【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第40讲空间几何体的三视图和直观图﹑表面积与体积学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第40讲空间几何体的三视图和直观图﹑表面积与体积学案

第七单元　立体几何 ‎1.编写意图 立体几何初步的主要内容是空间几何体和空间点、线、面的位置关系,在高考试题中以中、低档题的形式出现,因此,编写时主要考虑以下几个方面:‎ ‎(1)加强基础知识的复习力度:第40讲专门复习空间几何体的结构、三视图和直观图,空间几何体的表面积和体积,第41讲复习空间点、直线、平面的位置关系,第44讲复习空间向量及其运算,在这些基础性问题上我们给予了足够的重视.‎ ‎(2)强化几何方法在证明空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直中的训练:一般而言高考中立体几何解答题的证明部分使用几何方法进行证明比使用空间向量的方法更简洁明了,我们在第42讲、第43讲专门解决这个问题,试图通过这两个讲次,提升 生用几何法证明空间位置关系的能力.‎ ‎(3)在强化几何方法的同时要注意到空间向量在解决各类立体几何问题中的应用:在第45讲专门复习空间向量方法证明立体几何问题,并且增加了多个探究点,试图通过这样的处理使 生掌握使用空间向量解决立体几何问题的方法.‎ ‎2.教 建议 本单元的重点是空间线、面之间的平行与垂直关系、空间几何体的表面积与体积,并注重画图、识图、用图能力的培养与提高,在复习时我们要注重以下几点:‎ ‎(1)对 生加强画图训练:能画出正确的图形是解决立体几何问题的基础,特别是在一些不给出图形的立体几何试题中(如一些选择题、填空题往往就不给出图形),画出图形问题就解决了一半,在画图时要求 生有根据地作图(主要根据四个公理和线面位置关系的判定定理和性质定理),使得作图的过程充满理性的思考,教师在讲解例题时不要随手画图,要给 生展示作图的过程和作图的原理根据.‎ ‎(2)注意例题讲解中推理论证的严密性、规范性:使用几何方法证明立体几何问题时,要注意各种定理使用条件的完备性,在证明的过程中注意层次分明,要通过例题给 生以示范作用,并通过作业规范 生的解题.‎ ‎(3)注意运算能力的训练:使用空间向量方法解决立体几何问题,特别是求解空间角和距离时其运算较为复杂且在计算时极易出现错误,因此在教 中要通过部分典型例题,引导 生步步为营地进行演算,通过练习固化运算能力.‎ ‎3.课时安排 本单元共6讲,其中第45讲分为2个课时,1个小题必刷卷和1个解答必刷卷,每讲建议1课时完成(其中第45讲建议2课时),必刷卷建议1课时完成,本单元大约共需8个课时完成.‎ 第40讲　空间几何体的三视图和直观图﹑表面积与体积 考试说明 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.‎ ‎2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测法画出它们的直观图.‎ ‎3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.‎ ‎4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.‎ 考情分析 考点 考查方向 考例 考查热度 三视图 和直观图 根据给出的三视图判定直观图的形状 ‎2013全国卷Ⅱ7‎ ‎★★☆‎ 表面积 与体积 求给出的几何体的表面积与体积 ‎2017全国卷Ⅰ7,2016全国卷Ⅰ6,2016全国卷Ⅱ6,2016全国卷Ⅲ9,2015全国卷Ⅰ6,2015全国卷Ⅰ11,2015全国卷Ⅱ6,2015全国卷Ⅱ9‎ ‎★★★‎ 球 求多面体的内切球或外接球的表面积和体积 ‎2017全国卷Ⅲ8,2016全国卷Ⅲ10,2015全国卷Ⅱ9,2013全国卷Ⅰ6‎ ‎★★☆‎ 真题再现 ‎■ [2017-2013 课标全国真题再现 ‎1.[2017·全国卷Ⅰ 某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为 (　　)‎ A.10 B.12‎ C.14 D.16‎ ‎[解析 B　该几何体为一个三棱柱和一个三棱锥的组合体,其直观图如图所示,各个面中有两个全等的梯形,其面积之和为2××2=12.‎ ‎2.[2017·全国卷Ⅲ 已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 (　　)‎ A.π B.‎ C. D.‎ ‎[解析 B　由题可知球心为圆柱的中心,则圆柱底面圆的半径r==,故圆柱的体积V=π××1=.‎ ‎3.[2016·全国卷Ⅰ 如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是 (　　)‎ A.17π B.18π C.20π D.28π ‎[解析 A　该几何体为一个球去掉八分之一,设球的半径为r,则×πr3=,解得r=2,故该几何体的表面积为×4π×22+×π×22=17π.‎ ‎4.[2016·全国卷Ⅱ 如图所示是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为 (　　)‎ A.20π B.24π C.28π D.32π ‎[解析 C　几何体是圆锥与圆柱的组合体,设圆柱底面圆半径为r,周长为c,圆锥母线长为l,圆柱高为h.由图得r=2,c=2πr=4π,h=4,由勾股定理得l==4,故S表=πr2+ch+πrl=4π+16π+8π=28π.‎ ‎5.[2015·全国卷Ⅱ 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 (　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎[解析 D　几何体的直观图为正方体ABCD - A1B‎1C1D1截去了一个三棱锥A - A1B1D1,如图所示.易知=V正方体,所以=,故选D.‎ ‎6.[2015·全国卷Ⅱ 已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O - ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为 (　　)‎ A.36π B.64π C.144π D.256π ‎[解析 C　如图所示,当OC⊥平面AOB时,三棱锥O - ABC的体积最大,此时V三棱锥O - ABC=V三棱锥C - AOB=S△AOB·R=R3=36,所以R=6,所以S球=4πR2=144π,故选C.‎ ‎■ [2017-2016 其他省份类似高考真题 ‎1.[2017·北京卷 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为 (　　)‎ A.3 B.2‎ C.2 D.2‎ ‎[解析 B　将四棱锥放在棱长为2的正方体中,该四棱锥为D' - B'C'CB,如图所示.该四棱锥最长的棱为正方体的体对角线D'B,D'B===2,故选B.‎ ‎2.[2017·浙江卷 某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是(　　)‎ A. +1 B. +3‎ C.+1 D.+3‎ ‎[解析 A　通过分析三视图可知,该几何体是一个三棱锥与一个半圆锥的组合体,其直观图如图所示.‎ 由三视图可知该组合体的高为3,底面是由一个底边长为2的等腰直角三角形与半径为1的半圆组成的,所以该几何体的体积V=×3××2×1+π×12=+1(cm3).因此选A.‎ ‎3.[2016·北京卷 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 (　　)‎ A. B.‎ C. D.1‎ ‎[解析 A　根据三视图得到如图所示的直观图.根据题意知三棱锥的底面三角形是直角边长为1的等腰直角三角形,三棱锥的高h为1,故其体积V=S△ABC·h=××1×1×1=.‎ ‎4.[2016·山东卷 一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示,则该几何体的体积为 (　　)‎ A. +π B. +π C. +π D.1+π ‎[解析 C　由三视图知,四棱锥是底面边长为1,高为1的正四棱锥,半球的直径为,∴该几何体的体积为×1×1×1+××π=+π.‎ ‎5.[2017·江苏卷 如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是　　　　. ‎ ‎[答案 ‎ ‎[解析 设球O的半径为R,因为该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,所以圆柱的底面圆的半径为R,圆柱的高为2R.故圆柱O1O2的体积V1=2πR3,球O的体积V2=πR3,所以==.‎ ‎6.[2016·四川卷 已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是　　　　. ‎ ‎[答案 ‎ ‎[解析 由图易知正视图是腰长为2的等腰三角形,∵三棱锥的4个面都是腰长为2的等腰三角形,∴三棱锥的俯视图与其正视图全等,且三棱锥的高h=1,则所求体积V=Sh=××1=.‎ ‎【课前双基巩固】‎ 知识聚焦 ‎1.平行且全等　平行四边形　平行　多边形　三角形　截面　底面　平行且相等　一点　一点　平行四边形　三角形　梯形 ‎2.垂直　一点　一点　矩形　等腰三角形　等腰梯形　圆　矩形　扇形　扇环 ‎3.(1)45°或135°　垂直　(2)平行于坐标轴　不变 原来的一半 ‎4.2πrl　πrl　π(r+r')l ‎5.S底h　S底h　4πR2　πR3‎ 对点演练 ‎1.三棱柱　两个同底等高的圆锥　[解析 根据多面体和旋转体的概念知,第一个几何体是三棱柱,第二个几何体是两个同底等高的圆锥.‎ ‎2.侧视图　俯视图　[解析 根据三视图的特征知,图②是侧视图,图③是俯视图.‎ ‎3.a2　[解析 如图所示,(a)(b)分别是实际图形和直观图.‎ 由图可知,A'B'=AB=a,O'C'=OC=a,在图(b)中作C'D'⊥A'B',垂足为D',则C'D'=O'C'=a,‎ ‎∴S△A'B'C'=A'B'×C'D'=×a×a=a2.‎ ‎4.3π+4　π　[解析 由三视图可知,该几何体是一个半圆柱,其表面积S=π·12+22+π·1×2=3π+4,体积V=π×12×2=π.‎ ‎5.②　[解析 ①如图(1)中的几何体,满足有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形,但这个多面体不是棱柱;‎ ‎②如图(2)中的四棱锥,其底面ABCD是矩形,PD⊥平面ABCD,可证明∠PAB,∠PCB都是直角,这样四个侧面都是直角三角形;‎ ‎③当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图(3)所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;‎ ‎④棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.‎ ‎6.2+　[解析 根据几何体的三视图可知,该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥,如图所示.该几何体的表面积S=S△PAC+2S△PAB+S△ABC=×2×1+2××()2+×2×1=2+.‎ ‎7.48　[解析 由三视图可知,该几何体的上面是一个长为4、宽为2、高为2的长方体,下面是一个放倒的高为4的四棱柱,四棱柱的底面是上、下底分别为2,6,高为2的梯形,所以长方体的体积为4×2×2=16,四棱柱的体积为4××2=32,所以该几何体的体积为32+16=48.‎ ‎8.32π　[解析 由三视图可知,该几何体是底面为等腰直角三角形,高为4的三棱柱,则外接球的半径R==2,故该几何体的外接球的表面积S=4π×(2)2=32π.‎ ‎【课堂考点探究】‎ 例1　[思路点拨 (1)根据四面体的顶点坐标在正方体中作出四面体的直观图,再得侧视图图形;(2)根据三视图得到其直观图,再根据直观图的线面关系,求出最长棱的长度.‎ ‎(1)B　(2)B　[解析 (1)在正方体中作出满足条件的四面体如图所示,故选B.‎ ‎(2)将四棱锥放在棱长为2的正方体中,该四棱锥为D' - B'C'CB,如图所示.该四棱锥最长的棱为正方体的体对角线D'B,D'B===2,故选B.‎ 变式题　(1)B　(2)B　[解析 (1)由正视图和俯视图可得该几何体如图所示,故选B.‎ ‎(2)由三视图得,该几何体为四棱锥P - ABCD,如图所示.‎ 侧面PAB⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形,过点P作PE⊥AB,垂足为点E,则AE=1,BE=2,AD=2,PE=4,则该几何体中最长的棱为PC==2,故选B.‎ 例2　[思路点拨 (1)先由三视图得出几何体的直观图,再求解体积;(2)根据三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体,据图中数据分别计算各面的面积.‎ ‎(1)D　(2)D　[解析 (1)该几何体是由一个正方体去掉四分之一个圆锥后得到的,所以该几何体的体积V=43-××π×22×4=64-.‎ ‎(2)由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体,且圆锥、圆柱的底面圆的半径都为1,圆柱的高为2,圆锥的高为1,所以该组合体的表面积S=S圆柱底+S圆柱侧+S圆锥侧=π×12+2π×1×2+π×1×=(5+)π.‎ 变式题　(1)A　(2)B　[解析 (1)该几何体是由一个半圆柱和一个三棱柱组成的组合体,故这个几何体的体积V=×π×12×1+×()2×2=2+.‎ ‎(2)该几何体是由两个同底面的正四棱锥组成的,它的表面积S=8××1×=2.‎ 例3　[思路点拨 (1)根据已知条件将三棱锥S - ABC补形成以SC,CB,AC为共顶点的棱的长方体,长方体的体对角线的长就是三棱锥的外接球的直径,然后利用球的表面积公式S=4πR2进行计算;(2)由SA=AC,SB=BC得出SC⊥平面ABO,可把三棱锥S-ABC分为两个等体积的三棱锥,再由体积为9,列出关于球半径R的方程,求出R进而得表面积.‎ ‎(1)D　(2)36π　[解析 (1)由题意可知SC,CB,AC两两垂直,因此可把三棱锥S - ABC补形成以SC,CB,AC为共顶点的棱的长方体.该长方体的外接球就是三棱锥的外接球,球的直径2R====10,即R=5,所以外接球的表面积S=4πR2=100π.‎ ‎(2)如图,SC为球O的直径,O为球心,因为SA=AC,所以AO⊥SC,同理SB=BC,所以BO⊥SC,所以SC⊥平面ABO.又平面SCA⊥平面SCB,所以AO⊥BO.设球的半径为R,则AO=BO=SO=CO=R,‎ 所以V三棱锥S-ABC=2×S△ABO×SO=2×××AO×BO×SO=R3=9,所以R=3,所以球O的表面积S=4πR2=36π.‎ 例4　[思路点拨 (1)易知当PA,PB,PC两两垂直时三个侧面面积之和最大,这样就确定了三棱锥的形状,进一步确定球的半径,即可得内切球的表面积;(2)设正四面体的棱长为a,可得到正四面体的表面积S1和内切球的表面积S2(用a表示),然后求出.‎ ‎(1)D　(2)　[解析 (1)侧面PAB的面积S△PAB=×PA×PB×sin∠APB,要使此面积最大,则∠APB=90°,同理可知,当PA,PB,PC两两垂直时,三棱锥P-ABC的三个侧面的面积和最大.设内切球的球心为O,则O到三棱锥的四个面的距离相等,距离即为内切球的半径r.因为PA=PB=2,PC=,所以BC=AC=,AB=2,可得△ABC,△APC,△APB,△BPC的面积分别为4,,2,,所以VP-ABC=×(4++2+)·r=×2×,解得r=-2,所以内切球的表面积为4πr2=(40-16)π.‎ ‎(2)设正四面体的棱长为a,则正四面体的表面积S1=4×a2=a2,其内切球半径r为正四面体高的,即r=×a=a,因此内切球的表面积S2=4πr2=,则==.‎ 强化演练 ‎1.A　[解析 设正四棱锥的外接球半径为R,顶点P在底面上的正投影为O.因为OA=AC===2,所以PO===2.又OA=OB=OC=OD=2,所以R=2,故外接球的表面积S=4πR2=16π.‎ ‎2.B　[解析 在△ABC中,由BC⊥AC,得AB===13.设内切球的半径为R,由已知可得Rt△ABC的内切圆半径等于内切球的大圆的半径,则内切球的半径R==2,∴三棱柱的高为2R=4,∴三棱柱的表面积S=2××5×12+(5+12+13)×4=180,故选B.‎ ‎3.C　[解析 平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆.因为正方体的棱长为1,所以AC=CD1=AD1=,所以内切圆的半径r=,所以截面面积S=πr2=.‎ ‎4.B　[解析 ∵AB=5,BC=8,∠ABC=60°,∴BC==7.设△ABC的外接圆的半径为r,则2r==,得r=,又三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离d=SA=,∴外接球的半径R==,∴该三棱锥的外接球的表面积S=4πR2=.‎ ‎5.　[解析 设球O的半径为R,则4πR2=16π,解得R=2.设长方体的三条棱AB,AD,AA1的长分别为2x,x,x,则有(2x)2+x2+(x)2=(2R)2,解得x=,所以VO - ABCD=××2×=.‎ ‎【备选理由】例1引导 生加深对三视图的认识,注意实线虚线的情况;例2增加了直观图的认识,考查斜二测画法以及有关计算,是对听课手册例1的有效补充;例3补充了球与几何体构成的组合体的体积计算问题;例4考查三棱锥外接球及球的表面积计算,需要先根据题意确定三棱锥的形状,涉及三棱锥体积的最值问题.‎ ‎1　[配合例1使用 [2017·兰州二诊 如图所示,四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形,起辅助作用),则四面体ABCD的正视图、侧视图、俯视图分别是(　　)‎ A.①②⑥ B.①②③‎ C.④⑤⑥ D.③④⑤‎ ‎[解析 B　正视图应该是边长分别为3和4的矩形,其对角线左下到右上是实线,左上到右下是虚线,因此正视图是①;侧视图应该是边长分别为5和4的矩形,其对角线左上到右下是实线,左下到右上是虚线,因此侧视图是②;俯视图应该是边长分别为3和5的矩形,其对角线左上到右下是实线,左下到右上是虚线,因此俯视图是③.故选B.‎ ‎2　[配合例1使用 如图所示,正方形O'A'B'C'的边长为‎1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是　　　　cm. ‎ ‎[答案 8‎ ‎[解析 把直观图还原,得原来的平面图形为四边形OABC,如图所示.由直观图是边长为‎1 cm的正方形可知,对角线O'B'的长为 cm,则原图形是底边长为‎1 cm,高为2 cm的平行四边形,即在原图形中,OA=BC=‎1 cm,OB=2cm,则AB=OC==3(cm),故原图形的周长是2×(1+3)=8(cm).‎ ‎3　[配合例2使用 [2016·山东卷 一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示,则该几何体的体积为 (　　)‎ A. +π B. +π C. +π D.1+π ‎[解析 C　由三视图知,四棱锥是底面边长为1,高为1的正四棱锥,半球的直径为,∴该几何体的体积为×1×1×1+××π=+π.‎ ‎4　[配合例3使用 [2015·全国卷Ⅱ 已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O - ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为 (　　)‎ A.36π B.64π C.144π D.256π ‎[解析 C　如图所示,当OC⊥平面AOB时,三棱锥O - ABC的体积最大,此时V三棱锥O - ABC=V三棱锥C - AOB=S△AOB·R=R3=36,所以R=6,所以S球=4πR2=144π,故选C.‎