高考数学复习课时冲关练(十七) 6_1

高考数学复习课时冲关练(十七) 6_1

‎ ‎ 课时冲关练(十七)‎ 直线与圆 ‎(45分钟　80分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.(2014·长春模拟)已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是　(　　)‎ A.　 B.　 C.8　 D.2‎ ‎【解析】选D.因为直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,所以=≠-,所以m=8,即直线6x+my+14=0为3x+4y+7=0,所以两平行直线间的距离为=2.‎ ‎2.(2014·江门模拟)已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=　(　　)‎ A.- B‎.1 ‎ C.2 D.‎ ‎【解析】选C.因为点P(2,2)为圆(x-1)2+y2=5上的点,由圆的切线性质可知,圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点P(2,2)的切线垂直.因为圆心(1,0)与点P(2,2)的连线的斜率k=2,故过点P(2,2)的切线斜率为-,所以直线ax-y+1=0的斜率为2,因此a=2.‎ ‎3.已知直线l:x+y=m经过原点,则直线l被圆x2+y2-2y=0截得的弦长是　(　　)‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎【解析】选B.直线l:x+y=m经过原点,‎ 所以m=0,圆心到直线的距离d==,‎ 弦长是2=2=.‎ ‎【方法技巧】求圆的弦长的常用方法 ‎(1)根据平面几何知识构建直角三角形,把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示,l=2(其中l为弦长,r为圆的半径,d为圆心到直线的距离).‎ ‎(2)根据公式:l=|x1-x2|求解(其中l为弦长,x1,x2为直线与圆相交所得交点的横坐标,k为直线的斜率).‎ ‎(3)求出交点坐标,用两点间距离公式求解.‎ ‎4.(2014·中山模拟)已知{(x,y)|(m+3)x+y=‎3m-4}∩{(x,y)|7x+(5-m)y-8=0}=,则直线(m+3)x+y=‎3m+4与坐标轴围成的三角形面积是　(　　)‎ A.1 B‎.2 ‎ C.3 D.4‎ ‎【解析】选B.由于{(x,y)|(m+3)x+y=‎3m-4}∩{(x,y)|7x+(5-m)y-8=0}=,故直线(m+3)x+y=‎3m-4与直线7x+(5-m)y-8=0平行,则有7×1=(5-m)(m+3)且7×(‎3m-4)≠8×(m+3),由7×1=(5-m)(m+3)整理得m2‎-2m-8=0,解得m=-2或m=4,由7×(‎3m-4)≠8×(m+3),得m≠4,所以m=-2,故直线(m+3)x+y=‎3m+4的方程为x+y=-2,交x轴于点(-2,0),交y轴于点(0,-2),故直线(m+3)x+y=‎3m+4与坐标轴围成的三角形面积是×2×2=2.‎ ‎5.(2014·烟台模拟)已知函数f(x)=x+sinx(x∈R),且f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,则当y≥1时,的取值范围是　(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解题提示】先判断f(x)的单调性,利用函数的单调性将不等式中的符号“f”去掉求解.‎ ‎【解析】选A.因为f(-x)=-x+sin(-x)=-f(x),且f′(x)=1+cosx≥0,‎ 所以函数为奇函数,且在R上是增函数.‎ 所以,由f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0得f(y2-2y+3)≤f(-x2+4x-1),y2-2y+3≤-x2+4x-1.‎ 即x2+y2-4x-2y+4≤0,(x-2)2+(y-1)2≤1,其表示圆(x-2)2+(y-1)2=1及其内部.‎ 表示满足的点P与定点A(-1,0)连线的斜率.‎ 结合图形分析可知,直线AC的斜率为=最小,切线AB的斜率为 tan∠BAx=tan2∠PAx===最大.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎6.(2014·江门模拟)圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线l:3x+4y+4=0的距离为　　　　　　.‎ ‎【解析】由已知得圆心为(1,2),由点到直线的距离公式得,d==3.‎ 答案:3‎ ‎7.(2014·肇庆模拟)已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程是　　　.‎ ‎【解析】根据题意直线x-y+1=0与x轴的交点为(-1,0),‎ 因为圆与直线x+y+3=0相切,‎ 所以半径为圆心到切线的距离,‎ 即r=d==,‎ 则圆的方程为(x+1)2+y2=2.‎ 答案:(x+1)2+y2=2‎ ‎8.(2014·湖北高考)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=　　　.‎ ‎【解析】依题意,圆心(0,0)到两条直线的距离相等,且每段弧的长度都是圆周的,圆心到l1:y=x+a的距离为,圆心到l2:y=x+b的距离为,‎ 即=,=cos45°=,‎ 所以a2=b2=1,故a2+b2=2.‎ 答案:2‎ ‎【误区警示】解答本题时容易出现的问题是不能把“将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧”用数学语言表示出来.‎ 三、解答题(9题12分,10～11题每题14分,共40分)‎ ‎9.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线l1过定点A(1,0).‎ ‎(1)若l1与圆C相切,求l1的方程.‎ ‎(2)若l1与圆C相交于P,Q两点,求三角形CPQ的面积的最大值,并求此时直线l1的方程.‎ ‎【解析】(1)①若直线l1的斜率不存在,则直线l1:x=1,符合题意.‎ ‎②若直线l1斜率存在,设直线l1的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.‎ 由题意知,圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2,即:=2,解之得k=.‎ 所求直线l1的方程是x=1或3x-4y-3=0.‎ ‎(2)直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,设直线方程为kx-y-k=0,‎ 则圆心到直线l1的距离d=,‎ 又因为△CPQ的面积S=d×2‎ ‎=d==,‎ 所以当d=时,S取得最大值2.‎ 所以d==,所以k=1或k=7,‎ 所求直线l1方程为x-y-1=0或7x-y-7=0.‎ ‎【误区警示】本题(1)易忽视斜率不存在的情况,而丢掉直线x=1.‎ ‎10.(2014·江苏高考)如图,为了保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于‎80m.经测量,点A位于点O正北方向‎60m处,点C位于点O正东方向‎170m处(OC为河岸),tan∠BCO=.‎ ‎(1)求新桥BC的长.‎ ‎(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?‎ ‎【解析】(1)以OC,OA为x,y轴,向东和向北为正方向,建立直角坐标系,则C(170,0),A(0,60).‎ 由题意,kBC=-,‎ 直线BC的方程为y=-(x-170),‎ 又kAB=-=,‎ 故直线AB的方程为y=x+60.‎ 由 解得 即B(80,120),‎ 所以|BC|==150(m).‎ ‎(2)设OM=t,‎ 即M(0,t),0≤t≤60,‎ 由(1)直线BC的一般方程为4x+3y-680=0,‎ 圆M的半径为r=,‎ 由题意要求由于0≤t≤60,‎ 因此r===136-t,‎ 所以 所以10≤t≤35,‎ 所以当t=10时,r取得最大值‎130m,此时圆的面积最大.‎ ‎11.(2014·北京模拟)已知椭圆W:+y2=1,直线l与W相交于M,N两点,l与x轴,y轴分别相交于C,D两点,O为坐标原点.‎ ‎(1)若直线l的方程为x+2y-1=0,求△OCD外接圆的方程.‎ ‎(2)判断是否存在直线l,使得C,D是线段MN的两个三等分点,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.‎ ‎【解析】(1)因为直线l的方程为x+2y-1=0,‎ 所以与x轴的交点C(1,0),与y轴的交点D.‎ 则线段CD的中点,|CD|==,‎ 即△OCD外接圆的圆心为,半径为|CD|=,‎ 所以△OCD外接圆的方程为+=.‎ ‎(2)存在直线l,使得C,D是线段MN的两个三等分点.‎ 理由如下:‎ 由题意,设直线l的方程为y=kx+m(k,m≠0),‎ M(x1,y1),N(x2,y2),‎ 则C,D(0,m),‎ 由方程组得(1+2k2)x2+4kmx+‎2m2‎-2=0,‎ 所以Δ=16k2‎-8m2‎+8>0,(*)‎ 由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=.‎ 由C,D是线段MN的两个三等分点,得线段MN的中点与线段CD的中点重合.‎ 所以x1+x2==0-,‎ 解得k=±.‎ 由C,D是线段MN的两个三等分点,‎ 得|MN|=3|CD|.‎ 所以|x1-x2|=3,‎ 即|x1-x2|==3,‎ 解得m=±.‎ 验证知(*)成立.‎ 所以存在直线l,使得C,D是线段MN的两个三等分点,‎ 此时直线l的方程为y=x±,或y=-x±.‎ ‎【加固训练】已知以点C(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原点.‎ ‎(1)求证:△AOB的面积为定值.‎ ‎(2)设直线2x+y-4=0与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程.‎ ‎(3)在(2)的条件下,设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.‎ ‎【解析】(1)由题设知,圆C的方程为(x-t)2+=t2+,化简得x2-2tx+y2-y=0,当y=0时,x=0或2t,则A(2t,0);当x=0时,y=0或,则B,所以S△AOB=|OA|·|OB|=|2t|·=4为定值.‎ ‎(2)因为|OM|=|ON|,则原点O在MN的中垂线上,设MN的中点为H,则CH⊥MN,所以C,H,O三点共线,则直线OC的斜率k===,所以t=2或t=-2.‎ 所以圆心为C(2,1)或(-2,-1),所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5,由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5时,直线2x+y-4=0到圆心的距离d>r,此时不满足直线与圆相交,故舍去,所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.‎ ‎(3)点B(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为B′(-4,-2),则|PB|+|PQ|=|PB′|‎ ‎+|PQ|≥|B′Q|,又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|-r=‎ ‎-=3-=2.所以|PB|+|PQ|的最小值为2,直线B′C的方程为y=x,则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为.‎ 关闭Word文档返回原板块