安徽省六安市第一中学2020届高三下学期数学模拟卷(八)(理)(解析版)

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安徽省六安市第一中学2020届高三下学期数学模拟卷(八)(理)(解析版)

安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷(八)(理)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.)‎ ‎1.已知集合,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知是虚数单位,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.等差数列满足:,若的前项和为,公差为,则下列结论不正确的是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知椭圆的离心率为,且椭圆的长轴与焦距之差为4,则该椭圆的方程为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.公元五世纪,数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是:‎ ‎3.1415926<<3.1415927,为纪念祖冲之在圆周率的成就,把3.1415926称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”,让同学们把小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6进行随机排列,整数部分3不变,那么可以得到大于3.14的不同数字有 ( )‎ A.2280 B.2120 C.1440 D.720‎ ‎6.运行如图所示的程序,输出的结果为 ( )‎ A.8 B.6 C.5 D.4‎ ‎ ‎ ‎7.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知直线l1:与l2:之间的距离为2,则直线l2被圆截得的弦长为 ‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎9.已知实数满足不等式组,且目标函数的最小值为,最大值为n,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎10.在边长为1的正中,点在边上,点是中点,若,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知定义在上的函数,满足,且时,,图象如图所示,则下列结论正确的是 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数的最小正周期为,且,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上.)‎ ‎13.在正方体中,点是的中点,则与所成角的正切值为 .‎ ‎14.已知双曲线的离心率为2,过双曲线的右焦点垂直于x轴的直线被双曲线截得的弦长为,则 .‎ ‎15.已知函数,若,且的最小值为,则 .‎ ‎16.已知数列的前项和为,若且,数列的前项和为,不等式恒成立,则实数的取值范围是 .‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(12分)已知的三个内角所对的边分别为,若.(1)若,求;(2)若的面积为,求的值.‎ ‎18.(12分)如图,三棱锥中,平面平面,,且.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若,求二面角的余弦值.‎ ‎19.(12分)某搜索引擎广告按照付费价格对搜索结果进行排名,点击一次付费价格排名越靠前,被点击的次数也可能会提高,已知某关键词被甲、乙等多个公司竞争,其中甲、乙付费情况与每小时点击量结果绘制成如下的折线图.‎ ‎(1)若甲公司计划从这10次竞价中随机抽取3次竞价进行调研,其中每小时点击次数超过7次的竞价抽取次数记为,求的分布列与数学期望;‎ ‎(2)若把乙公司设置的每次点击价格为x,每小时点击次数为,则点近似在一条直线附近.试根据前5次价格与每小时点击次数的关系,求y关于x的回归直线.(附:回归方程系数公式:,).‎ ‎20.(12分)如图,直线与y轴交于点,与抛物线交于,点与点关于x轴对称,连接并延长分别与x轴交于点.‎ ‎(1)若,求抛物线的方程;‎ ‎(2)若直线的斜率分别为.‎ ‎①求证:为定值;‎ ‎②若,求.‎ ‎21.(12分)已知函数.‎ ‎(1)若在处的切线与轴平行,求的极值;‎ ‎(2)当或时,试讨论方程实数根的个数.‎ 请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.‎ ‎22.(10分)选修4—4坐标系与参数方程 以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线l的参数方程为(其中为参数).‎ ‎(1)把曲线的极坐标方程化为普通方程;‎ ‎(2)若直线与曲线有两个公共点,求实数的取值范围.‎ ‎23.(10分)选修4—5不等式选讲 已知函数.‎ ‎(1)关于的不等式的解集为,且,求实数的取值范围;‎ ‎(2)求的最小值,及对应的x的取值范围.‎ 参考答案 ‎1.【答案】C【解析】由可得,所以.‎ ‎2.【答案】B【解析】.‎ ‎3.【答案】A【解析】由等差数列的性质可知,‎ ‎,即B,C,D都正确,故错误的只有A.‎ ‎4.【答案】D【解析】设椭圆的焦距为2c,由条件可得,故,由椭圆的长轴与焦距之差为4可得,即,所以,,故,故该椭圆的方程为.‎ ‎5.【答案】A【解析】由于1,4,1,5,9,2,6这7位数字中有2个相同的数字1,故进行随机排列,可以得到的不同情况有,而只有小数点前两位为11或12时,排列后得到的数字不大于3.14,故小于3.14的不同情况有,故得到的数字大于3.14的不同情况有.‎ ‎6.【答案】D【解析】所给程序的运行过程如下:b=1,a=3;b=2,a=7;b=3,a=15;b=4,a=31,不满足,输出b的值为4.‎ ‎7.【答案】C【解析】由三视图可知,该几何体是一个圆柱的,故表面积为.‎ ‎8.【答案】A【解析】由条件可知,直线过圆心,则圆心到直线l2的距离等于直线与l2之间的距离2,故直线l2被圆截得的弦长为.‎ ‎9.【答案】B【解析】不等式组表示的平面区域如下图中的阴影部分所示:‎ 且点,易得目标函数在点处取得最大值5,在点A处取得最小值,故. ‎ ‎10.【答案】C【解析】设,,则 ‎,,‎ 则 ‎,故,即.‎ ‎11.【答案】B【解析】由条件可知,的图象关于直线对称,结合可得,而,即,解之得,并且由图象可知,当时,单调递减,则为最大值,故,即B正确.‎ ‎12.【答案】D【解析】,‎ 其中,由可得,即关于对称,而与的距离为个周期,故,所以,,同理,由与的距离为个周期可得,所以,,所以,.‎ ‎13.【答案】2【解析】即为与所成角,取中点,连接,则,则.‎ ‎14.【答案】6【解析】设双曲线的焦距为,则,即,则,把代入双曲线可得,故,所以,.‎ ‎15.【答案】3【解析】由可得,即,‎ ‎,则,当且仅当,即时,取得最小值2,故.‎ 16. ‎【答案】【解析】当时,由及可得,由①‎ 可得时, ②,由①-② 可得,即,所以,,即是首项为2,公比为2的等比数列,故,‎ 则,则 ③,所以, ④‎ 由可得,所以,,由得,设,‎ 则,易得在时递减,在时递增,且,‎ 故的最小值为,故,故.‎ ‎17.【解析】(1)由及正弦定理可得,由余弦定理可得,解之得(舍去负值).(6分)‎ ‎(2)由的面积为可得,由正弦定理可得,‎ ‎,由余弦定理可得.(12分)‎ ‎18.【解析】(1)取的中点,连接. ,,‎ 平面,平面,‎ 又OC平面,,而是的中点,.(6分)‎ (2) 平面平面,平面,‎ 平面平面,平面,‎ 再由(1)可知三条直线两两垂直.‎ 以所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.‎ 由条件可得,.‎ 则,‎ ‎,,.‎ 设平面的一个法向量为,由可得 ‎,令,则.‎ 同理可得平面的一个法向量为,‎ 则.‎ 由图易知,二面角为锐角,二面角的余弦值为.(12分)‎ ‎19.【解析】(1)由题图可知,甲公司每小时点击次数为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7,‎ 由条件可知,的取值可能为0,1,2,3,且 ‎,‎ 所以,的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望为.(6分)‎ ‎(2)根据折线图可得数据如下:‎ 点击次数y ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎7‎ 点击价格x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 则,则,‎ 所求回归直线方程为:.(12分)‎ ‎20.【解析】(1)由可得,‎ 设点,则,即.,‎ 故.‎ 由可得(舍去负值),抛物线的方程为.(5分)‎ ‎(2)①由条件可得.‎ ‎,‎ ‎(定值).(8分)‎ ‎②直线的方程为:,直线的方程为:,‎ 则,则,‎ 由可得,,‎ ‎,,且,.(12分)‎ 21. ‎【解析】(1),,‎ 由条件可得,解之得,‎ ‎,,‎ 令可得或(舍去).‎ 当时,;当时,.‎ 即在上单调递增,在上单调递减,‎ 故有极大值,无极小值;(4分)‎ ‎(2)设,‎ 则.‎ ‎①当时,,当时,,当时,,‎ 故有极大值,此时,方程没有实数根;‎ ‎②当时,由可得 (*)‎ 由可知,(*)有两个实数根,不妨设为,‎ 则,则必有,‎ 且当时,当时,,‎ 即在上单调递增,在上单调递减,‎ 故有极大值,‎ 方程没有实数根.(8分)‎ ‎③当时,,,即在上单调递增,‎ ‎,,,‎ 设,易得在上递减,且,故.‎ 当时,,‎ ‎,‎ 即,方程有1个实数根.‎ 综上可知,当时,方程没有实数根,‎ 当时,方程有1个实数根.(12分)‎ ‎22.【解析】(1)方程可化为,‎ 即,把代入可得,‎ 整理可得.(5分)‎ ‎(2)把代入可得,‎ 由条件可得,解之得,‎ 即实数的取值范围是.(10分)‎ ‎23.【解析】(1)当时,不等式可变为,解之得,;‎ 当时,不等式可变为,解之得,不存在.‎ 综上可知,不等式的解集为.‎ 由可得,解之得,‎ 即实数的取值范围是.(5分)‎ ‎(2),‎ 当且仅当,即时,‎ 取得最小值1,此时,实数的取值范围是[1,2].(10分)‎
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