2019届二轮复习规范答题示例8　函数的单调性、极值与最值问题学案（全国通用）

2019届二轮复习规范答题示例8　函数的单调性、极值与最值问题学案（全国通用）

规范答题示例8　函数的单调性、极值与最值问题 典例8　(12分)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．‎ 审题路线图　―→―→.‎ 规 范 解 答·分 步 得 分 ‎ 构 建 答 题 模 板 解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a(x>0).‎ 若a≤0，则f′(x)>0，‎ 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.‎ 若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；‎ 当x∈时，f′(x)<0.‎ 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减.5分 所以当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，‎ 当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减.6分 ‎(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值，不合题意；‎ 当a>0时，f(x)在x＝处取得最大值，‎ 最大值为f＝ln＋a＝－ln a＋a－1.‎ 因此f>2a－2等价于ln a＋a－1<0.9分 令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.‎ 于是，当01时，g(a)>0.‎ 因此，a的取值范围是(0,1).12分 第一步 求导数：写出函数的定义域，求函数的导数.‎ 第二步 定符号：通过讨论确定f′(x)的符号.‎ 第三步 写区间：利用f′(x)的符号确定函数的单调性.‎ 第四步 求最值：根据函数单调性求出函数最值.‎ 评分细则　(1)函数求导正确给1分；‎ ‎(2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分；‎ ‎(3)求出最大值给2分；‎ ‎(4)构造函数g(a)＝ln a＋a－1给2分；‎ ‎(5)通过分类讨论得出a的范围，给2分．‎ 跟踪演练8　(2018·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．‎ ‎(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)证明：f(x)只有一个零点．‎ ‎(1)解　当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3，‎ f′(x)＝x2－6x－3.‎ 令f′(x)＝0，解得x＝3－2或x＝3＋2.‎ 当x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时，f′(x)>0；‎ 当x∈(3－2，3＋2)时，f′(x)<0.‎ 故f(x)的单调递增区间为(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)，单调递减区间为(3－2，3＋2)．‎ ‎(2)证明　因为x2＋x＋1>0在R上恒成立，‎ 所以f(x)＝0等价于－3a＝0.‎ 设g(x)＝－3a，‎ 则g′(x)＝≥0在R上恒成立，当且仅当x＝0时g′(x)＝0，‎ 所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．‎ 故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．‎ 又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－62－<0，‎ f(3a＋1)＝>0，故f(x)有一个零点．‎ 综上，f(x)只有一个零点．‎