高中数学选修2-2教案第二章 4_1

高中数学选修2-2教案第二章 4_1

‎4．1　导数的加法与减法法则 明目标、知重点 ‎1．理解导数的加减法法则．‎ ‎2．运用导数公式和导数的加法、减法法则求一些函数的导数．‎ 导数的加法与减法法则 两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)，‎ ‎[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)．‎ ‎[情境导学]‎ 前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连接的两个或两个以上基本初等函数的导数如何求，正是本节要研究的问题．‎ 探究点一　导数的加法与减法法则 思考1　怎样求函数y＝f(x)＝x＋x2的导函数，可得出什么结论？‎ 答　根据导数定义 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)‎ ‎＝(x＋Δx)＋(x＋Δx)2－(x＋x2)‎ ‎＝Δx＋2x·Δx＋(Δx)2.‎ ‎∴＝1＋2x＋Δx，‎ ‎∴ ＝1＋2x，‎ 即f′(x)＝1＋2x.结论：(x＋x2)′＝x′＋(x2)′.‎ 思考2　将思考1的结论推广，可得到导数的加法、减法法则，请你写出来．‎ 答　[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)，‎ ‎[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)．‎ 例1　求下列函数的导数．‎ ‎(1)y＝x3＋x2＋x；(2)y＝2x＋.‎ 解　(1)y′＝(x3＋x2＋x)′＝(x3)′＋(x2)′＋(x)′‎ ‎＝3x2＋2x＋1.‎ ‎(2)y′＝(2x＋)′＝(2x)′＋()′＝2xln 2＋.‎ 反思与感悟　利数导数的加法与减法法则，将两个函数的和差的导数转化为两个函数的导数的和差．‎ 跟踪训练1　已知f(x)＝tan x＋sin x，求f′.‎ 解　f′(x)＝(tan x)′＋(sin x)′＝＋cos x，‎ ‎∴f′＝4＋＝.‎ 探究点二　导数的应用 例2　已知函数f(x)＝x3＋x，求函数在点(2,10)处的切线方程．‎ 解　f′(x)＝(x3＋x)′＝(x3)′＋(x)′＝3x2＋1.‎ ‎∴f′(2)＝3×22＋1＝13.‎ ‎∴所求切线的斜率是13.‎ ‎∴切线方程为y－10＝13(x－2)，即13x－y－16＝0.‎ ‎∴所求切线的方程是13x－y－16＝0.‎ 反思与感悟　导数的几何意义是曲线的切线的斜率，对于较复杂函数的求导，可利用导数公式和运算法则．‎ 跟踪训练2　已知函数f(x)＝sin x＋cos x，求曲线y＝f(x)在x＝处的切线方程．‎ 解　∵f′(x)＝(sin x＋cos x)′‎ ‎＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x，‎ ‎∴f′＝cos －sin ＝0.‎ ‎∴曲线y＝f(x)在x＝处的切线斜率为0.‎ 又f＝，∴所求切线方程为y＝.‎ ‎1．函数f(x)＝sin x＋x的导数是(　　)‎ A．f′(x)＝cos x＋1 B．f′(x)＝cos x－1‎ C．f′(x)＝－cos x＋1 D．f′(x)＝－cos x＋x 答案　A ‎2．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为(　　)‎ A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2‎ C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5‎ 答案　B 解析　∵y′＝3x2－6x，‎ ‎∴曲线在点(1，－1)处的切线斜率为－3.‎ ‎∴切线方程为y＝－3x＋2.‎ ‎3．已知f′(1)＝13，则函数g(x)＝f(x)＋x在x＝1处的导数为 ．‎ 答案　14‎ 解析　g′(x)＝f′(x)＋1，‎ ‎∴g′(1)＝f′(1)＋1＝14.‎ ‎4．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点坐标为 ．‎ 答案　(1，e)‎ 解析　∵(ex)′＝ex.设切点坐标为(x0，)，则过该切点的切线斜率为，令＝.‎ 即x0·＝，‎ ‎∴x0＝1.∴切点坐标为(1，e)．‎ ‎[呈重点、现规律]‎ ‎1．导数公式和导数的运算法则是计算导数的重要工具．‎ ‎2．利用导数解决曲线的切线问题要分清所给点是不是切点．‎ 一、基础过关 ‎1．下列结论不正确的是(　　)‎ A．若y＝3，则y′＝0‎ B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3‎ C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1‎ D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x 答案　D 解析　利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D项，∵y＝sin x＋cos x，‎ ‎∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x.‎ ‎2．函数y＝x－(2x－1)2的导数是(　　)‎ A．3－4x B．3＋4x C．5＋8x D．5－8x 答案　D 解析　y＝x－(4x2－4x＋1)＝－4x2＋5x－1，‎ y′＝－8x＋5.‎ ‎3．曲线f(x)＝x3＋x－2在P0点处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为(　　)‎ A．(1,0) B．(2,8)‎ C．(1,0)和(－1，－4) D．(2,8)和(－1，－4)‎ 答案　C 解析　∵f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1.‎ ‎4．曲线f(x)＝x2＋bx＋c在点(1,2)处的切线与其平行直线bx＋y＋c＝0间的距离是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　因为曲线过点(1,2)，所以b＋c＝1，‎ 又f′(1)＝2＋b，由题意得2＋b＝－b，‎ 所以b＝－1，c＝2.‎ 所以所求的切线方程为y－2＝x－1，‎ 即x－y＋1＝0.‎ 故两平行直线x－y＋1＝0和x－y－2＝0的距离为 d＝＝.‎ ‎5．过点P(－1,2)且与曲线f(x)＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是 ．‎ 答案　2x－y＋4＝0‎ 解析　易求f′(x)＝6x－4，f′(1)＝2.‎ ‎∴所求直线的斜率k＝2.‎ 则直线方程为y－2＝2(x＋1)，‎ 即2x－y＋4＝0.‎ ‎6．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋ (t的单位是s，s的单位是m)，则它在第4 s末的瞬时速度应该为 ．‎ 答案　7 m/s 解析　∵s′＝2t－，‎ ‎∴v＝s′(4)＝8－＝7 m/s.‎ ‎7．已知函数f(x)＝2x＋x2－x，求f′(1)，f′(4)．‎ 解　f′(x)＝(2x＋x2－x)′＝(2x)′＋(x2)′－x′‎ ‎＝2xln 2＋2x－1，‎ ‎∴f′(1)＝2ln 2＋1，‎ f′(4)＝24·ln 2＋2×4－1＝16ln 2＋7.‎ 二、能力提升 ‎8．函数y＝的导数为(　　)‎ A.＋1 B.－1‎ C.＋1 D.－1‎ 答案　D 解析　∵y＝2x－x＋3－2x－，‎ ‎∴y′＝2·x－1－2··x－ ‎＝3＋－1＝－1.‎ ‎9．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为(　　)‎ A．4 B．－ C．2 D．－ 答案　A 解析　依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，‎ f′(1)＝g′(1)＋2＝4.‎ ‎10．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝ .‎ 答案　2‎ 解析　设ex＝t，则x＝ln t(t>0)，‎ ‎∴f(t)＝ln t＋t ‎∴f′(t)＝＋1，‎ ‎∴f′(1)＝2.‎ ‎11．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c 的值．‎ 解　因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，‎ 所以a＋b＋c＝1.‎ y′＝2ax＋b，‎ 曲线在点(2，－1)处的切线的斜率为4a＋b＝1.‎ 又曲线过点(2，－1)，‎ 所以4a＋2b＋c＝－1.‎ 由解得 所以a、b、c的值分别为3、－11、9.‎ ‎12．已知函数f(x)＝x3＋x－16.‎ ‎(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；‎ ‎(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．‎ 解　(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．‎ ‎∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.‎ ‎∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.‎ ‎∴切线的方程为y＋6＝13(x－2)‎ 即y＝13x－32.‎ ‎(2)设切点坐标为(x0，y0)，‎ 则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，y0＝x＋x0－16，‎ ‎∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.‎ 又∵直线l过坐标点(0,0)，‎ ‎∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x＋x0－16，‎ 整理得，x＝－8，‎ ‎∴x0＝－2，‎ ‎∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，‎ 得切点坐标(－2，－26)，‎ k＝3×(－2)2＋1＝13.‎ ‎∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．‎ 三、探究与拓展 ‎13．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．‎ 解　(1)由7x－4y－12＝0得y＝x－3.‎ 当x＝2时，y＝，‎ ‎∴f(2)＝，①‎ 又f′(x)＝a＋，‎ ‎∴f′(2)＝，②‎ 由①，②得解之得.‎ 故f(x)＝x－.‎ ‎(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知 曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为 y－y0＝(1＋)(x－x0)，‎ 即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．‎ 令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)．‎ 令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．‎ 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.‎ 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. ‎