2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破:第二章 3 第3讲 函数的奇偶性、对称性

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2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破:第二章 3 第3讲 函数的奇偶性、对称性

‎[基础题组练]‎ ‎1.(2020·舟山市普陀三中高三期中)下列函数既是奇函数,又在(0,+∞)上单调递增的是(  )‎ A.y=-x2          B.y=x3‎ C.y=log2x D.y=-3-x 解析:选B.A.函数y=-x2为偶函数,不满足条件.‎ B.函数y=x3为奇函数,在(0,+∞)上单调递增,满足条件.‎ C.y=log2x的定义域为(0,+∞),为非奇非偶函数,不满足条件.‎ D.函数y=-3-x为非奇非偶函数,不满足条件.‎ ‎2.(2020·衢州高三年级统一考试)已知f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x3+ln(1+x),则当x<0时,f(x)=(  )‎ A.-x3-ln(1-x) B.x3+ln(1-x)‎ C.x3-ln(1-x) D.-x3+ln(1-x)‎ 解析:选C.当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)3+ln(1-x),因为f(x)是R上的奇函数,所以当x<0时,f(x)=-f(-x)=-[(-x)3+ln(1-x)],所以f(x)=x3-ln(1-x).‎ ‎3.若f(x)=(ex-e-x)(ax2+bx+c)是偶函数,则一定有(  )‎ A.b=0 B.ac=0‎ C.a=0且c=0 D.a=0,c=0且b≠0‎ 解析:选C.设函数g(x)=ex-e-x.g(-x)=e-x-ex=-g(x),所以g(x)是奇函数.因为f(x)=g(x)(ax2+bx+c)是偶函数.所以h(x)=ax2+bx+c为奇函数.即h(-x)+h(x)=0恒成立,有ax2+c=0恒成立.所以a=c=0.当a=c=b=0时,f(x)=0,也是偶函数,故选C.‎ ‎4.设f(x)是定义在实数集上的函数,且f(2-x)=f(x),若当x≥1时,f(x)=ln x,则有(  )‎ A.f0时,不等式≤0等价于3f(-x)-2f(x)≤0,又f(x)是奇函数,所以有f(x)≥0,所以有00)的最大值为M,最小值为N,且M+N=4,则实数t的值为________.‎ 解析:因为f(x)==t+=t+g(x),其中g(x)是奇函数,M+N=t+g(x)+t+g(-x)=2t=4⇒t=2.‎ 答案:2‎ ‎9.(2020·杭州市富阳二中高三质检)已知定义在R上的函数f(x)满足:①f(1+x)=f(1-x);②在[1,+∞)上为增函数,若x∈时,f(ax)2-x成立,求实数k的取值范围.‎ 解:(1)因为f(x)=2x+k·2-x是奇函数,‎ 所以f(-x)=-f(x),k∈R,‎ 即2-x+k·2x=-(2x+k·2-x),‎ 所以(k+1)·(1+22x)=0对一切k∈R恒成立,‎ 所以k=-1.‎ ‎(2)因为x∈[0,+∞),均有f(x)>2-x,‎ 即2x+k·2-x>2-x对x∈[0,+∞)恒成立,‎ 所以1-k<22x对x∈[0,+∞)恒成立,‎ 所以1-k<(22x)min,‎ 因为y=22x在[0,+∞)上单调递增,‎ 所以(22x)min=1.所以1-k<1,解得k>0.‎ 所以实数k的取值范围为(0,+∞).‎ ‎12.(2020·绍兴一中高三期中)已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=-(x-1)2+1,求满足f[f(a)]=的实数a的个数.‎ 解:令f(a)=x,则f[f(a)]=变形为f(x)=;‎ 当x≥0时,f(x)=-(x-1)2+1=,‎ 解得x1=1+,x2=1-;‎ 因为f(x)为偶函数,所以当x<0时,f(x)=的解为x3=-1-,x4=-1+;‎ 综上所述,f(a)=1+,1-,-1-,-1+;‎ 当a≥0时,‎ f(a)=-(a-1)2+1=1+,方程无解;‎ f(a)=-(a-1)2+1=1-,方程有2解;‎ f(a)=-(a-1)2+1=-1-,方程有1解;‎ f(a)=-(a-1)2+1=-1+,方程有1解;‎ 故当a≥0时,方程f(a)=x有4解,由偶函数的性质,易得当a<0时,方程f(a)=x也有4解,‎ 综上所述,满足f[f(a)]=的实数a的个数为8.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.若当x∈[1,3]时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最小值为 (  )‎ A. B.2‎ C. D. 解析:选A.设x>0,则-x<0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+3(-x)+2]=-x2+3x-2.所以在[1,3]上,当x=时,f(x)max=;当x=3时,f(x)min=-2.所以m≥且n≤-2.故m-n≥.‎ ‎2.(2020·宁波效实中学高三月考)对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是(  )‎ A.f(x)= B.f(x)=x2‎ C.f(x)=tan x D.f(x)=cos(x+1)‎ 解析:选D.由f(x)为准偶函数的定义可知,若f(x)的图象关于x=a(a≠0)对称,则f(x)为准偶函数,A,C中两函数的图象无对称轴,B中函数图象的对称轴只有x=0,而D中f(x)=cos(x+1)的图象关于x=kπ-1(k∈Z)对称.‎ ‎3.已知函数f(x)=a-.若f(x)为奇函数,则a=________.‎ 解析:法一:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),‎ 即a-=-,则2a=+=+==1,所以a=.‎ 法二:因为f(x)为奇函数,定义域为R,所以f(0)=0.‎ 所以a-=0,所以a=.经检验,当a=时,f(x)是一个奇函数.‎ 答案: ‎4.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f(x)-g(x)=,则f(1),g(0),g(-1)之间的大小关系是________.‎ 解析:在f(x)-g(x)=中,用-x替换x,得f(-x)-g(-x)=2x,由于f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此得-f(x)-g(x)=2x.联立方程组解得f(x)=,g(x)=-,于是f(1)=-,g(0)=-1,g(-1)=-,故f(1)>g(0)>g(-1).‎ 答案:f(1)>g(0)>g(-1)‎ ‎5.(2020·杭州学军中学高三质检)已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上既是奇函数,又是减函数.‎ ‎(1)求证:对任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)≤0;‎ ‎(2)若f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围.‎ 解:(1)证明:若x1+x2=0,显然不等式成立.‎ 若x1+x2<0,则-1≤x1<-x2≤1,‎ 因为f(x)在[-1,1]上是减函数且为奇函数,‎ 所以f(x1)>f(-x2)=-f(x2),‎ 所以f(x1)+f(x2)>0.‎ 所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0成立.‎ 若x1+x2>0,则1≥x1>-x2≥-1,‎ 同理可证f(x1)+f(x2)<0.‎ 所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0成立.‎ 综上得证,对任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)≤0恒成立.‎ ‎(2)因为f(1-a)+f(1-a2)<0⇔f(1-a2)<-f(1-a)=f(a-1),所以由f(x)在定义域[-1,1]上是减函数,得即解得0≤a<1.‎ 故所求实数a的取值范围是[0,1).‎ ‎6.(2020·宁波市余姚中学高三模拟)设常数a∈R,函数f(x)=(a-x)|x|.‎ ‎(1)若a=1,求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若f(x)是奇函数,且关于x的不等式mx2+m>f[f(x)]对所有的x∈[-2,2]恒成立,求实数m的取值范围.‎ 解:(1)当a=1时,f(x)=(1-x)|x|=,‎ 当x≥0时,f(x)=(1-x)x=-+,‎ 所以f(x)在内是增函数,‎ 在内是减函数;‎ 当x<0时,f(x)=(x-1)x=-,‎ 所以f(x)在(-∞,0)内是减函数;‎ 综上可知,f(x)的单调增区间为,‎ 单调减区间为(-∞,0),.‎ ‎(2)因为f(x)是奇函数,所以f(-1)=-f(1),‎ 即(a+1)·1=-(a-1)·1,解得a=0.‎ 所以f(x)=-x|x|,f[f(x)]=x3|x|;‎ 所以mx2+m>f[f(x)]=x3|x|,‎ 即m>对所有的x∈[-2,2]恒成立.‎ 因为x∈[-2,2],所以x2+1∈[1,5].‎ 所以≤==x2+1+-2≤.‎ 所以m>.‎ 所以实数m的取值范围为.‎
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