黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

哈尔滨市第六中学2019-2020学年度上学期期中考试 高三文科数学 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合,且,则集合可能是(   )‎ A. B. C. D.‎ ‎2．复数(   )‎ A. B. C. D.‎ ‎3．若向量,则与的夹角等于(  ) A. B. C. D.‎ ‎4．若,且,则(  ) A. B. C. D.‎ ‎5.若椭圆的两焦点为和，且椭圆过点，则椭圆方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．在等差数列中，若，则的值为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎7.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.将函数的图象向左平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）‎ A． B．‎ C. D．‎ ‎9.圆的圆心到直线的距离为，则=（ ）‎ A． B． C. D．2‎ ‎10.已知定义在上的函数满足,,则(　　) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．已知、、是球的球面上三点,三棱锥的高为,且,,,则球的表面积为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12．已如函数，若，且，则的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.曲线在处的切线的斜率为 . ‎ ‎14. 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎（1）如果，那么.‎ ‎（2）如果，那么.‎ ‎（3）如果，那么.‎ ‎（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）‎ ‎15.若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为 . ‎ ‎16．在数列中，，记是数列的前项和，‎ 则＝ .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本题满分12分）‎ 在中，角,,的对边分别为,已知.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，试判断的形状并给出证明.‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 将正方形沿对角线折叠，使平面平面.若直线平面，.‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎19．（本题满分12分）‎ 已知数列是首项为正数的等差数列,数列的前项和为. (1)求数列的通项公式,‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点，‎ ‎（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；‎ ‎（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且 ‎,求直线的方程；‎ ‎（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得求实数的取值范围。‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 设. (1)令,求的单调区间; (2)已知在处取得极大值.求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为. (1)写出曲线与直线的直角坐标方程; (2)设为曲线上一动点,求点到直线距离的最小值.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数 ‎(1)若不等式恒成立,求实数的最大值；‎ ‎(2)在(1)的条件下,若正数满足,求证:。‎ 高三文科数学答案 ‎ 一、‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 ‎ A C C D D C C C A B C B 二．13. 3 14. （2）（3）（4） 15. 16. ‎ 三．17．（1）（2）等边三角形 ‎18.(1) 设数列的公差为. 令,得,所以.令,得,所以.解得.所以. (2).由1知, 所以,所以, 两式相减,得. 所以.‎ ‎19.取CD中点为M，连结EM，BM．因为，所以，‎ 又因为平面平面BCD，平面平面，平面ECD，‎ 所以平面BCD，因为平面BCD，所以 EM，‎ 又平面ECD，平面ECD，所以直线平面 因为原四边形BCED为正方形，M为CD中点，所以，‎ 又有平面平面BCD，平面平面，平面ECD，‎ 所以平面由于ECD为等腰直角三角形，所以，‎ 又，所以，‎ 由可知，点A到平面ECD的距离等于点B到平面ECD的距离，‎ 所以 ‎20.(1)‎ ‎(2)或 ‎（3）‎ ‎21．(1).由可得, 则, 当时,时,,函数单调递增; 当时,时,,函数单调递增, 时,,函数单调递减. 所以当时,函数单调递增区间为; 当时,函数单调递增区间为,单调递减区间为. (2).由(1)知,. ①当时,,单调递减. 所以当时,,单调递减. 当时,,单调递增. 所以在 处取得极小值,不合题意. ②当时,,由1知在内单调递增,可得当时,,时,,所以在内单调递减,在内单调递增,所以在处取得极小值,不合题意. ③当时,即时,在内单调递增,在内单调递减, 所以当时,,单调递减,不合题意. ④当时,即 ,当时,,单调递增, 当时,,单调递减, 所以在处取得极大值,合题意. 综上可知,实数的取值范围为.‎ ‎22.(1)曲线的极坐标方程为,化为, 可得直角坐标方程:,即. 直线的极坐标方程为,化为, 化为直角坐标方程:. (2)设,则点到直线的距离 ‎ ‎ 当且仅当 , 即时,点到直线距离的最小值为. 23. (1).若恒成立,即由绝对值的三角不等式,得即,解得,所以 (2).证明:由1知,得所以有即