（全国I卷）2020届高三12月教育教学质量监测考试 数学（理）
2020届普通高中教育教学质量监测考试
全国Ⅰ卷 理科数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
A. B. C. D.
2.已知集合M＝{x|8x2－9x＋1≤0}，N＝{x|y＝}，则
A. B. C. D.
3.记等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，S3＝，则a4＝
A.或 B.－或 C. D.
4.设向量m，n满足|m|＝2，|n|＝3，现有如下命题：
命题p：|m－2n|的值可能为9；
命题q：“(m－2n)⊥m”的充要条件为“cos
＝”；
则下列命题中，真命题为
A.p B.p∧q C.(﹁p)∧q D.p∨(﹁q)
5.记抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线上，若，且N(2，2)，则抛物线C的准线方程为
A.x＝－1 B.x＝－2 C.x＝－3 D.x＝－4
6.函数在[－2π，2π]上的图象大致为
7.元朝著名的数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗。”基于此情境，设计了如图所示的程序框图，若输入的x的值为，输出的x值为9，则判断框中可以填
A.i>4 B.i>5 C.i>6 D.i>7
8.2019年10月，德国爆发出“芳香烃门”事件，即一家权威的检测机构在德国销售的奶粉中随机抽检了16款(德国4款、法国8款、荷兰4款)，其中8款检测出芳香烃矿物油成分，此成分会严重危害婴幼儿的成长，有些奶粉已经远销至中国。A地区闻讯后，立即组织相关检测员对这8款品牌的奶粉进行抽检，已知该地区6家婴幼儿用品商店在售这几种品牌的奶粉，甲、乙、丙3名检测员分别负责进行检测，每人至少抽检1家商店，且检测过的商店不重复检测。则甲检测员检测2家商店的概率为
A. B. C. D.
9.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是线段A1D1的中点，点F是线段DD1上靠近D的三等分点，则直线CE，BF所成角的余弦值为
A. B. C. D.
10.已知函数f(x)的图像关于原点对称，且满足f(x＋1)＋f(3－x)＝0，且当x∈(2，4)时，f(x)＝－，若，则m＝
A. B. C.－ D.－
11.已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F2引直线l交双曲线C的渐近线于y轴右侧P，Q两点，其中OP⊥PQ，记△OPQ的内心为M。若点M到直线PQ的距离为，则双曲线C的渐近线方程为
A. B. C. D.
12.已知函数，其中，若f(x)>0在(0，)上恒成立，则f()的最大值为
A. B.0 C.－ D.－
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.曲线y＝(2x－1)·ex在(0，－1)处的切线方程为________。
14.已知实数x，y满足，则z＝2x＋y的最大值为_______。
15.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＝18，S17=459，则{(一1)n·a3n}的前n项和Tn=________。
16.已知三棱锥P－ABC中，△PAB是面积为4的等边三角形，∠ACB＝，则当点C到平面PAB的距离最大时，三棱锥P－ABC外接球的表面积为________。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且。
(1)求A的大小；
(2)若a＝，求△ABC面积的最大值以及周长的最大值。
18.(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝135°，SD＝2CD，点P，Q，M分别是线段SD，PD，AP的中点，点N是线段SB上靠近B的四等分点。
(1)若R在直线MQ上，求证：NR//平面ABCD；
(2)若SD⊥平面ABCD，求平面SAD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值。
19.(本小题满分12分)为了响应国家号召，某校组织部分学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，并将学生的作答结果分为“合格”与“不合格”两类，统计如下所示：
(1)是否有90%以上的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关？
(2)在成绩合格的学生中，利用性别进行分层抽样，共选取9人进行座谈，再从这9人中随机抽取5人发送奖品，记拿到奖品的男生人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)。
附：
P()
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
20.(本小题满分12分)已知椭圆C：的上、下焦点分别为F1，F2，离心率为，点M()在椭圆C上，延长MF1交椭圆于N点。
(1)求椭圆C的方程；
(2)P，Q为椭圆上的点，记线段MN，PQ的中点分别为A，B(A，B异于原点O)，且直线AB过原点O，求△OPQ面积的最大值。
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x－alnx，x∈[1，e]。
(1)若a＝2，求函数f(x)的最大值；
(2)讨论函数g(x)＝xf(x)＋a＋1的零点个数。
请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。
22.(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)。以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，且直线l与曲线C交于M，N两点。
(1)求直线l的普通方程以及曲线C的直角坐标方程；
(2)若A(0，1)，求|AM|＋|AN|的值。
23.(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
已知函数f(x)＝|x－m|＋|2x＋|(x>2)。
(1)若m＝4，求不等式f(x)>5的解集；
(2)证明：。
