宁夏青铜峡市高级中学2019-2020学年高二上学期月考数学（理）试题

宁夏青铜峡市高级中学2019-2020学年高二上学期月考数学（理）试题

高级中学 2019-2020 学年（一）第二次月考高二年级数学试卷 （理科 ) 一、选择题 (本大 题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1．设 ，则 “ ”是“ ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知 ， ， ，若 ，则 等于（ ） A．4 B． C． D． 3．在 中， ， ， ，则 （ ） A． B． 或 C． 或 D． 4．长轴长为 8，以抛物线 的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 5．过点 且倾斜角为 的直线与抛物线 的位置关系是（） A．相交且有两公共点 B．相交且有一公共点 C．有一公共点且相切 D．无公共点 6．已知等比数列 的各项均为正数，若 ，则 ＝ （ ） A．1 B．3 C．6 D．9 7．方程 表示椭圆，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8. 已知双曲线 的离心率为 ，则椭圆 的离心率为( ) x∈R 2x < 4x < (2, 1,3)a = − ( 4,2, )b x= − (1, ,2)c x= − ( )a b c+ ⊥   x 4− 1 2 6− ABC∆ 3AB = 1AC = 30B∠ =  A∠ = 60 30 90 60 120 90 2 12y x= 2 2 164 55 x y+ = 2 2 164 28 x y+ = 2 2 125 16 x y+ = 2 2 116 7 x y+ = ( )1,0− 45° 2 4y x= { }na 3 1 3 2 3 12log log log 12a a a+ +…+ = 6 7a a 2 2 12 1 2 x y λ λ+ =− − λ ( )1 ,1 1,22      1 ,12      ( )1,2 1 ,22      2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 3 3 2 2 2 2 1x y a b + = A． B． C． D． 9．等差数列 的前 项和分别为 ，若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 10．已知 的周长为 ， ，则顶点 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 11．已知 ， 为椭圆 ： 的左右焦点，过原点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，若 ， ， ，则 （ ）. A．36 B．12 C．10 D．8 12．如图，已知直线 ： 与抛物线 相交于 A、B 两点，且满足 ，则 的值是（ ） A． B． C． D． 二：填空题（每小题 5 分，共计 20 分） 13．在等差数列 中， ， ，则 ______. 14．在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C： (a＞0)的右顶点到双曲线的一条渐近 线的距离为 ，则双曲线 C 的方程为_______． 15．已知数列 中， ， ，则数列 的通项公式是________. 1 3 3 3 2 3 6 3 { } { },n na b n ,n nS T 2 3 1 n n S n T n = + 3 3 a b 3 5 4 7 5 8 12 19 ABC∆ 12 ( ) ( )0, 2 , 0,2B C− A ( )2 2 1 012 16 x y x+ = ≠ ( )2 2 1 012 16 x y y+ = ≠ ( )2 2 1 016 12 x y x+ = ≠ ( )2 2 1 016 12 x y y+ = ≠ 1F 2F C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > O l C A B 1 2AF AF⊥ 1 2 2F AFS∆ = AB 4= 2 2a b+ = l ( )( 1) 0y k x k= + > 2: 4C y x= 2AF BF= k 3 3 3 2 23 2 2 { }na 10 20a = 20 10a = 30a = 2 2 2 116 x y a − = 4 5 3 { }na 1 1a = 1 1n na a n+ = + + { }na 16．已知点 分别是椭圆 的左、右焦点，过 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点，则 的面积为__________. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 17．在锐角 ΔABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 ． （1）求角 A 的大小； （2）若 ， ，求 ΔABC 的面积． 18.设数列 的前 项和 ，数列 满足 （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 . 19．已知抛物线 C： =2px（p>0）的准线方程为 x=- ,F 为抛物线的焦点 （1）求抛物线 C 的方程； （2）若 P 是抛物线 C 上一点，点 A 的坐标为（ ,2）,求 的最小值； （3）若过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于 M，N 两点，求线段 MN 的中点坐标。 20．已知椭圆 的长轴长为 4，且点 在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆右焦点斜率为 的直线 交椭圆于 两点，若 ，求直线 的方程 21．已知等差数列 的公差 ， ，且 成等比数列；数列 的前 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 3(1, )2 k l ,A B 0OA OB⋅ =  l 1 2,F F 2 2 12 x y+ = 2F 4 π 1F AB∆ 2 sin 3a B b= 8a = 10b c+ = { }na n 12 2n nS += − { }nb n n anb 2log)1( 1 += { }na { }nb n nT 2y 1 2 7 2 PA PF+ { }na 0d ≠ 3 9 22a a+ = 1 2 5, ,a a a { }nb 项和 ，且满足 . （1）求数列 ， 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 22．已知椭圆： 右焦点为 ，右顶点为 ，点 在椭圆上，且 轴，直线 交 轴于点 ，若 ； （1）求椭圆的离心率； （2）设经过点 且斜率为 的直线 与椭圆在 轴上方的交点为 ，圆 同时与 轴和直 线 相切，圆心 在直线 上，且 // . 求椭圆的方程. 2019-2020 学年度青铜峡高级中学 11 月考卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷（选择题) 请点击修改第 I 卷的文字说明 n nS 2 1n nS b= − { }na { }nb n n n ac b = { }nc n nT 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > F A B BF x⊥ AB y Q | | 2| | AQ BQ = F 3 4 − l x P C x l C 4x = − OC AP 一、单选题 1．设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 首先求解绝对值不等式和根式不等式，然后分别考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】 由 可得 ，由 可得 ， 是 的既不充分也不必要条件， “ ”是“ ”的既不充分也不必要条件. 本题选择 D 选项. 【点睛】 本题主要考查绝对值不等式的解法，充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的转 化能力和计算求解能力. 2．已知 ， ， ，若 ，则 等于（ ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由 ，可得 ，解出 即可． 【详解】 ， ， ， 解得 ． 故选：B.． x∈R 2x < 4x < 2x < 2 2x− < < 4x < 0 16x≤ < 2 2x− < < 0 16x≤ < 2x < 4x < (2, 1,3)a = − ( 4,2, )b x= − (1, ,2)c x= − ( )a b c+ ⊥   x 4− 1 2 6− ( )a b c+ ⊥  ( ) 0a b c+ ⋅ =  x  )( 2, 31, xa b+ = − + ( )a b c+ ⊥  ∴ 03 ) (( 1,) ( 2,1, 2 3,2) 2( )x xa b c x x+ ⋅ −+= − − − + + =⋅ =  4x = − 【点睛】 本题考查空间向量相互垂直与数量积的关系，考查推理能力与运算求解能力，属于基础题． 3．在 中， ， ， ，则 （ ） A． B． 或 C． 或 D． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用正弦定理求出 ，然后利用三角形的内角和定理可求出 . 【详解】 由正弦定理得 ，得 ， ， ，则 或 . 当 时，由三角形的内角和定理得 ； 当 时，由三角形的内角和定理得 . 因此， 或 . 故选：B. 【点睛】 本题考查利用正弦定理和三角形的内角和定理求角，解题时要注意大边对大角定理来判断出 角的大小关系，考查计算能力，属于基础题. 4．长轴长为 8，以抛物线 的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 求出抛物线的焦点坐标，利用椭圆的长轴，求出 b，即可得到椭圆方程． 【详解】 ABC∆ 3AB = 1AC = 30B∠ =  A∠ = 60 30 90 60 120 90 C∠ A∠ sin sin AB AC C B =∠ ∠ 13sin 32sin 1 2 AB BC AC ×⋅ ∠∠ = = = AB AC> C B∴∠ > ∠ 60C∠ =  120 60C∠ =  180 90A B C∠ = − ∠ − ∠ =  120C∠ =  180 30A B C∠ = − ∠ − ∠ =  30A∠ =  90 2 12y x= 2 2 164 55 x y+ = 2 2 164 28 x y+ = 2 2 125 16 x y+ = 2 2 116 7 x y+ = 抛物线 的焦点 ， 长轴长为 8，所以椭圆的长半轴为：4，半焦距为 3，则 ． 所以所求的椭圆的方程为： 故选：D． 【点睛】 本题考查椭圆的简单性质的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力． 5．过点 且倾斜角为 的直线与抛物线 的位置关系是（） A．相交且有两公共点 B．相交且有一公共点 C．有一公共点且相切 D．无公共点 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题目已知条件求得直线方程，联立直线方程和抛物线方程消去 得到关于 的一元二次方 程，根据判别式为 判断出直线和抛物线相切，由此确定正确选项. 【详解】 直线方程为 ，与 联立可得 ， 且有重根 ， 该直线与抛物线 有唯一公共点且相切. 故选：C. 【点睛】 本小题主要考查直线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系判断，属于基础题. 6．已知等比数列 的各项均为正数，若 ，则 ＝ （ ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【解析】 【分析】 2 12y x= 3 0（ ，） 16 9 7b = − = 2 2 116 7 x y+ = ( )1,0− 45° 2 4y x= y x 0 1y x= + 2 4y x= ( )2 21 4 2 1 0x x x x+ = ⇒ − + = 0∆ = 1x = ∴ 2 4y x= { }na 3 1 3 2 3 12log log log 12a a a+ +…+ = 6 7a a 首先根据对数运算法则，可知 ，再根据等比数列的性质可知 ，最后计算 的值. 【详解】 由 ， 可得 ，进而可得 ， . 【点睛】 本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力. 7．方程 表示椭圆，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由椭圆的标准方程 ， ，列关于 的不等式组求解即可. 【详解】 解：因为 ，则有 ，解得 且 ， 即 的取值范围为 ， 故选：A. 【点睛】 本题考查了椭圆的标准方程，属基础题. 8．已知双曲线 的离心率为 ，则椭圆 的离心率为( ) ( )3 1 2 12log ... 12a a a = ( )6 1 2 12 6 7.....a a a a a= 6 7a a 3 1 3 2 3 12log log log 12a a a+ + + = 3 1 2 12log 12a a a = ( )6 12 1 2 12 6 7 3a a a a a= = 6 7 9a a∴ = 2 2 12 1 2 x y λ λ+ =− − λ ( )1 ,1 1,22      1 ,12      ( )1,2 1 ,22      2 2 2 2 1x y a b + = ( )0, 0,a b a b> > ≠ λ 2 2 12 1 2 x y λ λ+ =− − 2 -1 0 2 0 2 1 2 λ λ λ λ >  − >  − ≠ − 1 22 λ< < 1λ ≠ λ ( )1 ,1 1,22      2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 3 3 2 2 2 2 1x y a b + = A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用双曲线的离心率得到 关系后可以得到椭圆的离心率． 【详解】 由双曲线的离心率为 可得 ，故 ， 故椭圆的离心率为 ，故选 D． 【点睛】 圆锥曲线的离心率的计算，关键是找到 的一个关系式即可，注意双曲线和椭圆中 的意义不一样，关系也不一样，双曲线中实半轴长 、虚半轴长 和半焦距长 满足 ，而在椭圆中长半轴长 、短半轴长 和半焦距长 满足 ． 9．等差数列 的前 项和分别为 ，若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据等差数列的求和公式进行变形可得 ，结合条件代入 后可得所求的值． 【详解】 由等差数列的求和公式可得 ， 故选 C． 【点睛】 1 3 3 3 2 3 6 3 ,a b 2 3 3 2 2 2 3 3 c a be a a += = = 3a b= 2 2 2 6 33 a b b a b − = = , ,a b c , ,a b c a b c 2 2 2+ =a b c a b c 2 2 2a b c= + { } { },n na b n ,n nS T 2 3 1 n n S n T n = + 3 3 a b 3 5 4 7 5 8 12 19 3 5 3 5 a S b T = 5n = 1 5 3 3 1 5 5 3 3 1 5 5 1 5 5 ( )2 2 5 52 52 3 5 1 8( )2 a aa a a a S b b b b Tb b ++ ×= = = = = =+ × ++ 本题考查等差数列的求和公式和项的下标和的性质，解题时要注意等差数列的项与和之间的 联系，关键是等差数列中项的下标和性质的灵活运用，考查变化和应用能力． 10．已知 的周长为 ， ，则顶点 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据三角形的周长和定点，得到点 到两个定点的距离之和等于定值，得到点 的轨迹是椭 圆，椭圆的焦点在 轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点． 【详解】 的周长为 12，顶点 ， ， ， ， ， 点 到两个定点的距离之和等于定值， 点 的轨迹是椭圆， ， ， 椭圆的方程： 故选： ． 【点睛】 本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题 是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点． 11．已知 ， 为椭圆 ： 的左右焦点，过原点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，若 ， ， ，则 （ ）. ABC∆ 12 ( ) ( )0, 2 , 0,2B C− A ( )2 2 1 012 16 x y x+ = ≠ ( )2 2 1 012 16 x y y+ = ≠ ( )2 2 1 016 12 x y x+ = ≠ ( )2 2 1 016 12 x y y+ = ≠ A A y ABC∆ (0, 2)B − (0,2)C 4BC∴ = 12 4 8AB AC+ = − = 8 4> ∴ A ∴ A 4a = 2c = 2 12b∴ = ∴ 2 2 1( 0)12 16 x y x+ = ≠ A 1F 2F C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > O l C A B 1 2AF AF⊥ 1 2 2F AFS∆ = AB 4= 2 2a b+ = A．36 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【解析】 【分析】 根据椭圆的对称性判断出 是矩形，由此得到 ，根据三角形 的面积，结合椭圆的定义求得 的值，进而求得 的值，从而求得 的值. 【详解】 连接 ，根据椭圆的对称性可知 是矩形，所以 ，即 .根据椭圆的定义和三角形面积公式得 ，解得 ，所以 ，所以 . 故选：D. 【点睛】 本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆的定义，考查勾股定理，考查方程的思想， 考查椭圆的几何性质，属于基础题. 1 2AF BF 1 22 4c F F AB= = = 1 2F AF 2a 2b 2 2a b+ 1 2,BF BF 1 2AF BF 1 22 4c F F AB= = = 2c = 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 22 4 AF AF a AF AF AF AF c  + =  ⋅ =   + = 2 6a = 2 2 2 2b a c= − = 2 2a b+ 6 2 8= + = 12．如图，已知直线 ： 与抛物线 相交于 A、B 两点，且满足 ，则 的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据直线方程可知直线恒过定点，过 A、B 分别作 于 M， 于 N，根据 ，推断出 ，点 B 为 AP 的中点、连接 OB， 进而可知 ，由此求得点 B 的横坐标，则点 B 的坐标可得，最后利用点 B 在直线 上求得直线的斜率． 【详解】 解：抛物线 的准线为 ，直线 恒过定点 ， 如图过 A、B 分别作 于 M， 于 N， l ( )( 1) 0y k x k= + > 2: 4C y x= 2AF BF= k 3 3 3 2 23 2 2 AM l⊥ BN l⊥ 2AF BF= | | 2 | |AM BN= 1| | | |2OB AF= 2: 4C y x= ( )( 1) 0y k x k= + > AM l⊥ BN l⊥ 由 ，则 ，点 B 为 AP 的中点、连接 OB，则 ， ，点 B 的横坐标为 ，故点 B 的坐标为 把 代入直线 ，解得 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了抛物线的简单性质，考查抛物线的定义，考查直线斜率的计算，属于中档 题． 第 II 卷（非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明 二、填空题 13．在等差数列 中， ， ，则 ______. 【答案】0 【解析】 【分析】 由等差数列的下标和性质可知： ，由此可计算出 的值. 【详解】 因为 ，所以 ，所以 . 故答案为： . 【点睛】 本题考查等差数列下标和性质的应用，难度较易.在等差数列 中，若 ，则 . 14．在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C： (a＞0)的右顶点到双曲线的一条渐近 线的距离为 ，则双曲线 C 的方程为_______． 2AF BF= | | 2 | |AM BN= 1| | | |2OB AF= | | | |OB BF∴ = 1 2 1 , 22B     1 , 22B     ( )( 1) 0y k x k= + > 2 23k = { }na 10 20a = 20 10a = 30a = 10 30 202a a a+ = 30a 10 30 2 20+ = × 10 30 202a a a+ = 30 20 102 0a a a= − = 0 { }na ( )2 , , , , *m n p q c m n p q c N+ = + = ∈ 2m n p q ca a a a a+ = + = 2 2 2 116 x y a − = 4 5 3 【答案】 . 【解析】 【分析】 由方程得到顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式构造方程求得 ，从而得到所求 方程. 【详解】 由双曲线方程知，右顶点为 ，渐近线方程为： ，即 右顶点到双曲线渐近线距离 ，解得： 双曲线 的方程为： 本题正确结果： 【点睛】 本题考查双曲线标准方程的求解，关键是能够利用点到直线距离公式构造方程求得未知量. 15．已知数列 中， ， ，则数列 的通项公式是________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用累积法求得数列 的通项公式， 【详解】 依题意，当 时 ，所以 ，当 时上式也符合，故数列 的通项公式是 . 故答案为： . 2 2 120 16 x y− = 2a ( ),0a 4y xa = ± 4 0x ay± − = ∴ 2 4 4 5 316 ad a ±= + 2 20a = ∴ C 2 2 120 16 x y− = 2 2 120 16 x y− = { }na 1 1a = 1 1n na a n+ = + + { }na ( 1) 2n n na += { }na 2n ≥ 1n na a n−− = ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1n n n n na a a a a a a a− − −= − + − + + − + ( ) ( )11 2 1 2 n nn n += + − + + + = 1n = { }na ( 1) 2n n na += ( 1) 2n n na += 【点睛】 本小题主要考查累加法求数列通项公式，考查等差数列前 项和公式，属于基础题. 16．已知点 分别是椭圆 的左、右焦点，过 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点，则 的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 由椭圆 可得椭圆的左焦点 ，右焦点 ，过 作倾斜角为 的直线，可得直线 的方程为 ，设 ， ，与椭圆的方程联立化为关于 的一元二次 方程，利用根与系数的关系和弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可 求解。 【详解】 由椭圆 可得椭圆的左焦点 、右焦点 ， 直线 的方程为 ， 设 ， ， 联立 ，化为 ， ， ， 点 到直线 的距离 n 1 2,F F 2 2 12 x y+ = 2F 4 π 1F AB∆ 4 3 2 2 12 x y+ = 1F 2F 2F 4 π AB 1y x= − 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y x 2 2 12 x y+ = 1( 1,0)F − 2 (1,0)F ∴ AB 1y x= − 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2 2 1 12 y x x y = − + = 23 4 0x x− = 1 2 4 3x x∴ + = 1 2 0x x = 2 2 1 2 1 2(1 1 ) ( ) 4AB x x x x ∴ = + + −  24 4 22 4 03 3   = − × =      1F AB ( 1) 1 0 1 2 2 d − × − −= = 故答案为： 【点睛】 本题考查直线与椭圆的位置关系、弦长公式、点到直线的距离公式，属于中档题。 三、解答题 17．在锐角 ΔABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 ． （1）求角 A 的大小； （2）若 ， ，求 ΔABC 的面积． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 (1)利用正弦定理边化角可得; (2)利用余弦定理求得 ,再用面积公式可得. 【详解】 解：（1）由 2asinB= b，利用正弦定理得：2sinAsinB= sinB， ∵sinB≠0， ∴ ， 又 A 为锐角， 则 A= ； （2）由余弦定理得： ，即 ， ∴bc=12， 又 ， 1 1 1 4 2 422 2 3 3AF BS d AB∴ = ⋅ ⋅ = × × =  4 3 2 sin 3a B b= 8a = 10b c+ = 3 π 3 3 12bc = 3 3 3sin 2A = 3 π 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 264 ( ) 3 100 3b c bc b c bc bc= + − = + − = − 3sin 2A = 则 . 【点睛】 本题考查了正弦定理边化角,余弦定理和面积公式,属于中档题. 18．设数列 的前 项和 ，数列 满足 ， （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 . 【答案】（1） （2 【解析】 【分析】 （1）根据前 n 项和求通项公式（2）化简 ，利用裂项相消法及等比数列的求和 公式求和. 【详解】 （1） 时， ， ，∴ ，∴ ， ∴数列 的通项公式为： . (2) . 19．已知抛物线 C： =2px（p>0）的准线方程为 x=- ,F 为抛物线的焦点 （I）求抛物线 C 的方程； 1 sin 3 32ABCS bc A∆ = = { }na n 12 2n nS += − { }nb n n anb 2log)1( 1 += { }na { }nb n nT 2n na = 11 1 −+−= nT n 1 11 +−= nnbn 1n = 1 1 2a S= = 12 2n nS += − ( )1 2 2 2n nS n− = − ≥ ( )1 2 2n n n na S S n−= − = ≥ { }na 2n na = 1 11 )1( 1 2log)1( 1 +−=+=+= nnnnnb nn 11 111 11...3 1 2 1 2 11 +=+−=+−++−+−= n n nnnTn 2y 1 2 （II）若 P 是抛物线 C 上一点，点 A 的坐标为（ ,2）,求 的最小值； （III）若过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于 M，N 两点，求线段 MN 的中点坐标。 【答案】（Ⅰ） （II）4（III）线段 MN 中点的坐标为（ ） 【解析】 【分析】 （I）由准线方程 求得 ，可得抛物线标准方程． （II）把 转化为 到准线的距离 ，可得 三点共线时得所求最小值． （III）写出直线 方程，代入抛物线方程后用韦达定理可得中点坐标． 【详解】 （I）∵准线方程 x=- ,得 =1， ∴抛物线 C 的方程为 （II）过点 P 作准线的垂线，垂直为 B，则 = 要使 + 的最小，则 P，A，B 三点共线 此时 + = + =4· （III）直线 MN 的方程为 y=x- · 设 M（ ），N（ ），把 y=x- 代入抛物线方程 ,得 -3x+ =0 ∵△=9-4×1× ＝8＞0 ∴ + =3， = 线段 MN 中点的横坐标为 ，纵坐标为 线段 MN 中点的坐标为（ ） 【点睛】 本题考查抛物线的标准方程与几何性质．解题时注意抛物线上的点到焦点的距离常常转化为 7 2 PA PF+ 2 2y x= 3 12 ， 1 2 2 px = − = − p PF P PB , ,B P A MN 1 2 p 2 2y x= PB PF PA PF PA PF 7 2 1 2 1 2 1 1,x y 2 2,x y 1 2 2 2y x= 2x 1 4 1 4 1x 2x 1 2 2 x x+ 3 2 3 2 3 1 12 2 − = 3 12 ， 这点到准线的距离． 20．已知椭圆 的长轴长为 4，且点 在椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过椭圆右焦点斜率为 的直线 交椭圆于 两点，若 ，求直线 的方程 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 试题分析：（Ⅰ）将点坐标代入椭圆可得 关系，由长轴可求得 值（Ⅱ）直线与椭圆相交 问题常联立直线，椭圆方程，借助于根与系数关系将所求问题转化为与 ， 有关的 式子，代入求出参数 试题解析：（Ⅰ） ，点 在椭圆上 （Ⅱ）设直线为 ，与椭圆联立得 由根与系数的关系得 ， 由 得 代入整理得 所以直线为 考点：1．椭圆方程；2．直线与椭圆相交的相关问题 21．已知等差数列 的公差 ， ，且 成等比数列；数列 的前 项和 ，且满足 . （1）求数列 ， 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 3(1, )2 k l ,A B 0OA OB⋅ =  l 3(1, )2 0OA OB⋅ =  2 2 14 x y+ = ( )2 11 311y x= ± − ,a b a 1 2x x+ 1 2x x 2 4 2a a= ∴ = 1b∴ = 2 2 14 x y∴ + = ( )3y k x= − ( )2 2 2 24 1 8 3 12 4 0k x k x k+ − + − = 2 1 2 2 8 3 ,4 1 kx x k ∴ + = + 2 1 2 2 12 4 4 1 kx x k −= + 1 2 1 2 0x x y y+ = 2 11 11k = ± ( )2 11 311y x= ± − { }na 0d ≠ 3 9 22a a+ = 1 2 5, ,a a a { }nb n nS 2 1n nS b= − { }na { }nb n n n ac b = { }nc n nT 【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）根据 是等差数列，可用 和 表示出 和 成等比数列的关系， 解方程组求得 和 ，进而得到 ；利用 可得到 ，可知 为等比数列，利用等比数列通项公式求得 ；（2）由（1）可得 ，采用错位相减法可求得 结果. 【详解】 （1） 数列 是等差数列 又 ，解得： 又 …①， …② ① ②得： 为等比数列 又 ，解得： （2）由（1）知： 则 两式作差得： 【点睛】 本题考查数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前 项和的问题；涉及到等差数列基本 2 1na n= − 1 3 n nb  =    1( 1) 3 3n nT n += − ⋅ + { }na 1a d 3 9 22a a+ = 1 2 5, ,a a a 1a d na 1n n nb S S −= − ( ) 1 1 23 n n b nb − = ≥ { }nb nb nc  { }na ( ) ( ) ( ) 3 9 6 1 2 1 1 1 2 2 5 22 4 a a a a d a d a a d  + = = + =∴ + = ⋅ + 0d ≠ 1 1 2 a d =  = ( )1 2 1 2 1na n n∴ = + − = − 2 1n nS b= − ( )1 12 1 2n nS b n− −= − ≥ − 12 n n nb b b−= − ( ) 1 1 23 n n b nb − ∴ = ≥ { }nb∴ 1 12 1b b= − 1 1 3b = 1 3 n nb  ∴ =    ( )2 1 3n nc n= − ⋅ ( )2 31 3 3 3 5 3 2 1 3n nT n= ⋅ + ⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ − ⋅ ( )2 3 4 13 1 3 3 3 5 3 2 1 3n nT n += ⋅ + ⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ − ⋅ ( ) ( ) ( )2 3 4 1 12 3 2 3 3 3 3 2 1 3 2 2 3 6n n n nT n n+ +− = + + + +⋅⋅⋅+ − − ⋅ = − ⋅ − ( ) 11 3 3n nT n +∴ = − ⋅ + n 量的计算、根据递推关系证明数列为等比数列、错位相减法的应用等知识；关键是能够根据 通项为等差数列与等比数列乘积的形式确定采用错位相减法求解数列的前 项和. 22．已知椭圆 ： 右焦点为 ，右顶点为 ，点 在椭圆上，且 轴，直线 交 轴于点 ，若 ； （1）求椭圆的离心率； （2）设经过点 且斜率为 的直线 与椭圆在 轴上方的交点为 ，圆 同时与 轴和直 线 相切，圆心 在直线 上，且 . 求椭圆的方程. 【答案】（1） ； （2） ； 【解析】 【分析】 （1）由题意可得 ，即 ，再由离心率公式可得所求值； （2）求得 ， ，可得椭圆方程为 ，设直线 的方程为 ，联立椭圆方程求得 的坐标，以及直线 的斜率，由两条直线平行的条件和 直线与圆相切的条件，解方程可得 ，即可得到所求椭圆方程． 【详解】 （1） ，所以 即 可得 ； （2） ， ， 即 ， ， n C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > F A B BF x⊥ AB y Q | | 2| | AQ BQ = F 3 4 − l x P C x l 1C 4x = − 1OC AP∥ 1 2 2 2 116 12 x y+ = | | | |AB BQ= a c c− = 2a c= 3b c= 2 2 2 2 14 3 x y c c + = FP 3 ( )4y x c= + P AP 2c = | | 2| | AQ BQ = | | | |AB BQ= a c c− = 1 2 ce a = = 3 2b a= 1 2c a= 2a c= 3b c= 可得椭圆方程为 ， 设直线 的方程为 ， 代入椭圆方程可得 ， 解得 或 ， 代入直线 方程可得 或 （舍去）， 可得 ， 圆心 在直线 上，且 ，可设 ， 可得 ，解得 ， 即有 ，可得圆的半径为 2， 由直线 和圆 相切的条件为 ， 可得 ，解得 ， 可得 ， ， 可得椭圆方程为 . 【点睛】 本题考查椭圆的方程和性质，注意运用直线和椭圆方程联立，求交点，以及直线和圆相切的 条件 ，考查化简运算能力，属于中档题． 2 2 2 2 14 3 x y c c + = FP 3 ( )4y x c= − − 2 27 6 13 0x cx c− − = x c= − 13x c = PF 3 2 cy = 9 14 cy = − 3, 2 cP c −   1C 4x = 1OC AP∥ ( )4,C t− 3 2 4 3 c t c =− − 2t = ( )1 4,2C − FP C d r= | 12 8 3 | 25 c− + − = 2c = 4a = 2 3b = 2 2 116 12 x y+ = d r=