2016届高考数学（理）5年高考真题备考试题库：第9章 第8节 n次独立重复试验与二项分布

2016届高考数学（理）5年高考真题备考试题库：第9章 第8节 n次独立重复试验与二项分布

‎2010~2014年高考真题备选题库 第9章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第8节 n次独立重复试验与二项分布 ‎1．（2014新课标全国Ⅱ，5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　)‎ A．0.8 B．0.75‎ C．0.6 D．0.45‎ 解析：根据条件概率公式P(B|A)＝，可得所求概率为＝0.8.‎ 答案：A ‎2．（2014广东，13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.‎ 根据上述数据得到样本的频率分布表如下：‎ 分组 频数 频率 ‎[25,30]‎ ‎3‎ ‎0.12‎ ‎(30,35]‎ ‎5‎ ‎0.20‎ ‎(35,40]‎ ‎8‎ ‎0.32‎ ‎(40,45]‎ n1‎ f1‎ ‎(45,50]‎ n2‎ f2‎ ‎(1)确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；‎ ‎(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；‎ ‎(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率．‎ 解：(1)根据已知数据统计出n1＝7，n2＝2；‎ 计算得f1＝0.28，f2＝0.08.‎ ‎(2)由于组距为5，用得各组的纵坐标分别为0.024，0.040,0.064,0.056,0.016.‎ 不妨以0.008为纵坐标的一个单位长、5为横坐标的一个单位长画出样本频率分布直方图如下：‎ ‎(3)根据样本频率分布直方图，以频率估计概率，则在该厂任取1人，其日加工零件数落在区间(30,35]的频率为0.2，估计其概率为0.2.‎ 所以在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率P＝1－C(0.2)0(1－0.2)4＝0.590 4.‎ ‎3．（2014辽宁，12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．如图所示．‎ 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．‎ ‎(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；‎ ‎(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．‎ 解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此 P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，‎ P(A2)＝0.003×50＝0.15，‎ P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.‎ ‎(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为 P(X＝0)＝C·(1－0.6)3＝0.064，‎ P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288，‎ P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432，‎ P(X＝3)＝C·0.63＝0.216.‎ X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.064‎ ‎0.288‎ ‎0.432‎ ‎0.216‎ 因为X～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.‎ ‎4．（2014四川，12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．‎ ‎(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；‎ ‎(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？‎ ‎(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．‎ 解：(1)X可能的取值为：10,20,100，－200.根据题意，有 P(X＝10)＝C×1×2＝，‎ P(X＝20)＝C×2×1＝，‎ P(X＝100)＝C×3×0＝，‎ P(X＝－200)＝C×0×3＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎10‎ ‎20‎ ‎100‎ ‎－200‎ P ‎(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝.‎ 所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1－P(A‎1A2A3)＝1－3＝1－＝.‎ 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.‎ ‎(3)X的数学期望为E(X)＝10×＋20×＋100×－200×＝－.‎ 这表明，获得分数X的均值为负，‎ 因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．‎ ‎5．（2014湖北，12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，‎ 过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．‎ ‎(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；‎ ‎(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：‎ 年入流量X ‎40120‎ 发电机最多 可运行台数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？‎ 解：(1)依题意，p1＝P(40120)＝＝0.1.‎ 由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝4＋4×3×＝0.947 7.‎ ‎(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．‎ ‎①安装1台发电机的情形．‎ 由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000.‎ ‎②安装2台发电机的情形．‎ 依题意，当40120时，三台发电机运行，此时Y ‎＝5 000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.因此得Y的分布列如下：‎ Y ‎3 400‎ ‎9 200‎ ‎15 000‎ P ‎0.2‎ ‎0.7‎ ‎0.1‎ 所以，E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620.‎ 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．‎ ‎6．（2013安徽，13分）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.‎ ‎(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；‎ ‎(2)求使P(X＝m)取得最大值的整数m.‎ 解：本题主要考查古典概型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想，逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．‎ ‎(1)因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以与相互独立．由于P(A)＝P(B)＝＝，故P()＝P()＝1－，因此学生甲收到活动通知信息的概率P＝1－2＝.‎ ‎(2)当k＝n时，m只能取n，有P(X＝m)＝P(X＝n)＝1.‎ 当kE(3X2)，‎ 所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．‎ 法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．‎ 记“这两人的累计得分X≤‎3”‎的事件为A，‎ 则事件A包含有“X＝0”，“X＝2”，“X＝3”三个两两互斥的事件，‎ 因为P(X＝0)＝×＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝×＝，‎ 所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝，‎ 即这两人的累计得分X≤3的概率为.‎ ‎(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：‎ X1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎　‎ X2‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ P 所以E(X1)＝0×＋2×＋4×＝，‎ E(X2)＝0×＋3×＋6×＝.‎ 因为E(X1)>E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．‎ ‎8．（2013四川，12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．‎ ‎(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1,2,3)；‎ ‎(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．‎ 甲的频数统计表(部分)‎ 运行次数n 输出y的值为1的频数 输出y的值为2的频数 输出y的值为3的频数 ‎30‎ ‎14‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2 100‎ ‎1 027‎ ‎376‎ ‎697‎ 乙的频数统计表(部分)‎ 运行次数n 输出y的值为1的频数 输出y的值为2的频数 输出y的值为3的频数 ‎30‎ ‎12‎ ‎11‎ ‎7‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2 100‎ ‎1 051‎ ‎696‎ ‎353‎ 当n＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；‎ ‎(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．‎ 解：本题主要考查算法与程序框图、古典概型、独立重复试验、随机变量的分布列、数学期望、频数、频率等概念及相关计算，考查运用统计与概率的知识解决实际问题的能力，考查数据处理能力、应用意识和创新意识．‎ ‎(1)变量x是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．‎ 当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝；‎ 当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝；‎ 当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝.‎ 所以，输出y的值为1的概率为，输出y的值为2的概率为，输出y的值为3的概率为.‎ ‎(2)当n＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率如下：‎ 输出y的值为1的频率 输出y的值为2的频率 输出y的值为3的频率 甲 乙 比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．‎ ‎(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.‎ P(ξ＝0)＝C×0×3＝，‎ P(ξ＝1)＝C×1×2＝，‎ P(ξ＝2)＝C×2×1＝，‎ P(ξ＝3)＝C×3×0＝，‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以，Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.‎ 即ξ的数学期望为1.‎ ‎9．（2010新课标全国，5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　　)‎ A．100 B．200‎ C．300 D．400‎ 解析：记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1 000,0.1)，所以Eξ＝1 000×0.1＝100，而X＝2ξ，故EX＝E(2ξ)＝2Eξ＝200.‎ 答案：B ‎10．（2010安徽，5分）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．‎ ‎①P(B)＝；‎ ‎②P(B|A1)＝；‎ ‎③事件B与事件A1相互独立；‎ ‎④A1，A2，A3是两两互斥的事件；‎ ‎⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．‎ 解析：由题意知P(B)的值是由A1，A2，A3中某一个事件发生所决定的，故①③错误；‎ ‎∵P(B|A1)＝＝＝，故②正确；‎ 由互斥事件的定义知④正确，故正确的结论的编号是②④.‎ 答案：②④‎ ‎11．（2012辽宁，12分）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：‎ 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．‎ ‎(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 女10‎ ‎55‎ 合计 ‎(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．‎ 附：χ2＝，‎ P(χ2≥k)‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ 解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2＝＝＝≈3.030.‎ 因为3.030<3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．‎ ‎(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.‎ 由题意X～B(3，)，从而X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(X)＝np＝3×＝，‎ ‎12．(2011天津，13分)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)‎ ‎(1)求在1次游戏中，‎ ‎(ⅰ)摸出3个白球的概率；‎ ‎(ⅱ)获奖的概率；‎ ‎(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．‎ 解：(1)(ⅰ)设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0,1,2,3)，则P(A3)＝·＝.‎ ‎(ⅱ)设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3.‎ 又P(A2)＝·＋·＝，且A2，A3互斥，‎ 所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.‎ ‎(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.‎ P(X＝0)＝(1－)2＝，‎ P(X＝1)＝C×(1－)＝，‎ P(X＝2)＝()2＝.‎ 所以X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.‎ ‎13．(2010广东，12分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．‎ ‎(1)根据频率分布直方图，求重量超过‎505克的产品数量；‎ ‎(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过‎505克的产品数量，求Y的分布列；‎ ‎(3)从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过‎505克的概率．‎ 解：(1)根据频率分布直方图可知，重量超过‎505克的产品数量为[(0.01＋0.05)×5]×40＝12(件)．‎ ‎(2)Y的可能取值为0,1,2.‎ P(Y＝0)＝＝.‎ P(Y＝1)＝＝.‎ P(Y＝2)＝＝.‎ Y的分布列为 Y ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎(3)利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过‎505克的概率为0.3.‎ 令ξ为任取的5件产品中重量超过‎505克的产品数量，‎ 则ξ～B(5,0.3)，‎ 故所求概率为P(ξ＝2)＝C(0.3)2(0.7)3＝0.308 7.‎