【数学】2019届一轮复习人教A版 二项式定理 学案

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【数学】2019届一轮复习人教A版 二项式定理 学案

‎ ‎ 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 利用二项式定理求展开式中的特定项或指定项的系数 从近三年高考情况来看,二项式定理是高考的重点内容,主要考查二项展开式的通项,二项式系数,展开式的系数等知识,难度控制在中低档,以选择题、填空题的形式出现,解题时应熟练基本概念、基本运算,充分利用方程思想及等价转化思想.‎ ‎2017新课标全国Ⅰ6‎ ‎2017新课标全国Ⅲ 4 :学 XX ][ :学。 。 。X。X。 ]‎ ‎2016新课标全国Ⅰ 14‎ ‎2015新课标全国Ⅰ 10[ :学 ]‎ ‎★★★★★‎ 二项式系数和与各项的系数和问题 ‎2015新课标全国Ⅱ 15‎ ‎★★★★‎ 考点1 求二项展开式中特定项或指定项的系数 调研1 6的展开式中的常数项是________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】二项式6的展开式的通项公式为Tr+1=C()6-rr=,∴当r=2时,Tr+1是常数项,此时T3=.学 ‎ 调研2 在的展开式中,含项的系数为 A.30 B.20‎ C.15 D.10‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为的展开式的通项为,所以的展开式中含项的系数为,故选C.‎ ‎☆技巧点拨☆‎ ‎1.熟记二项式定理:,是解决此类问题的关键.‎ ‎2.求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求 ,再将 的值代回通项求解,注意 的取值范围().‎ ‎(1)第项::此时 +1=m,直接代入通项.‎ ‎(2)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.‎ ‎(3)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.‎ 考点2 已知二项展开式某项的系数求参数 调研1 已知(1+ax)·(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=‎ A.-4 B.-3‎ C.-2 D.-1‎ ‎【答案】D ‎【解析】展开式中含x2的系数为C+aC=5,解得a=-1,故选D. 学 ‎ 调研2 (,且为常数)的展开式中,的系数为,则___________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】展开式中的系数为,则由,即,解得.‎ ‎☆技巧点拨☆‎ 对于参数问题,通常是运用通项由题意列方程求出参数即可;有时需先求n,计算时要注意n和 的取值范围及它们之间的大小关系.‎ 考点3 二项式各项系数的和与二项式系数的区别 调研1 设,则 _________.‎ ‎【答案】2 ‎ ‎【解析】令x=1可得,令x=0可得,所以=2. 学 ‎ 调研2 已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是,则展开式中二项式系数最大的项为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知,第五项的系数为,第三项的系数为,则有,化简可得,解得(舍去).由知第5项二项式系数最大.此时.‎ ‎☆技巧点拨☆‎ 二项式系数与项的系数的区别 二项式系数是指C,C,…,C,它是组合数,只与各项的项数有关,而与a,b的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关.如(a+bx)n的展开式中,第r+1项的二项式系数是C,而该项的系数是Can-rbr.当然,某些特殊的二项展开式如(1+x)n,各项的系数与二项式系数是相等的.‎ 考点4 二项式定理的综合应用 调研1 设,则二项式展开式中含项的系数是 A.80 B.640‎ C.−160 D.−40‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意,,则二项式)5,即)5,故展开式的通项公式为,得,故展开式中含x2项的系数为,故选A.‎ 调研2 已知的展开式中,只有第六项的二项式系数最大,则该展开式中所有有理项的项数为 A.4 B.5‎ C.6 D.7‎ ‎【答案】C学 ‎ ‎【解析】由题意可知:,..‎ 要求该展开式中的有理项,只需令,,所有有理项的项数为6项.故选C.‎ ‎1.(广东省揭阳市2018年高三高考第二次模拟考试)已知的展开式中常数项为,则的值为 A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.首先写出展开式的通项公式,然后结合题意得到关于实数a的方程,解方程即可求得最终结果.‎ ‎2.(宁夏银川市第二中学2018届高三下学期高考等值卷(二模))的展开式中x2y2的系数为 A.70 B.80 ‎ C.-1 D.-80‎ ‎【答案】A ‎ 3.(福建省龙岩市 2018届高三下学期教学质量检查(4月))已知二项式,则展开式的常数项为 A. B. ‎ C. D.49‎ ‎【答案】B ‎【解析】,‎ 二项式中的常数项产生在中,分别是,‎ 它们的和为,故选B.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数,属于简单题. 解题时,首先将 变形为,按二项式展开,分别得到展开式中的常数项,求和即可得结果.学 ‎ ‎4.(湖北省荆州市2018届高三质量检查(III))已知,若,则 A.−5 B.−20 ‎ C.15 D.35‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎5.(吉林省吉林市2018届高三第三次调研考试)若的展开式中只有第项的二项式系数最大,则展开式中含项的系数是 A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵的展开式中只有第项的二项式系数最大,∴为偶数,展开式共有项,则.‎ 的展开式的通项公式为,令,得.‎ ‎∴展开式中含项的系数是,故选D.‎ ‎【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略:‎ ‎(1)求展开式中的特定项,可依据条件写出第项,再由特定项的特点求出值即可;‎ ‎(2)已知展开式的某项,求特定项的系数,可由某项得出参数项,再由通项写出第项,由特定项得出值,最后求出其参数.‎ ‎1.(2017新课标全国卷Ⅰ理 )展开式中的系数为 A.15 B.20‎ C.30 D.35‎ ‎【答案】C ‎2.(2017新课标全国卷Ⅲ理 )的展开式中的系数为 A. B.‎ C.40 D.80‎ ‎【答案】C ‎【解析】,‎ 由展开式的通项公式可得:‎ 当时,展开式中的系数为;‎ 当时,展开式中的系数为,‎ 则的系数为.‎ 故选C.‎ ‎【名师点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式,求解此类问题可以分两步完成:第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r,如常数项指数为零、有理项指数为整数等);第二步是根据所求的指数,再求所求解的项.‎ ‎(2)求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.‎ ‎3.(2015新课标全国卷I理 )的展开式中, 的系数为 A.10 B.20‎ C.30 D.60‎ ‎【答案】C ‎4.(2016新课标全国卷Ⅰ理 )的展开式中,x3的系数是 .(用数字填写答案)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】的展开式的通项为(,1,2,…,5),令得,所以的系数是.‎ ‎【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项,再确定r的值,从而确定指定项系数.‎ ‎5.(2015新课标全国卷II理 )的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得,故的展开式中x的奇数次幂项分别为,,,,,其系数之和为,解得.‎ ‎【名师点睛】本题考查二项式定理,准确写出二项展开式,能正确求出奇数次幂项以及相应的系数和,从而列方程求参数值,属于中档题.‎
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