， 平面 ， 平面 . 平面 ， 平面 平面 平面 ， 平面 . （2）解：连接 ，记 . 是菱形， ，且 . 由 平面 ， 平面 ， . 平面 ， 平面 ， ， 平面 于 ， 即 为四棱锥 的高. 由 是菱形， ，则 为等边三角形，由 ，则 ， ， ， ， 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定以及几何体的体积，证明线面垂直，有时需要先证面 面垂直，熟记判定定理以及体积公式即可，属于常考题型. （山东省泰安市 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题） 19.如图 1，在平行四边形 中， ， ，点 是 的中点，点 是 的 中点，分别沿 ． 将 和 折起，使得平面 平面 （点 在平面 的 同侧），连接 ，如图 2 所示． （1）求证： ； （2）当 ，且平面 平面 时，求三棱锥 的体 积． 【答案】（1）见解析；（2）1 【解析】 【分析】 （1）由已知可得△CBF 为等边三角形，连接 EF，由已知可得△BEF 为等边三角形．取 BF 的 中点 O，连接 OC，OE，可得 CO⊥BF，EO⊥BF．从而得到 BF⊥平面 COE，则 BF⊥CE； （2）由（1）知，CO⊥BF，结合条件可证 OE⊥BF，求得 ，利用锥体体积公式求解即可. 【详解】（1）∵四边形 为平行四边形， ，点 是 的中点， ∴ ，又 ，∴ 为等边三角形， 连接 ，由 ， ，得 为等边三角形． 取 的中点 ，连接 ，则 ． ∴ 平面 ，则 ； （2）由（1）知， ，又平面 平面 ， 则 平面 ，又 ， ∵ ， ∴ ． ∴三棱锥 的体积 ． 【点睛】本题考查空间中直线与直线的位置关系，几何体体积求解，考查空间想象能力与思 维能力，是中档题． （山东省菏泽市 2019 届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题） 18.如图，在四棱柱 中， 底面 ， ，四边形 是边长 为 4 的菱形， ， 分别是线段 的两个三等分点. （1）求证： 平面 ； （2）求四棱柱 的表面积. 【答案】（1）见证明；（2） 【解析】 【分析】 (1) 连接 与 交于点 ，则 为 的中点，连接 ，由比例关系可得 ，由线 面平行的判定定理即可得到证明；（2）分别求出四棱柱各个面的面积求和即可. 【详解】（1）证明：连接 与 交于点 ，则 为 的中点，连接 ， 因为 分别是线段 的两个三等分点， 所以 是线段 的中点， 又因为 是线段 的中点， 所以 ， 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （2）解：因为四边形 是边长为 4 的菱形， ，且 底面 ，所以侧面为 四个全等的矩形，所以四个侧面的面积为 因为 平面 ，连接 ， 所以四边形 是矩形，又 ， 所以四边形 是正方形， 所以 ， 所以 所以 所以四棱柱 的表面积为 【点睛】本题考查线面平行的判定定理的应用，考查柱体的表面积的计算方法，考查空间想 象能力和计算能力，属于基础题. （广东省揭阳市 2019 届高三一模数学（文科）试题） 18.如图，在四边形 ABED 中，AB//DE，AB BE，点 C 在 AB 上，且 AB CD，AC=BC=CD=2，现 将△ACD 沿 CD 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PE . （1）求证：平面 PBC 平面 DEBC； （2）求三棱锥 P-EBC 的体积. 【答案】（1）见解析； （2） . 【解析】 【分析】 （1）根据折叠前后关系得 PC⊥CD，根据平几知识得 BE//CD，即得 PC⊥BE，再利用线面垂 直判定定理得 EB⊥平面 PBC，最后根据面面垂直判定定理得结论，（2）先根据线面垂直 EB⊥ 平面 PBC 得高，再根据等积法以及三棱锥体积公式得结果. 【详解】（1）证明：∵AB⊥BE，AB⊥CD，∴BE//CD， ∵AC⊥CD，∴PC⊥CD，∴PC⊥BE， 又 BC⊥BE，PC∩BC=C， ∴EB⊥平面 PBC， 又∵EB 平面 DEBC，∴平面 PBC 平面 DEBC； （2）解法 1：∵AB//DE，结合 CD//EB 得 BE=CD=2， 由（1）知 EB⊥平面 PBC，∴EB⊥PB，由 PE 得 , ∴△PBC 为等边三角形， ∴ , ∴ . 解法 2：∵AB//DE，结合 CD//EB 得 BE=CD=2， 由（1）知 EB⊥平面 PBC，∴EB⊥PB，由 PE ， 得 , ∴△PBC 为等边三角形， 取 BC 的中点 O，连结 OP，则 ,∵PO⊥BC，∴PO⊥平面 EBCD， ∴ . 【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. （广东省汕尾市普通高中 2019 年 3 月高三教学质量检测文科数学试题） 18.如图，直三棱柱 中， ， 是 中点． 证明： 平面 ； 线段 上是否存在点 ，使三棱锥 的体积为 ？若存在，确定点 的位置；若 不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2） 为 的中点 .【解析】 【分析】 连接 ，与 交于点 O ，连接 OD ， ，由三角形中位线定理可得 ，再由 线面平行的判定可得 平面 ； 连接 ，假设线段 上存在点 N ，使得三棱锥 的体积为 ，设 N 到平面 的距离为 h ，由三棱锥 的体积为 求得 h ，进一步求得 N 为 的中点得结论． 【详解】 证明：如图，连接 ，与 交于点 O ，连接 OD ， ， 在 中， O 和 D 分别是 和 CB 的中点，则 ， 又 平面 ， 平面 ； 解：连接 ，假设线段 上存在点 N ，使得三棱锥 的体积为 ， 设 N 到平面 的距离为 h ， 由题意可知， 为等边三角形， 又 D 为 BC 的中点， ． 又三棱柱 为直三棱柱， ， 故 AD 平面 ， 为直角三角形， ， ， 的面积为 ，由三棱锥的体积公式可知， ， ． 又 平面 ， 平面 平面 ， 故点 N 到平面 的距离与点 N 到直线 的距离相等， 又 为等腰直角三角形， 点 C 到直线 的距离为 ． 又点 B 与点 C 到到平面 的距离相等，故点 B 到直线 的距离也为 ， 当 N 为 的中点时，点 N 到平面 的距离为 ，三棱锥 的体积为 ． 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积 法求多面体的体积，是中档题． （陕西省宝鸡市 2019 届高三高考模拟检测（二）数学（文科）试题） 19.如图所示：在五面体 ABCDEF 中，四边形 EDCF 是正方形，AD＝DE＝1，∠ADE＝90°，∠ADC ＝∠DCB＝120°． （Ⅰ）求证：平面 ABCD⊥平面 EDCF； （Ⅱ）求三棱锥 A－BDF 的体积． 【答案】（1）见解析：（2） 【解析】 【分析】 （1）推导出 AD⊥DE，CD⊥DE，从而 DE⊥平面 ABCD，由此能证明平面 ABCD⊥平面 EDCF，（2） 三棱锥 A﹣BDF 的体积 VA﹣BDF＝VF﹣ABD ，由此能求出结果． 【详解】（1）证明：∵在五面体 ABCDEF 中，四边形 EDCF 是正方形，∠ADE＝90°， ∴AD⊥DE，CD⊥DE， ∵AD∩CD＝D，∴DE⊥平面 ABCD， ∵DE ⊂ 平面 EDCF，∴平面 ABCD⊥平面 EDCF． （2） 由(１)知 DE⊥平面 ，所以 平面 . 等腰三角形 又 DC∥EF， 平面 ABFE， 平面 ABFE，所以 DC∥平面 ABFE. 又平面 ABCD∩平面 ABFE=AB，故 AB∥CD.所以四边形 为等腰梯形.又 AD=DE，所以 AD=CD ＝ＣＢ，由 ,在等腰 中由余弦定理得ＢＤ＝ ， ＡＤ ＢＤ，所以三棱锥 的体积为 . 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面 面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． （江西省上饶市重点中学 2019 届高三六校第一次联考数学（文）试卷） 19.如图所示，在边长为 2 的菱形 中， ，现将 沿 边折到 的位置． （1）求证： ； （2）求三棱锥 体积的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）1 【解析】 【分析】 （1）取 的中点为 ，连接 ，由线面垂直的判定定理即可证出. （2）由体积相等转化为 即可求出. 【详解】（1）如图所示， 取 的中点为 ，连接 ，易得 ， ,又 面 （2）由（1）知 ， = ,当 时， 的最大值为 1. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和等体积转化思想，属于基础题. （湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三上学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题） 19.如图，在多边形 中（图 1）， 为长方形， 为正三角形 ， 现以 为折痕将 折起，使点 在平面 内的射影恰好在 上（图 2）. （Ⅰ）证明： 平面 ； （Ⅱ）若点 在线段 上，且 ，当点 在线段 上运动时，求三棱锥 的体 积. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）3 【解析】 【分析】 （Ⅰ）利用点 在平面 内的射影恰好在 上，过 P 作 AD 的垂线段 PO，由此证得 ， 再计算出 ， ，从而证得 ，命题得证。 （Ⅱ）求出点 到底面 的距离 ，利用 计算，问题得解。 【详解】解：（Ⅰ）过点 作 ，垂足为 . 由于点 在平面 内的射影恰好在 上， ∴ 平面 . ∴ . ∵四边形 为矩形，∴ . 又 ，∴ 平面 ， ∴ . 又由 ， ，可得 ，同理 . 又 ，∴ ，∴ ，且 ， ∴ 平面 . （Ⅱ）设点 到底面 的距离为 ， 则 . 由 ，可知 ， ∴ . 又 ， ∴ . 【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质、线面垂直的判定，考查了转化思想，体积计算， 考查计算能力，属于基础题。 （湖南省长望浏宁四县 2019 年高三 3 月调研考试 数学（文科）试题） 19.如图所示的几何体中，ABC-A1B1C1 为三棱柱，且 AA1⊥平面 ABC， AA1=AC，四边形 ABCD 为平行四边形，AD=2CD=4，∠ADC=60°. （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求三棱锥 的体积． 【答案】（1）见解析；（2）4 【解析】 【分析】 （1）推导出 AC1⊥A1C，AC⊥AB，AA1⊥AB，从而 AB⊥平面 ACC1A1，进而 A1B1⊥AC1，由 此能证明 AC1⊥平面 A1B1CD． （2）由 CD＝2，得 AD＝4，AC＝AA1 2 ，三棱谁 C1﹣A1CD 的体积： ，由此能求出结果． 【详解】(1)∵ 为三棱柱，且 平面 ABC， ， 四边形 ABCD 为平行四边形， ， ． 是正方形， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， 平面 ， ， ， 平面 ． 解：(2)∵ ， ， ， 三棱谁 的体积： ， ． 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面 面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． （山东省烟台市 2018 届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题） 18.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 3,E,F 分别为 CC1,BB1 上的的点,且 EC=3FB=3,点 M 是线段 AC 上的动点 (1)试确定点 M 的位置,使 BM//平面 AEF,并说明理由 (2)若 M 为满足(1)中条件的点,求三棱锥 M 一 AEF 的体积. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 试题分析：（1）在 AE 上找一点 N,及 AC 上点 M，使得 BFNM 是平行四边形，即满足条件， 即在平面 AEF 中找一条直线 FN//BM.(2) ., 平 面 ,所以 。 试题解析：（1）当点 是线段 靠近点 的三等分点时， 平面 . 事实上，在 上取点 ,使 ,于是 , 所以 且 . 由题意知， 且 ，所以 且 ， 所以四边形 为平行四边形，所以 . 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . （2）连接 .因为三棱柱 是正三棱柱， 所以 平面 . 所以 . 取 的中点 ，连接 ，则 .. 因为三棱柱 是正三棱柱，所以 平面 . 又 平面 ，所以 . 因为 ， ， ， 所以 平面 . 所以 为三棱锥 的高. 又在正三角形 中， . . 【点睛】存在性问题寻找，常用性质定理寻找存在的那个条件。再用判定定理证明。 高中两个图形求体积常用换底转化方法，一个是三棱锥，另一个是平行六面体。同时要注意 割补法做复杂图形的体积问题。 （辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校 2019 届高三上学 期期末考试数学（文）试题） 19.如图，直角梯形 与等腰直角三角形 所在的平面互相垂直. . （1）求证： ； （2）求证：平面 平面 ； （3）线段 上是否存在点 ，使 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理 由. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）存在点 ，且 时，有 平面 【解析】 【分析】 （1）设 是 中点，连接 ，通过证明 及 ，证得 平面 ，由 此证得 .（2）通过证明 平面 ，证得 ，而 ，故 平面 ， 由此证得平面 平面 .（3）连 交 于 ，由比例得 ，故只需 ，即 时， ,即有 平面 . 【详解】解：（1）证明：取 中点 ，连结 .由等腰直角三角形 可得 ∵ ，∴ ， ∵四边形 为直角梯形， ， ∴四边形 为正方形，所以 ， 平面 ， ∴ . （2）∵平面 平面 ，平面 平面 ，且 ， ∴ 平面 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ 平面 ， 平面 ， ∴平面 平面 ； （3）解：存在点 ，且 时，有 平面 ， 连 交 于 ， ∵四边形 为直角梯形， ， ∴ ， 又 ，∴ ， ∴ ， ∵ 平面 平面 ， ∴ 平面 . 【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直的证 明，考查空间两个平面垂直的证明，考查线面平行的存在性问题.要证明空间两条直线垂直， 主要方法是通过线面垂直来证明，也即通过证明直线垂直于另一条直线所在的平面，来证明 线线垂直.要证明面面垂直，则是通过证明线面垂直来证明. （福建省宁德市 2019 届高三第一学期期末质量检测数学文科试题） 18.如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， 为 的中点. （Ⅰ）证明： 平面 ； （Ⅱ）若线段 上的点 满足 ，求棱锥 的体积. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ） 【解析】 【分析】 解法一：（I）证明 BC 分别垂直平面 PAC 的两条直线，结合直线与平面垂直的判定，即可。 （II）结合直线与平面垂直判定，计算得到 MG 垂直平面 ABC，进而计算 面积，利用 ，即可。解法二：（I）同解法一（II）结合直线与平面垂直 判定，得到 平面 ，利用 【详解】解法一：（Ⅰ）在 中，∵ ， ， ， ∴ ， ∴ . 连接 ∵ 为 的中点， ， ∴ . 又∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 . ∴ 平面 ， ∴ . 又 ， ∴ 平面 . （Ⅱ）在 中， ∵ ， ， ∴ . 过 作 于 ， 则 . ∵ 平面 ， ∴ 平面 . ∵ ， ∴ . 由（Ⅰ）得 平面 ，∴ ， ∵ ， ∴ . 解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 平面 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ 平面 . 又 为 的中点， ∴三棱锥 的高 . ∵ ， ∴ . . 【点睛】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系， 几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与 转化思想等. （山东省潍坊市 2019 届高三上学期期末测试数学（文科）试题） 18.如图，四棱锥 中，底面 是平行四边形， ， ， 底 面 . （1）求证：平面 平面 ； （2）若 ，求三棱锥 的高. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】 (1)分别证明 AD 垂直 EC,AC,然后结合平面与平面判定,即可.(2)法一,利用 , 即可.法二,证明得到 为三棱锥 的高,即可. 【详解】证明：（1）因为在平行四边形 中， ， ，由余弦定理可得： ， 所以 ，所以 ， 故 ， 又因为 底面 ，所以 ， 又因为 ，所以 平面 ， 所以平面 平面 . （2）因为 ，所以 ， 又因为 ，所以 ， 所以 . （法一）设三棱锥 的高为 ， 由 可得： ， 解得 ， 所以三棱锥 的高为 . （法二）在 内，作 ，垂足为 ， 由（1）知平面 平面 ，又平面 平面 ， 所以 平面 ， 所以 为三棱锥 的高， 故在 中， ， 即 ， 解得 ， 所以三棱锥 的高为 . 【点睛】本道题考查了平面与平面垂直判定以及性质,难度中等. （山东省德州市 2019 届高三期末联考数学（文科）试题） 19.如图，四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， ， 为线段 上一点， ， 是线段 的中点. （1）证明： 平面 ； （2）若 ，求四面体 的体积. 【答案】（1）见证明；（2） 【解析】 【分析】 （1）取 AP 中点 H，连结 HN，HB，推导出 BMNH 为平行四边形，从而 MN∥BH,利用线面平行 的判定定理即可得到证明；（2）取 AB 中点 O，连结 OM，过 O 作 OE⊥BM，推导 PO⊥面 ABCD， 由体积公式 计算即可求得结果. 【详解】（1）证明：由已知得： ， 取 中点 ，连接 ，由 为中点知， ， ， 又 ，所以 ，且 ，即 为平行四边形， 所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 （2）取 中点 ，连接 ，过 作 ， ∵ ，∴ ， 又平面 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 又 ，且 ， ∴ 平面 ， ∴ 中， ， ， ∴ ， ∴ 中， ， 由 ， 到 的距离为 ∴ ， ∴ 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面 面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． （湖南省长沙市 2019 届上学期高三统一检测理科数学试题） 12.设正方体 的棱长为 ， 为 的中点， 为直线 上一点， 为平面 内一点，则 ， 两点间距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本道题结合直线与平面平行判定，证明距离最短即为计算 与 OE 的距离，计算，即可。 【详解】结合题意，绘制图形 结合题意可知 OE 是三角形 中位线，题目计算距离最短，即求 OE 与 两平行线的距 离， ，所以距离 d，结合三角形面积计算公式可得 ，解得 ，故选 B。 【点睛】本道题考查了直线与平面平行的判定，难度较大。 （湖南省长沙市 2019 届高三上学期统一检测文科数学试题） 15.在正方体 中，点 在线段 上运动，则异面直线 与 所成角的取值 范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 由 得 为异面直线 与 所成角，求解即可. 【详解】在正方体中，连 、 ，则 ，所以 为异面直线 与 所成角， 点 与 重合， 最大，且最大为 ，当点 与 无限接近时， 趋近于零，故异面直 线 与 所成角的取值范围是 . 故答案为： 【点睛】本题考查异面直线所成角，求异面直线所成角先要利用三角形中位线定理以及平行 四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解. （湖南省长沙市 2019 届高三上学期统一检测文科数学试题） 5.设 ， ， 表示不同直线， ， 表示不同平面，下列命题： ①若 ， ，则 ；②若 ， ，则 ； ③若 ， ，则 ；④若 ， ， ，则 . 真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 利用线面平行和线线平行的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择． 【详解】对于①,由平行公理 4,可知正确； 对于②，若 a ⊂α ，显然结论不成立，故②错误； 对于③，若 a∥ α ，b∥ α ，则 a，b 可能平行，可能相交，可能异面，故③错误； 对于④，a∥β，a ⊂ α，b ⊂ β，a 与 b 平行或异面，故④错误； 真命题的个数为 1 个， 故选：A. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查 空间想象能力，是中档题． （湖北省宜昌市 2019 届高三元月调研考试理科数学试题） 10.如图，在各棱长都相等的直三棱柱 中，点 、 分别为 、 的中点，平 面 与平面 的交线为 ，则 与 所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 延长 NM 交 BC 于 Q 点，连接 AQ，则平面 与平面 的交线为 AQ，∠AQB 即为所求. 【详解】 延长 NM 交 BC 于 Q 点，连接 AQ， 则平面 与平面 的交线为 AQ， 又 ∴∠AQB 即为所求， 在△AQB 中，∠ABQ=120°，设 AB=2，则 BQ=1 ∴AQ= ∴cos∠AQB= 故选：D 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般．求异面直线所成角的步骤:1 平移, 将两条异面直线平移成相交直线．2 定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．3 求角, 在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．4 结论． （广东省清远市 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题） 11.在正方体 中， 分别在是线段 的中点，以下结论：①直线 丄直线 ；②直线 与直线 异面；③直线 丄平面 ；④ ，其中 正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 在平面 内作出 的平行直线 ，根据中位线得到 ，由此得到②错误.根据 平面 得到①③正确，利用中位线及勾股定理证得④正确.由此得出正确的个数为 个. 【详解】过 作 交 于 ，过 作 交 于 ，连接 .由于 分 别为 的中点，故 ，故四边形 为矩形，故 ，由于 ， 故②判断错误.由于 ，所以 平面 ，所以 且直线 丄 平面 ，即①③正确.由勾股定理得 ，故 ，故④判断正确. 综上所述，正确的个数为 个，故选 C. 【点睛】本小题主要考查空间两条异面直线垂直的判断，考查直线与直线平行的判断，考查 线面垂直的证明，属于基础题.要判断两条异面直线垂直，往往是通过线面垂直来证明，要 证明线线平行，可以考虑用中位线来证明，要证明线面垂直则需要证明垂直平面内两条相交 直线来证明. （广东省揭阳市 2018-2019 学年高中毕业班学业水平考试理科数学试题） 12.如图，在三棱柱 中， 底面 ，∠ACB=90°， 为 上的动点，则 的最小值为( ) A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 易得 平面 ，故∠ .将二面角 沿 展开成平面图形， 此时 的长度即 的最小值，利用余弦定理求出这个最小值. 【详解】由题设知△ 为等腰直角三角形，又 平面 ，故∠ =90°，将 二面角 沿 展开成平面图形， 得四边形 如图示，由此， 要取得最小值，当且仅当 三点共线，由题 设知∠ , 由余弦定理得 . 【点睛】本小题主要考查空间线面垂直关系的证明，考查空间两条线段长度和的最小值的求 法，属于中档题. （福建省厦门市 2019 届高三第一学期期末质检文科数学试题） 7.在长方体 中， ， ， ， 分别为棱 ， 的中点， 则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 在正方体 中，连接 CF、AC、EF，则 BE//CF，把异面直线 AF 与 BE 所成 的角，转化为相交直线 AF 与 CF 所成的角，在 中，利用余弦定理求解，即可得到答 案。 【详解】在正方体 中，连接 CF、AC、EF， 则 BE//CF， 所以异面直线 AF 与 BE 所成的角，即为相交直线 AF 与 CF 所成的角， 设角 , 在正方体 中，得 ， 在 中，由余弦定理可得 ， 即异面直线 AF 与 BE 所成的角的余弦值为 0，故选 A。 【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角，其中解答中利用平移把异面 直线所成的角转化为相交直线所成的角，放置在三角形中利用正、余弦定理求解是解答的关 键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. （福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学文试题） 5.设 ， 是条不同的直线， 是一个平面，以下命题正确的是（ ） A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则 【答案】D 【解析】 【分析】 逐项进行分析，在 A 中，l 与 m 相交、平行或异面；在 B 中，m 与α相交、平行或 m ⊂ α；在 C 中，m∥α或 m ⊂ α；在 D 中，由线面垂直的性质定理得 l∥m． 【详解】由 l，m 是条不同的直线，α是一个平面，知： 在 A 中，若 l∥α，m∥α，则 l 与 m 相交、平行或异面，故 A 错误； 在 B 中，若 l∥α，m⊥l，则 m 与α相交、平行或 m ⊂ α，故 B 错误； 在 C 中，若 l⊥α，m⊥l，则 m∥α或 m ⊂ α，故 C 错误； 在 D 中，若 l⊥α，m⊥α，则由线面垂直的性质定理得 l∥m，故 D 正确． 故选：D． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题． （湖南师范大学附属中学 2019 届高三上学期月考（四）数学（理）试题） 8.平面 过正方体 的顶点 ，平面 平面 ，平面 平面 ，则 直线 与直线 所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意，平面 过正方体 的顶点 ，平面 平面 ， 平面 平面 ，得到 ，在根据正方形的性质，即可求解. 【详解】如图所示，平面 过正方体 的顶点 ，平面 平面 ， 平面 平面 ，平面 平面 ，∴ ， 又∵ ，则直线 与直线 所成的角即为直线 与直线 所成的角， 即直线 与直线 所成的角为为 .故选 D. 【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解问题，其中解答中，着重考查了. （吉林省长春实验高中 2019 届 高三第五次月考 数学（文）试题） 16.在四面体 ABCD 中，DA⊥平面 ABC，AB⊥AC，AB＝4，AC＝3，AD＝1，E 为棱 BC 上一点， 且平面 ADE⊥平面 BCD，则 DE＝________． 【答案】 【解析】 【分析】 作 ，由面面垂直的性质可得 ，由 平面 得 ，可证明 平面 ， ，由面积相等可 的值，再由勾股定理可得结果. 【详解】 作 ，因为平面 平面 ， 所以 平面 ， ， 因为 平面 ，所以 ， 又因为 平面 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 因为 平面 ，所以 ， ，故答案为 . 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理，属于中档题. 解答空间 几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行 转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理. （山东省济南外国语学校 2019 届高三 1 月份阶段模拟测试数学（文）试题） 16.已知正四棱柱 的底面边长为 2，侧棱 为上底面 上的动 点，给出下列四个结论： ①若 PD=3，则满足条件的 P 点有且只有一个； ②若 ，则点 P 的轨迹是一段圆弧； ③若 PD∥平面 ，则 DP 长的最小值为 2； ④若 PD∥平面 ，且 ，则平面 BDP 截正四棱柱 的外接球所得图形 的面积为 ． 其中所有正确结论的序号为_____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】 由题意画出图形，求出 D 与上底面点的最大值判断 ① ；由 ，求得 PD1 为定值判断 ② ； 找出满足 PD∥平面 ACB1 的 P 的轨迹，求出 DP 长的最小值判断 ③ ；由已知求出正四棱住 的外接球的半径，进一步求出大圆面积判断 ④ ． 【详解】如图， ∵正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面边长为 2， ∴ ，又侧棱 AA1＝1， ∴ ，则 P 与 B1 重合时 PD＝3，此时 P 点唯一，故 ① 正确； ∵ ∈ （1，3），DD1＝1，则 ，即点 P 的轨迹是一段圆弧，故 ② 正确； 连接 DA1，DC1，可得平面 A1DC1∥平面 ACB1，则当 P 为 A1C1 中点时，DP 有最小值为 ，故 ③ 错误； 由 ③ 知，平面 BDP 即为平面 BDD1B1，平面 BDP 截正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的外接球所 得平面图形为外接球的大圆， 其半径为 ，面积为 ，故 ④ 正确． ∴正确结论的序号是 ①②④ ． 故答案为： ①②④ ． 【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力， 是中档题． （河北省武邑中学 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题） 10.已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 如图所示，补成直四棱柱 ， 则所求角为 ， 易得 ，因此 ，故选 C． 平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化 归为共面问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 ，当所作的角为钝角时，应取它的补 角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角 的范围． （河北省衡水中学 2019 届高三上学期七调考试数学（文）试题） 18.等边三角形 的边长为 6， 为三角形 的重心， 过点 且与 平行，将 沿 直线 折起，使得平面 平面 . (1)求证： 平面 ； (2)求点 到平面 的距离. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】 【分析】 由已知条件证得 平面 ， ， 得证 运用等体积法求出点 到平面 的距离 【详解】(1)因为 为三角形 的重心， 所以 ，因为 ，所以 ， 因为平面 平面 ,平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ，因为 平面 ，所以 , 因为 为三角形 的重心，所以 ， 因为 平面 ,所以 平面 ； (2) 等边三角形 的边长为 ， 为三角形 的重心， 由 可知 ， 同理 即 解得 【点睛】本题主要考查的是线面垂直的判断与求点到平面的距离，解题的关键在于等体积法 的运用，在证明线面垂直时注意折叠后的面面垂直性质运用 （湖南省长沙市雅礼中学 2019 届高三上学期月考（五）数学（文）试题） 18.如图，在底面是菱形的四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，∠ABC＝60°，AA1＝AC＝2，A1B＝A1D＝ ， 点 E 在 A1D 上 （1）求证：AA1⊥平面 ABCD; （2）当 E 为线段 A1D 的中点时，求点 A1 到平面 EAC 的距离 【答案】（1）见证明；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据题中所给的数据，由勾股定理得 由线面垂直的判定定理即 得到证明；（2）设 与 交于点 ，连接 ，当 E 为 A1D 的中点时，可得 平面 ， 得点 到面 的距离可转为点 到平面 的距离，然后利用等体积转化即可得到答案. 【详解】（1）证明： 底面 是菱形， 在 中，由 知 ， 同理， ， 又 平面 . （2）解：设 与 交于点 ，点 为 的中点时，连接 ， 则 平面 ， 直线 与平面 之间的距离等于点 到平面 的距离，可转化为点 到平面 的距 离， 过点 作 于 点 为 的中点， 平面 ， 为 的中点，连接 ， 则 , 在 中， ， 又 ， ， 设 表示点 到平面 的距离，则 ， 点 到平面 的距离为 【点睛】本题考查线面垂直和线面平行的判定定理和点面距离的求法，考查学生推理和计算 能力，属于基础题. （吉林省长春实验高中 2019 届 高三第五次月考 数学（文）试题） 18.如图，三棱锥 B－ACD 的三条侧棱两两垂直，BC＝BD＝2，E，F，G 分别是棱 CD，AD，AB 的中点． （1）证明：平面 ABE⊥平面 ACD； （2）若四面体 BEFG 的体积为 ，且 F 在平面 ABE 内的正投影为 M，求线段 CM 的长． 【答案】(1)见解析.（2）见解析. 【解析】 试题分析：(1)先证明 平面 ，又 平面 ，可得平面 平面 . （2）由（1）知 平面 ，因为 平面 ，所以 ，结合 为 的中点，得 为 的中点，由四面体体 的体积为 ，解得 ，进 而可求得 . 试题解析：(1)证明：因为 ， 是棱 的中点，所以 ， 又三棱锥 的三条侧棱两两垂直，且 ， 所以 平面 ，则 因为 ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以平面 平面 . （2）由（1）知 平面 ，因为 平面 ， 所以 又 为 的中点，所以 为 的中点， 因为 ， ， 所以四面体体 的体积为 ， 则 在 中， ， ， 在 中， ， . （山东省济南外国语学校 2019 届高三 1 月份阶段模拟测试数学（文）试题） 18.如图，直三棱柱 ，点 M 是棱 ，上不同 于 的动点． (I)证明： ； (Ⅱ)若 ，判断点 M 的位置并求出此时平面 把此棱柱分成的两部分几何体 的体积之比． 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）1:1. 【解析】 【分析】 （I）证明 BC⊥平面 ABB1A1，即可得出 BC⊥B1M； （II）求出棱锥 C﹣ABB1M 和棱柱的体积即可得出结论． 【详解】（Ⅰ）在 中， , , 又 , 平面 ,又 面 , . （Ⅱ）当 时，设 ， , 则在 中， ， 同理： , 据 ， 整理得， 故 M 为 的中点 此时平面 把此棱柱分成两个几何体为：四棱锥 和四棱锥 由（Ⅰ）知四棱锥 的高为 BC=2， , ,又 ， , 故两部分几何体的体积之比为 1:1. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题． （辽宁省丹东市 2018 年高三模拟（二）理科数学试题） 19.如图，在四面体 中， ， . （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）若 ， ，四面体 的体积为 2，求二面角 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析. (2) . 【解析】 分析：（1）作 Rt△ 斜边 上的高 ，连结 ，易证 平面 ，从而得证； （2）由四面体 的体积为 2， ，得 ，所以 平面 ，以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 ，利用面的法向量求解二面角的余弦值即可. 详解：解法一：（1）如图，作 Rt△ 斜边 上的高 ，连结 ． 因为 ， ，所以 Rt△ ≌Rt△ ．可得 ．所以 平 面 ，于是 ． （2）在 Rt△ 中，因为 ， ，所以 ， ， ，△ 的 面积 ．因为 平面 ，四面体 的体积 ，所以 ， ， ，所以 平面 ． 以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 ．则 ， ， ， ， ， ， ． 设 是平面 的法向量，则 ，即 ，可取 ． 设 是平面 的法向量，则 ，即 ，可取 ． 因为 ，二面角 的平面角为钝角，所以二面角 的 余弦值为 解法二：（1）因为 ， ，所以 Rt△ ≌Rt△ ．可得 ． 设 中点为 ，连结 ， ，则 ， ，所以 平面 ，，于是 ． （2）在 Rt△ 中，因为 ， ，所以△ 面积为 ．设 到平面 距 离为 ，因为四面体 的体积 ，所以 ． 在平面 内过 作 ，垂足为 ，因为 ， ，所以 ．由点到平 面距离定义知 平面 ． 因为 ，所以 ．因为 ， ，所以 ， ，所以 ，即二面角 的余弦值为 ． 点睛：本题主要考查空间位置关系的证明和空间角的计算，意在考查学生立体几何和空间向 量的基础知识的掌握能力和基本的运算能力.证明位置关系和求空间的角都有两种方法，一 是几何的方法，一是向量的方法，各有特色，要根据具体情况灵活选择，提高解析效率. （福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查数学（文科）试题） 18.如图所示，已知正方体 的棱长为 2， 分别是 棱的中点. （1）证明： 平面 ； （2）求三棱锥 的体积. 【答案】（1）见解析； （2）1. 【解析】 【分析】 （1）取 的中点 ，连接 、 ，可以得到四边形 是平行四边形，进而可以证明 ，由 ，可以得到 ，进而可以证明 平面 ，即 平 面 ；（ 2 ） 由 题 意 可 知 ， 结 合 ， 可 以 得 到 ， 是高，并求出底面 ，即可求出 . 【详解】（1）证明：取 的中点 ，连接 、 是中点 四边形 是平行四边形 平面 ， 平面 又 是棱 的中点 又 平面 又 平面 （2）由题意可知 平面 ， 是高且 又 三棱锥 的体积为 1. 【点睛】本题考查了空间几何中线面垂直的证明，三棱锥体积的求法，考查了学生空间想象 能力和推理能力，属于中档题。 （福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学文试题） 19.如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， 点 为 的中点. （1）证明： 平面 ； （2）若直线 与底面 所成的角为 ，求四棱锥 的体积. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）取 PA 中点 Q，连结 QD，QE，推导出四边形 CDQE 是平行四边形，CE∥QD，由此能证明 CE∥平面 PAD． （2）连结 BD，取 BD 中点 O，连结 EO，CO，推导出∠ECO 是直线 CE 与底面 ABCD 所成的角， ∠ECO=45°，由 VP-ABCD= S 底面 ABCD•PD，能求出四棱锥 P-ABCD 的体积． 【详解】（1）取 中点 ，连接 ， ， 则 ，且 ， 所以 ，且 ， 即四边形 为平行四边形， ， 又因为 平面 ， 平面 ，（两条件各 1 分） 所以 平面 . （2）连接 ，取 中点 ，连接 ， ， 则 ，且 ， 因为 平面 ，所以 平面 ， 则 为 在平面 上的射影， 即 为直线 与底面 所成的角， ， 在等腰直角三角形 中， ，则 ， 则在 中， ， ， ， 所以 ， 所以 ， 所以四棱锥 的体积为 . 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面 面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． （福建省厦门市 2019 届高三第一学期期末质检文科数学试题） 19.如图，在 中， ， 分别为 的中点.将 沿 折起到 的位置. （1）证明： 平面 ； （2）若 ， ，直线 与平面 所成的角为 ，求四棱锥 的体积． 【答案】(1)见证明；(2) 【解析】 【分析】 （1）由 分别为 的中点，所以 ，进而得到 ，又由 ，利用线面 垂直的判定定理，证得 平面 ，即可得到 平面 . （2）解法一：由（1）得 与平面 所成角为 ，进而得到 ， ，求的 及 ，利用体积公式，即可求解； 解法二：（割补法）由（1）知所以 由（1）得出 与平面 所成的角为 ，进而可求解三棱锥的体积. 【详解】（1）证明：因为 分别为 的中点，所以 ， 因为 ，所以 ，所以翻折后， ， 所以 ，又因为 ， ， 平面 ， 所以 平面 . （2）解法一： 过点 作 于 ， 由（1）知， 平面 ，又 平面 ，所以 ， 又 ， 平面 ， 所以 平面 所以 为四棱锥 的高 由（1）知， 平面 所以 与平面 所成角为 ， 所以在 中， 因为 ，所以 ， 在 中， ，所以 ， ， 所以 在 中， ， ，得 又 ，得 所以 . 所以四棱锥 的体积为 . 解法二：（割补法） 由（1）知， ， ，所以 ， 所以 由（1）知 平面 ， 所以 由（1）知， 平面 ，所以 与平面 所成的角为 ， 在 中， ， ，所以 ， 在 中， ，所以 ， ， 在 中， ， ，得 所以 ，故四棱锥 的体积为 . 【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及几何体的体积的计算，其中解 答中对于垂直关系与平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面 平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂 直，需转化为证明线面垂直．同时注意几何体的计算计算方法的应用，着重考查了分析问题 和解答问题的能力，属于中档试题. （广东省揭阳市 2018-2019 学年高中毕业班学业水平考试文科数学试题） 18.如图，在三棱锥 P-ABC 中，正三角形 PAC 所在平面与等腰三角形 ABC 所在平面互相垂直， AB＝BC，O 是 AC 中点，OH⊥PC 于 H. （1）证明：PC⊥平面 BOH； （2）若 ，求三棱锥 A-BOH 的体积． 【答案】（1）详见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）先证明 平面 ，得到 ，结合已知 ，证得 平面 .（2） 将所求 转化为 ，利用（1）的结论得到三棱锥的高为 ，由此计算得三棱锥 的体积. 【详解】解：（1）∵AB＝BC，O 是 AC 中点， ∴BO⊥AC， 又平面 PAC⊥平面 ABC， 且 平面 ABC，平面 PAC∩平面 ABC＝AC， ∴BO⊥平面 PAC， ∴BO⊥PC， 又 OH⊥PC，BO∩OH＝O， ∴PC⊥平面 BOH； （2）∵△HAO 与△HOC 面积相等， ∴ , ∵BO⊥平面 PAC,∴ , ∵ ,∠HOC=30°∴ , ∴ , ∴ ,即 . 【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，属于中档题. （广东省肇庆市 2019 届高三第二次（1 月）统一检测数学文试题） 18.如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， . （1）证明： ； （2）若面 面 ， ， ， ，求 到平面 的距离. 【答案】（1）见证明；（2） 【解析】 【分析】 （1）连接 交 于 ，连接 .通过证明 ,证得 平面 由此证得 .（2）先证得 是三棱锥 的高，利用题目所给条件计算出 和 ， 根据等体积 列方程，解方程求得 到平面 的距离. 【详解】（1）连接 交 于 ，连接 . 在菱形 中， ， 是 的中点，又因为 ，所以所以 ，又 ， 所以 又 ，所以 . （2）因为面 面 ，面 面 ， ， ，所以 ，即 是三棱锥 的高 依题意可得， 是等边三角形，所以 ， ， 在等腰 ， ， 经计算得 ， ， 等腰三角形 的面积为 设 到平面 的距离为 ，则由 可得 ，解得 所以 到平面 的距离为 【点睛】本小题主要考查空间线线垂直的证明，考查空间点到平面距离的求法，属于中档题. （河北省张家口市 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题） 18.四棱柱 中，侧棱 底面 ，底面 为菱形， ， ， ， ， 分别是 ， 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求四面体 的体积. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）连接 ，可知 是 的中点，连接 ，由于 是 的中点，可知 ，即可证明 平 面 ；（ 2 ） 由 于 平 面 ， 可 证 明 ，求出 即可得到答案。 【详解】（1）证明：连接 ，在菱形 中，因为 是 的中点，所以 是 的中点. 连接 ，则在 中，又由于 是 的中点，所以 . 又 平面 ，平面 ，所以 平面 . （2）解： ， 由于 平面 ， ， ，故 . 【点睛】线面平行的证明，关键在于在平面内找出与已知直线的平行线；三棱锥的体积，常 常通过等体积法求解，学生在学习中要重视这种题型。 （湖北省宜昌市 2019 届高三元月调研考试文科数学试题） 19.如图，在等腰直角 中，沿斜边 上的高 将 折起到 的位置，点 在线 段 上. （1）求证： ； （2）若 为 的中点， ，三棱锥 的表面积为 ，求三棱锥 的 体积. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）证明 平面 PCD 即可 （2）设 ，表示出三棱锥 的表面积，从而求得 的值，利用锥体体积公式即可 求解。 【详解】（1）证明：∵ ，∴ ， ， 又有 ， 平面 ， ∴ 面 ， 又∵ 面 ， ∴ . （2）设 ，∴ ， . 又由题可知 为正三角形，∴ ， ， ∵等腰三角形 底边上的高为 ， ∴ ， ∴ . ∴ ， . ∴ . 【点睛】（1）考查了转化思想及线面垂直的判定，还考查了空间思维能力，属于基础题。 （2）考查了多面体表面积计算及锥体体积计算，还考查了空间思维能力，属于基础题。 （湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题） 18.在四棱锥 中，底面 是菱形，且 ， ， ， ， . （1）证明： 平面 . （2）求二面角 的余弦值. 【答案】（1）详见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）先连接 ，AC 与 BD 交点为 E,连接 PE，先证直线 平面 ，进而可得 ， 再由 ， ，即可得出 平面 ； （2）取 的中点 ，由题意可得 EB、EC、EF 两两垂直，因此以 E 点为坐标原点建立坐标系， 分别求出两平面的一个法向量，进而求两法向量夹角余弦值，由题中图形判断二面角时锐角 还是钝角，即可求出二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：连接 ，设 ，连接 . 因为底面 是菱形，所以 ， . 因为 ， ，所以 . 因为 ，所以 平面 . 因为 平面 ，所以 . 因为 ， ，所以 平面 . （2）解：取 的中点 . 因为 平面 ，所以 平面 . 故以 为原点， 分别为 的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， . 故 ， ， . 设平面 的法向量为 . 则 ，不妨取 ，则 . 设平面 的法向量为 ， 则 ，不妨取 ，则 . 记二面角 的平面角为 ，易知 为锐角， 则 . 故二面角 的余弦值为 . 【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的判定定理，第二问考查空间向量的方法求二面角的 余弦值，只需求出两平面的法向量的夹角余弦值，即可结合图像得出结果，属于中档试题. （湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题） 19.如图，在各棱长均为 4 的直四棱柱 中，底面 为菱形， ， 分别为 棱上一点，且 ， . （1）证明： 平面 ； （2）在图中作出点 在平面 内的正投影 （说明作法及理由），并求三棱锥 的体 积. 【答案】（1）见证明；（2） 【解析】 【分析】 （1）在 上取一点 ，使得 ，证得 ，进而证得 ，利用线面平行的判 定定理，即可得到 平面 . （2）设 与 交于点 ，连接 ，过 作 ，得到 即为 在平面内 的正投 影，同时利用等体积法，即可求解三棱锥的体积。 【详解】（1）证明：在 上取一点 ，使得 . ， ， ， . ， 同理可证明 ， ， 又平面 ， 平面 ， 平面 . （2）解：设 与 交于点 ，连接 . 过 作 ， 为垂足， 即为 在平面内 的正投影. 理由如下： 平面 ， . 又 ， ， 平面 . ，又 ， 平面 . , , ,由 得 . 过 作 ，垂足为 ，由 ，得 . . 【点睛】本题主要考查了线面平行的判定与证明，以及等体积法求解三棱锥的体积，其中解 答中熟记线面平行的判定定理，合理应用等体积法求解是解答的关键，着重考查了分析问题 和解答问题的能力，属于基础题。 （湖南省长沙市 2019 届高三上学期统一检测文科数学试题） 18.如图，已知三棱锥 的平面展开图中，四边形为 边长等于 的正方形， 和 均为正三角形，在三棱锥中 ： （Ⅰ）证明：平面 平面 ； （Ⅱ）求三棱锥 的表面积和体积. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）表面积 ，体积 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由题意知 和 为等腰三角形，可取 AC 中点 O，连接 PO,OB，可证明 平 面 然后利用面面垂直的判定定理即可得到证明；（Ⅱ）求各个面的面积之和即可到棱 锥的表面积，由 平面 ，利用棱锥的体积公式计算即可得到答案. 【详解】解：（Ⅰ）设 的中点为 ，连接 ， . 由题意，得 ， ， . 因为在 中， ， 为 的中点，所以 . 因为在 中， ， ， ， ，所以 . 因为 ， ， 平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ，所以平面 平面 . （Ⅱ）三棱锥 的表面积 ， 由（Ⅰ）知， 平面 ，所以三棱锥 的体积为 . 【点睛】本题考查线面垂直，面面垂直判定定理的应用，考查棱锥的表面积和体积的计算， 考查学生的空间想象能力和计算能力.