河南省三门峡市外国语高级中学2020届高三模拟(四)考试数学(文)试卷

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文档介绍

河南省三门峡市外国语高级中学2020届高三模拟(四)考试数学(文)试卷

文科数学试卷 一.选择题(共16小题)‎ ‎1.集合M={x|2x2﹣x﹣1<0|},N={x|2x+a>0|},U=R,若M∩∁UN=∅,则a的取值范围是(  )‎ A.a>1 B.a≥‎1 ‎C.a<1 D.a≤1‎ ‎【解答】解:M={x|2x2﹣x﹣1<0|}={x|﹣<x<1},N={x|2x+a>0|}={x|x>﹣},‎ ‎∁UN={x|x≤﹣},‎ 若M∩∁UN=∅,则﹣≤,‎ 即a≥1,‎ 故选:B.‎ ‎2.已知命题p:直线l1:x﹣2y+3=0与l2:2x+y+3=0相交但不垂直;命题q:∃x0∈(0,+∞),x0+2>,则下列命题中是真命题的是(  )‎ A.(¬p)∧q B.p∧q C.p∨(¬q) D.(¬p)∧(¬q)‎ ‎【解答】解:命题p:直线l1:x﹣2y+3=0与l2:2x+y+3=0相交并且垂直;所以命题p是假命题;则¬p是真命题;‎ 命题q:∃x0∈(0,+∞),x0+2>,因为x0=1时,命题是真命题,所以q是真命题,¬p是假命题;‎ 则:(¬p)∧q是真命题;p∧q、p∨(¬q)、(¬p)∧(¬q)都是假命题;‎ 故选:A.‎ ‎3.已知复数,其中i为虚数单位,则|z|=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:∵,‎ ‎∴|z|=||=.‎ 故选:C.‎ ‎4.已知A(0,﹣4),B(﹣2,0),C(0,2),光线从点A射出,经过线段BC(含线段端点)反射,恰好与圆(x﹣a)2+(y﹣‎2a)2=相切,则(  )‎ A.﹣1≤a≤1﹣ B.≤a≤1﹣ ‎ C.≤a≤1+ D.﹣1≤a≤1+‎ ‎【解答】解:由题意可得,A(0,﹣4)关于BC 所在的直线的对称点D(﹣6,2),要使得反射光线与圆(x﹣a)2+(y﹣2a)2=相切,只要使得射线DB,DC与圆相切即可,‎ 易得直线DB的方程x+2y+2=0,直线DC的方程y=2,‎ 由,可得,a=﹣1或a=,‎ 由|2a﹣2|=可得a=1,‎ 结合图象可知,﹣1.‎ 故选:D.‎ ‎5.若向量=(2k﹣1,k)与向量=(4,1)共线,则=(  )‎ A.0 B.‎4 ‎C. D.‎ ‎【解答】解:向量与向量共线,‎ 则2k﹣1﹣4k=0,解得k=﹣,‎ ‎∴=(﹣2,﹣),‎ ‎∴=﹣2×4+(﹣)×1=﹣.‎ 故选:D.‎ ‎6.为比较甲、乙两地某月14时的气温状况,随机选取该月中的5天,将这5天中14时的气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论:‎ ‎①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温;‎ ‎②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温;‎ ‎③甲地该月14时气温的中位数小于乙地该月14时气温的中位数;‎ ‎④甲地该月14时气温的中位数大于乙地该月14时气温的中位数.‎ 其中根据茎叶图能得到的正确的统计结论的标号为(  )‎ A.①③ B.②④ C.②③ D.①④‎ ‎【解答】解:甲地该月14时的平均气温=(26+28+29+31+31)=29,中位数为:29,‎ 乙地该月14时的平均气温=(28+29+30+31+32)=30,中位数为:30,‎ ‎∴甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温,‎ 甲地该月14时的平均气温的中位数小于乙地该月14时的气温的中位数.‎ ‎∴根据茎叶图能得到的统计结论的标号为①③.‎ 故选:A.‎ ‎7.“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家,他的应用巨著《算法统综》中有一首“竹筒容米”问题:“家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节四升五,上梢四节三升八,唯有中间两节竹,要将米数次第盛,若有先生能算法,也教算得到天明.”(【注】四升五:‎4.5升,次第盛:盛米容积依次相差同一数量.)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为(  )‎ A.‎2.2升 B.‎2.3升 C.‎2.4升 D.‎‎2.5升 ‎【解答】解:设从下至上各节容积分别为a1,a2,…,a9,‎ 则{an}是等差数列,设公差为d,‎ 由题意得,‎ 解得a1=1.6,d=﹣0.1,‎ ‎∴中间两节的容积为:a4+a5=(1.6﹣0.1×3)+(1.6﹣0.1×4)=2.5(升).‎ 故选:D.‎ ‎8.已知抛物线y2=2x的焦点为F,点P在抛物线上,以PF为边作一个等边三角形PFQ,若点Q在抛物线的准线上,则|PF|=(  )‎ A.1 B.‎2 ‎C.2 D.2‎ ‎【解答】解:抛物线的焦点坐标(,0),可得直线PF:y=(x﹣),‎ 可得:,可得:x=,则y=,‎ ‎|PF|==2.‎ 故选:B.‎ ‎9.函数f(x)=的图象大致为(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【解答】解:∵f(﹣x)==﹣=﹣f(x),‎ ‎∴f(x)是奇函数,‎ 故f(x)的图象关于原点对称,‎ 当x>0时,f(x)=,‎ ‎∴当0<x<1时,f(x)<0,当x>1时,f(x)>0,‎ 故选:A.‎ ‎10.设p=‎0.50.7‎,q=0.3,则有(  )‎ A.p﹣q>pq>p+q B.p﹣q>p+q>pq C.pq>p﹣q>p+q D.p+q>p﹣q>pq ‎【解答】解:依题意,p=‎0.50.7‎>0.5,‎ q==<log31=0,‎ 又因为>,‎ 所以q===﹣,‎ 即﹣q<0,‎ 所以p﹣q>p+q>0,pq<0,‎ 所以p﹣q>p+q>pq,‎ 故选:B.‎ ‎11.若函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<)的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称,则函数f(x)在区间[0,]上的最小值为(  )‎ A.﹣ B.﹣‎1 ‎C.1 D.‎ ‎【解答】解:函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<)的图象向左平移个单位长度后 图象所对应解析式为:g(x)=2sin[2(x+)+φ]=2sin(2x++φ),‎ 由g(x)关于y轴对称,则+φ=kπ,φ=kπ,k∈Z,‎ 又|φ|<,‎ 所以φ=,‎ 即f(x)=2sin(2x+),‎ 当x∈[0,]时,‎ 所以2x+∈[,],‎ f(x)min=f()=﹣,‎ 故选:A.‎ ‎12.已知数列{an}中,a1=2,n(an+1﹣an)=an+1,n∈N*,若对于任意的a∈[﹣2,2],n∈N*,不等式<2t2+at﹣1恒成立,则实数t的取值范围为(  )‎ A.(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) B.(﹣∞,﹣2]∪[1,+∞) ‎ C.(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞) D.[﹣2,2]‎ ‎【解答】解:根据题意,数列{an}中,n(an+1﹣an)=an+1,‎ 即nan+1﹣(n+1)an=1,‎ 则有﹣==﹣,‎ 则有=(﹣)+(﹣)+(﹣)+…+(a2﹣a1)+a1‎ ‎=(﹣)+(﹣)+(﹣)+…+(1﹣)+2=3﹣<3,‎ ‎<2t2+at﹣1即3﹣<2t2+at﹣1,‎ ‎∵对于任意的a∈[﹣2,2],n∈N*,不等式<2t2+at﹣1恒成立,‎ ‎∴2t2+at﹣1≥3,‎ 化为:2t2+at﹣4≥0,‎ 设f(a)=2t2+at﹣4,a∈[﹣2,2],‎ 可得f(2)≥0且f(﹣2)≥0,‎ 即有即,‎ 可得t≥2或t≤﹣2,‎ 则实数t的取值范围是(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞).‎ 故选:A.‎ 二.填空题(共6小题)‎ ‎13.某校高三科创班共48人,班主任为了解学生高考前的心理状况,将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查,若抽到的最大学号为48,则抽到的最小学号为 6 .‎ ‎【解答】解:系统抽样的抽取间隔为=6,‎ 则48﹣6×7=6,‎ 则抽到的最小学号为6,‎ 故答案为:6.‎ ‎14.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+6y的最大值为 18 .‎ ‎【解答】解:由约束条件作出可行域如图,‎ A(0,3),‎ 化目标函数z=x+6y为y=﹣,‎ 由图可知,当直线y=﹣过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为18.‎ 故答案为:18.‎ ‎15.已知A,B是圆C:x2+y2﹣8x﹣2y+16=0上两点,点P在抛物线x2=2y上,当∠APB取得最大值时,|AB|=  .‎ ‎【解答】解:圆C:x2+y2﹣8x﹣2y+16=0的圆心(4,1),半径为1,‎ 设抛物线上的点P(m,n),则m2=2n,‎ ‎|PC|===,‎ 令g(m)=,‎ 可得g′(m)=m3﹣8,令g′(m)=m3﹣8=0,解得m=2,‎ m<2,g′(m)=m3﹣8<0,m>2,g′(m)=m3﹣8>0,所以g(m)的最小值为:4﹣16+17=5.‎ ‎|PC|,‎ 所以切线长为:|PA|=2,如图:‎ ‎|PC|•|AB|=|PA|•|AC|,‎ γ ‎|AB|=.‎ 故答案为:.‎ ‎16.△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若A=2B,则的取值范围为 (2,4) .‎ ‎【解答】‎ 解:.‎ ‎=cos2B+2cos2B+﹣1.‎ 又2B∈(0,π),且A+B=3B∈(0,π),‎ 所以.‎ 设,‎ 令﹣1=f(t),‎ 则f'(t)=8t﹣>0,‎ 故f(t)在上单调递增,‎ 所以2<f(t)<4.‎ 所以的取值范围为(2,4),‎ 故答案为:(2,4)‎ 三.解答题(共11小题)‎ ‎17.已知等差数列{an}是递增数列,且a‎1a5=9,a2+a4=10.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎【解答】解:(1)设首项为a1,公差为d的等差数列{an}是递增数列,‎ 且a1a5=9,a2+a4=10.‎ 则:,‎ 解得:a1=1或9,a5=9或1,‎ 由于数列为递增数列,‎ 则:a1=1,a5=9.‎ 故:d=2‎ 则:an=1+2(n﹣1)=2n﹣1.‎ ‎(2)由于an=2n﹣1,‎ 则:bn==,‎ ‎=,‎ ‎=.‎ 所以:Sn=b1+b2+…+bn,‎ ‎=,‎ ‎=,‎ ‎=.‎ ‎18.今年年初,习近平在《告台湾同胞书》发表40周年纪念会上的讲话中说道:“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场,为发展增动力,为合作添活力,壮大中华民族经济两岸要应通尽通,提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通,可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥.要推动两岸文化教育、医疗卫生合作,社会保障和公共资源共享,支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召,在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源,据统计,每家大型农贸市场的年平均销售量(单位:吨),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)分组的频率分布直方图如图.‎ ‎(1)求直方图中x的值和年平均销售量的众数和中位数;‎ ‎(2)在年平均销售量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)的四组大型农贸市场中,用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场,求年平均销售量在[240,260),[260,280)[280,300)的农贸市场中应各抽取多少家?‎ ‎(3)在(2)的条件下,再从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动,求恰有1家在[240,260)组的概率.‎ ‎【解答】解:(1)由直方图的性质得:‎ ‎(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1,‎ 解方程得x=0.0075,‎ ‎∴直方图中x=0.0075.‎ 年平均销售量的众数是=230,‎ ‎∵(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5,‎ ‎∴年平均销售量的中位数在[220,240)内,‎ 设中位数为a,则:(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(220)=0.5,‎ 解得a=224,‎ ‎∴年平均销售量的中位数为224.‎ ‎(2)年平均销售量为[220,240)的农贸市场有:0.0125×20×100=25,‎ 年平均销售量为[240,260)的农贸市场有:0.0075×20×100=15,‎ 年平均销售量为[260,280)的农贸市场有:0.0025×20×100=5,‎ ‎∴抽取比例为:=,‎ ‎∴年平均销售量在[240,260)的农贸市场中应抽取15×=3家,‎ 年平均销售量在[260,280)的农贸市场中应抽取10×=2家,‎ 年平均销售量在[280,300)的农贸市场中应抽取5×=1家,‎ 故年平均销售量在[240,260),[260,280)[280,300)的农贸市场中应各抽取3家,2家,1家.‎ ‎(3)由(2)知年平均销售量在[240,260),[260,280)[280,300)的农贸市场中应各抽取3家,2家,1家.‎ 设从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动,‎ 基本事件总数n=,‎ 恰有1家在[240,260)组包含的基本事件的个数m==9,‎ ‎∴恰有1家在[240,260)组的概率p=.‎ ‎19.如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥菱形ABCD所在的平面,∠ABC=60°,E是BC中点,M是PD的中点.‎ ‎(1)求证:平面AEM⊥平面PAD;‎ ‎(2)若F是PC上的中点,且AB=AP=2,求三棱锥P﹣AMF的体积.‎ ‎【解答】证明:(1)连结AC,‎ ‎∵底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,∴△ABC是正三角形,‎ ‎∵E是BC中点,∴AE⊥BC,又AD∥BC,∴AE⊥AD,‎ ‎∵PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,∴PA⊥AE,‎ ‎∵PA∩AD=A,∴AE⊥平面PAD,‎ 又AE⊂平面AEM,∴平面AEM⊥平面PAD.‎ 解:(2)∵F是PC上的中点,且AB=AP=2,‎ ‎∴AD=2,AE=,‎ ‎∴三棱锥P﹣AMF的体积:‎ VP﹣AMF=VM﹣APF=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎==.‎ ‎20.已知f(x)=+alnx﹣ax.‎ ‎(1)若a<0,讨论函数f(x)的单调性;‎ ‎(2)当a=﹣1时,若不等式﹣x≥0在[1,+∞)上恒成立,求b的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞)………………(1分)‎ ‎∵,………………(2分)‎ ‎∴当x∈(0,1)时,f'(x)<0;x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,‎ ‎∴函数f(x)在(0,1)上单调递减;在(1,+∞)上单调递增. ………………(4分)‎ ‎(2)当a=﹣1时,,‎ 由题意,b(x﹣1)ex﹣lnx≥0在[1,+∞)上恒成立 ‎①若b≤0,当x≥1时,显然有b(x﹣1)ex﹣lnx≤0恒成立;不符题意. ………………‎ ‎(5分)‎ ‎②若b>0,记h(x)=b(x﹣1)ex﹣lnx,则.………………(7分)‎ 显然h'(x)在[1,+∞)单调递增,‎ 当时,当x≥1(3)时,h'(x)≥h'(1)=be﹣1≥0(4)‎ ‎∴x∈[1,+∞)时,h(x)≥h(1)=0………………(8分)‎ 当(6),h'(1)=be﹣1<(7)0,‎ ‎(8)‎ ‎∴存在x0>1,使h'(x)=0.………………(9分)‎ 当x∈(1,x0)时,h'(x)<0,x∈(x0,+∞)时,h'(x)>0,‎ ‎∴h(x)在(1,x0)上单调递减;在(x0,+∞)上单调递增 ………………(10分)‎ ‎∴当x∈(1,x0)时,h(x)<h(1)=0,不全题意 ………………(11分)‎ 综上所述,所求b的取值范围是………………(12分)‎ ‎21.已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点 (1,),离心率为,点A为椭圆C的右顶点,直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点P(x1,y1),Q(x2,y2).‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)当⋅=0时,求△OPQ面积的最大值;‎ ‎(Ⅲ)若直线l的斜率为2,求证:△APQ的外接圆恒过一个异于点A的定点.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由椭圆的离心率e==,即c2=a2,即b2=a2﹣c2=a2,a2=4b2,‎ 将点 (1,)代入椭圆方程,即,解得:b2=1,‎ ‎∴a2=4,‎ ‎∴椭圆的标准方程:;‎ ‎(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时,设l:x=m,代入椭圆方程,‎ P(m,),Q(m,﹣),‎ 由⋅=0,(m﹣2)2﹣(1﹣)=0,解得:m=,m=2(舍去),‎ 此时|PQ|=,△OPQ的面积为,‎ 当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m,代入椭圆方程,(4k2+1)x2+8kmx+4(m2﹣1)=0,‎ 由△>0,则4k2﹣m2+1>0,‎ x1+x2=﹣,x1•x2=,‎ 由 ⋅=0,‎ ‎(x1﹣2)(x2﹣2)+y1y2=(k2+1)x1•x2+(km﹣2)(x1+x2)+m2+4=0,‎ 代入求得12k2+5m2+16km=0,‎ 即m=﹣k,m=﹣2k,(此时直线l过点A,舍去),‎ ‎|PQ|=•=,‎ 点O到直线l的距离d=,‎ ‎△OPQ的面积为,将m=﹣k代入,‎ ‎×<,‎ ‎△OPQ 面积的最大值;‎ ‎(Ⅲ)证明:设直线y=2x+m,代入椭圆方程,整理得:17x2+16mx+4(m2﹣1)=0,‎ 设△APQ的外接圆方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,‎ 联立直线l的方程,5x2+(4m+D+2E)x+(m2+mE+F)=0,‎ 代入可知==,‎ 由外接圆过点A(2,0),则2D+F=﹣4,‎ 从而可得关于D,E,F的三元一次方程组,‎ ‎,解得:,‎ 代入圆方程,整理得:(x2+y2﹣x+y﹣)+(2x+y﹣4)=0,‎ ‎∴,解得:,或,‎ ‎△APQ 的外接圆恒过一个异于点A的定点(,).‎ ‎22.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l:(m为常数).‎ ‎(1)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,当|AB|=4时,求实数m的值.‎ ‎【解答】解:(1)曲线C的参数方程为(θ为参数),普通方程为(x﹣1)2+(y+1)2=16,‎ 直线l:,即ρsinθ+ρcosθ=4m,直角坐标方程为x+y﹣4m=0;‎ ‎(2)由题意,圆心到直线的距离d==2,‎ ‎∴=2,∴m=±.‎ ‎23.不等式|x+2|+|x+4|<8的解集为(n,m).‎ ‎(1)求m的值;‎ ‎(2)设a,b,c∈R*,且a2+b2+c2=m,求a+2b+3c的最大值.‎ ‎【解答】解:(1)|x+2|+|x+4|=.‎ ‎∵|x+2|+|x+4|<8,∴或﹣4≤x≤﹣2或,‎ ‎∴﹣2<x<1或﹣4≤x≤﹣2或﹣7<x<﹣4,∴﹣7<x<1,‎ ‎∴|x+2|+|x+4|<8的解集为(﹣7,1),∴m=1.‎ ‎(2)由(1)知m=1,∴a2+b2+c2=m=1,‎ ‎∵a,b,c∈R*,∴由柯西不等式,得:‎ ‎,‎ 当且仅当时,即,,等号成立,‎ ‎∴a+2b+3c的最大值为.‎
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