2017-2018学年新疆生产建设兵团第二中学高二下学期期末考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年新疆生产建设兵团第二中学高二下学期期末考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018 学年新疆生产建设兵团第二中学高 二下学期期末考试 理科数学 （时间：120 分钟 满分：150 分） 第 I 卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．曲线的极坐标方程 化为直角坐标为(　　) A． B． C． D． 2．设集合 ， ，则(　　) A． B． C． D． 3. 已知随机变量 ，若 ，则实数 (　　) A． 4 B．2 C． 1 D．0 4．直线Error!(t 为参数)与圆 ρ＝2cos θ 的位置关系为(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 5．若 ，且 恒成立，则 的最小值是(　　) A． B． C． D． 6．随机变量ξ的分布列如右表，且 ， 则 =(　　) ξ 0 1 x P P A．0.36 B．0.52 C．0.49 D．0.68 7．下列命题中，正确的选项是(　　) A．若 为真命题，则 为真命题 B． ，使得 C．“平面向量 与 的夹角为钝角”的充分不必要条件是“ ” D．“函数 在区间 上单调递增”的充分不必要条件是“ ” 8．已知函数 的图象关于直线 对称，当 时， ( )22,X N σ ( ) ( )1 1 2 1P X a P X a≤ − + ≤ + = a = θρ sin4= 4)2( 22 =−+ yx 4)2( 22 =++ yx 4)2( 22 =+− yx 4)2( 22 =++ yx 2{ | 0}M x x x= − > 1| 1N x x  = <   M N φ= M N φ= M N R= M N= , ,x y a R+∈ yxayx +≤+ a 2 1 2 2 1 2 ( ) 1.1E ξ = ( )D ξ 1 5 3 10 p q∨ p q∧ ( )0 0,x∃ ∈ +∞ 0 01 1 2 3 x x   <       a b 0a b⋅ <  ( ) 4f x ax= − ( )2,+∞ 2a = ( )f x 1x = 2 1 1x x> > 恒成立，设 ，则 的大小 关系为(　　) A． B． C． D． 9．《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉 命执行撤侨任务的故事.撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任 务的顺序提出了如下要求：重点任务 A 必须排在前三位，且任务 E、F 必须排在一起， 则这六项任务的不同安排方案共有(　　) A．120 种 B．156 种 C．188 种 D．240 种 10．已知直线 l：{x＝ 3t， y＝2－t (t 为参数)和抛物线 C：y2＝2x，l 与 C 分别交于点 P1，P2， 则点 A(0，2)到 P1，P2 两点距离之和是(　　) A．4＋ 3 B．2(2＋ 3) C．8＋ 3 D．4(2＋ 3) 11．已知函数 是定义在 上的单调函数，且对任意的 ，若动点 满 足等式 ，则 的最大值为(　　) A． B． C． D． 12．不等式 的解集为(　　) A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.） 13. 在极坐标系中，点 M (4， π 3 )到曲线 ρcos(θ－ π 3 )＝2 上的点的距离的最小值为 ________. 14. 若 ，则 的展开式中的常数项的最小值为________. 15．使关于 的不等式 有解的实数 的取值范围是_________. 16．函数 的最大值为 三、解答题(本大题共 6 小题，共计 70 分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步 骤) 17．（本小题满分 10 分） 已知命题 在区间(0，＋∞)上是减函数；命题 :不等式 ( ) ( ) ( )2 1 2 1 0f x f x x x− − <   ( ) ( )1 , 2 ,2a f b f c f e = − = =   , ,a b c a c b> > b a c> > c a b> > c b a> > ( )f x R ,x y R∈ ( ),P x y ( ) ( )2 22 2 4 1 0f x x f y y− + − − + + = x y+ 3 2 2− 3 2 2+ 2 2 3− 1 2 2+ 2 22 log 2 logx x x x− < + { }|1 2x x< < { }| 0 1x x< < { }| 1x x > { }| 2x x > 5 5a ≥ 62 2 x ay y x  −   x 1x k x+ + < k 3sin 4 1 cos2y x x= + + ( ) 2 1 2: mp f x x −= q 2 2 1x x m− > − 的解集为 。若命题“ ”为真，“ ”为假，求实数 的取值范围． 18．（本小题满分 12 分） 在直角坐标系 中，直线 ，曲线 （ 为参数），以坐标 原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）写出直线 与曲线 的极坐标方程； （Ⅱ）若射线 分别交 与 于 A，B 两点，求 的取值范围. 19．（本小题满分 12 分） 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数 方程为 . （Ⅰ）若 ，求 与 的交点坐标； （Ⅱ）若 上的点到 的距离的最大值为 ，求 的值. 20．（本小题满分 12 分） 已知定义在 上的函数 ，存在实数 使 成立． （Ⅰ）求实数 的值； （Ⅱ）若 , ,求证： . 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 . R p q∨ p q∧ m xOy 4:1 =+ yxC    = += θ θ sin cos1:2 y xC θ x 1C 2C )0(: >= ραθl 1C 2C OA OB xOy C 3cos sin x y θ θ =  = θ l ( )4 1 x a t ty t = +  = − 为参数 1a = − C l C l 17 a R ( ) ,f x x m x m N ∗= − + ∈ x ( ) 2f x < m 1, 1α β≥ ≥ ( ) ( ) 4f fα β+ = 4 1 3α β+ ≥ ( ) ( )2 4, 1 1f x x ax g x x x= − + + = + + − （Ⅰ）当 时，求不等式 的解集； （Ⅱ）若不等式 的解集包含[–1，1]，求 的取值范围. 22．（本小题满分 12 分） 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在 一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一人猜对，则“星队” 得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分．已知甲每轮猜对的概率是3 4，乙每轮 猜对的概率是2 3；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星 队”参加两轮活动，求： （Ⅰ）“星队”至少猜对 3 个成语的概率； （Ⅱ）“星队”两轮得分之和 的分布列和数学期望 ． 1a = ( ) ( )f x g x≥ ( ) ( )f x g x≥ a X ( )E X 兵团二中 2019 届高二第二学期期末考试 理科数学 （时间：120 分钟 满分：150 分） 第 I 卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．曲线的极坐标方程 化为直角坐标为(　　) A． B． C． D． 2．设集合 ， ，则(　　) A． B． C． D． 3. 已知随机变量 ，若 ，则实数 (　　) A． 4 B．2 C． 1 D．0 4．直线Error!(t 为参数)与圆 ρ＝2cos θ 的位置关系为(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 5．若 ，且 恒成立，则 的最小值是(　　) A． B． C． D． 6．随机变量ξ的分布列如右表，且 ， 则 =(　　) ξ 0 1 x P P A．0.36 B．0.52 C．0.49 D．0.68 7．下列命题中，正确的选项是(　　) A．若 为真命题，则 为真命题 B． ，使得 C．“平面向量 与 的夹角为钝角”的充分不必要条件是“ ” D．“函数 在区间 上单调递增”的充分不必要条件是“ ” 8．已知函数 的图象关于直线 对称，当 时， ( )22,X N σ ( ) ( )1 1 2 1P X a P X a≤ − + ≤ + = a = θρ sin4= 4)2( 22 =−+ yx 4)2( 22 =++ yx 4)2( 22 =+− yx 4)2( 22 =++ yx 2{ | 0}M x x x= − > 1| 1N x x  = <   M N φ= M N φ= M N R= M N= , ,x y a R+∈ yxayx +≤+ a 2 1 2 2 1 2 ( ) 1.1E ξ = ( )D ξ 1 5 3 10 p q∨ p q∧ ( )0 0,x∃ ∈ +∞ 0 01 1 2 3 x x   <       a b 0a b⋅ <  ( ) 4f x ax= − ( )2,+∞ 2a = ( )f x 1x = 2 1 1x x> > 恒成立，设 ，则 的大小 关系为(　　) A． B． C． D． 9．《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉 命执行撤侨任务的故事.撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任 务的顺序提出了如下要求：重点任务 A 必须排在前三位，且任务 E、F 必须排在一起， 则这六项任务的不同安排方案共有(　　) A．120 种 B．156 种 C．188 种 D．240 种 10．已知直线 l：{x＝ 3t， y＝2－t (t 为参数)和抛物线 C：y2＝2x，l 与 C 分别交于点 P1，P2， 则点 A(0，2)到 P1，P2 两点距离之和是(　　) A．8＋ 3 B．4＋ 3 C．4(2＋ 3) D．2(2＋ 3) 11．已知函数 是定义在 上的单调函数，且对任意的 ，若动点 满 足等式 ，则 的最大值为(　　) A． B． C． D． 12．不等式 的解集为(　　) A． B． C． D． 第Ⅱ卷 理科 13. 在极坐标系中，点 M (4， π 3 )到曲线 ρcos(θ－ π 3 )＝2 上的点的距离的最小值为 ___2_____. 14. 若 ，则 的展开式中的常数项的最小值为___ _____. 15．使关于 的不等式 有解的实数 的取值范围是____ _____. 16．函数 的最大值为 ( ) ( ) ( )2 1 2 1 0f x f x x x− − <   ( ) ( )1 , 2 ,2a f b f c f e = − = =   , ,a b c a c b> > b a c> > c a b> > c b a> > ( )f x R ,x y R∈ ( ),P x y ( ) ( )2 22 2 4 1 0f x x f y y− + − − + + = x y+ 3 2 2− 3 2 2+ 2 2 3− 1 2 2+ 2 22 log 2 logx x x x− < + { }|1 2x x< < { }| 0 1x x< < { }| 1x x > { }| 2x x > 5 5a ≥ 62 2 x ay y x  −   3 5 x 1x k x+ + < k 1k < − 3sin 4 1 cos2y x x= + + 41 三、解答题(本大题共 6 小题，共计 70 分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步 骤) 17．（本小题满分 10 分）已知命题 在区间(0，＋∞)上是减函数；命题 :不等式 的解集为 。若命题“ ”为真，“ ”为假，求实数 的取值范围． 解析：对于命题 p，由 f(x)＝1－2m x2 在区间(0，＋∞)上是减函数，得 1－2m>0，解得 m<1 2；对 于命题 q，不等式 x2－2x>m－1 的解集为 R 等价于不等式(x－1)2>m 的解集为 R，因为(x－1)2≥0 恒 成立，所以 m<0，因为命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，所以命题 p 和命题 q 一真一假．当命题 p 为真，命题 q 为假时，Error!得 0≤m<1 2；当命题 p 为假，命题 q 为真时，Error!此时 m 不存在， 故实数 m 的取值范围是[0，1 2 ). 18．（本小题满分 12 分）在直角坐标系 中，直线 ，曲线 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）写出直线 与曲线 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线 分别交 与 于 A，B 两点， 求 的取值范围. 【 解 析 】（Ⅰ ） 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 直 线 直 线 的 极 坐 标 方 程 为 曲线 的普通方程为 ， 曲线 的极坐标方 程为 . ( ) 2 1 2: mp f x x −= q 2 2 1x x m− > − R p q∨ p q∧ m xOy 4:1 =+ yxC    = += θ θ sin cos1:2 y xC θ x 1C 2C )0(: >= ραθl 1C 2C OA OB  4:1 =+ yxC ∴ 1C ,4)sin(cos =+ θθρ     = += θ θ sin cos1:2 y xC 1)1( 22 =+− yx ∴ 2C θρ cos2= 19．（本小题满分 12 分）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为 参数），直线 的参数方程为 . （Ⅰ）若 ，求 与 的交点坐 标；（Ⅱ）若 上的点到 的距离的最大值为 ，求 的值. 20．（本小题满分 12 分）已知定义在 上的函数 ，存在实数 使 成立．（Ⅰ）求实数 的值；（Ⅱ）若 , ,求证： . （Ⅰ） （Ⅱ）略 21．（本小题满分 12 分）已知函数 .（Ⅰ）当 时，求不等式 f（x）≥g（x）的解集；（Ⅱ）若不等式 的解集包含 [–1，1]，求 的取值范围. xOy C 3cos sin x y θ θ =  = θ l ( )4 1 x a t ty t = +  = − 为参数 1a = − C l C l 17 a R ( ) ,f x x m x m N ∗= − + ∈ x ( ) 2f x < m 1, 1α β≥ ≥ ( ) ( ) 4f fα β+ = 4 1 3α β+ ≥ 1m = ( ) ( )2 4, 1 1f x x ax g x x x= − + + = + + − 1a = ( ) ( )f x g x≥ ( ) ( )f x g x≥ a （2）当 时， .所以 的解集包含 ，等价于当 时 . 又 在 的最小值必为 与 之一，所以 且 ，得 . 所以 的取值范围为 . 22．（本小题满分 12 分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、 乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一 人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分．已知甲每轮猜 对的概率是3 4，乙每轮猜对的概率是2 3；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结 果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（Ⅰ）“星队”至少猜对 3 个成语的 概率；（Ⅱ）“星队”两轮得分之和 的分布列和数学期望 ． 解：(1)记事件 A：“甲第一轮猜对”，记事件 B：“乙第一轮猜对”，记事件 C：“甲第二轮猜 对”， 记事件 D：“乙第二轮猜对”，记事件 E：“‘星队’至少猜对 3 个成语”． 由题意，E＝ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD，由事件的独立性与互斥性， 得 P(E) ＝ P(ABCD) ＋ P(ABCD) ＋ P(ABCD) ＋ P(ABCD) ＋ P(ABCD) ＝ P(A)P(B)P(C)P(D) ＋ P(A)·P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＝3 4×2 3×3 4×2 3＋2× (1 4 × 2 3 × 3 4 × 2 3＋3 4 × 1 3 × 3 4 × 2 3)＝2 3，所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为2 3. (2)由题意，随机变量 X 可能的取值为 0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得 P(X＝0)＝1 4×1 3×1 4×1 3＝ 1 144， P(X＝1)＝2×(3 4 × 1 3 × 1 4 × 1 3＋1 4 × 2 3 × 1 4 × 1 3)＝ 10 144＝ 5 72， P(X＝2)＝3 4×1 3×3 4×1 3＋3 4×1 3×1 4×2 3＋1 4×2 3×3 4×1 3＋1 4×2 3×1 4×2 3＝ 25 144， P(X＝3)＝3 4×2 3×1 4×1 3＋1 4×1 3×3 4×2 3＝ 12 144＝ 1 12， P(X＝4)＝2× (3 4 × 2 3 × 3 4 × 1 3＋3 4 × 2 3 × 1 4 × 2 3)＝ 60 144＝ 5 12，P(X＝6)＝ 3 4×2 3×3 4×2 3＝ 36 144＝1 4. 可得随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 6 [ ]1,1x∈ − ( ) 2g x = ( ) ( )f x g x≥ [ ]1,1− [ ]1,1x∈ − ( ) 2f x ≥ ( )f x [ ]1,1− ( )1f − ( )1f ( )1 2f − ≥ ( )1 2f ≥ 1 1a− ≤ ≤ a [ ]1,1− X ( )E X P 1 144 5 72 25 144[] 1 12 5 12 1 4 所以数学期望 E(X)＝0× 1 144＋1× 5 72＋2× 25 144＋3× 1 12＋4× 5 12＋6×1 4＝23 6 . 1、 A 2、 D 3、 B 4、 B 5、 A 6、 C 7、 D 8、C 9、 A 10、 D 11、 B 12、 C