山东师范大学附属中学2021届高三数学上学期一模试题（Word版附解析）

山东师范大学附属中学2021届高三数学上学期一模试题（Word版附解析）

高三数学上学期第一次模拟试题 ‎（满分：150分 考试时间：120分钟）‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数除法运算求得，从而求得，由此得到对应的坐标，进而求得在复平面内对应的点所在象限.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 对应点为，所以在复平面内对应的点位于第三象限.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，共轭复数，考查复数对应点所在象限的判断，属于基础题目.‎ ‎2. 已知集合，集合，则集合（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合，即可求出交集.‎ ‎【详解】，，‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数定义域和值域的求法，考查集合交集运算，属于基础题.‎ ‎3. 已知，，则的最大值为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可得，之后利用基本不等式得到，从而求得结果.‎ ‎【详解】因为，且，‎ 所以，即，‎ 所以有，‎ 当且仅当时取得最大值，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求积的最大值，属于简单题目.‎ ‎4. 若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得，利用韦达定理找到之间的关系，代入所求不等式即可求得.‎ ‎【详解】不等式的解集为，则与是方程的两根，且，‎ 由韦达定理知，，‎ 即，，‎ 则不等式可化简为，‎ 整理得： ，即，由得或，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考一元二次不等式，属于较易题.‎ ‎5. 设，，，…，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的导函数和已知定义，依次对其求导，观察得出，可得解.‎ ‎【详解】，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由此可知：，‎ ‎. ‎ 故选：D.‎ ‎【点晴】本题考查三角函数的导数，依次求三角函数的导数找到所具有的周期性是解决此问题的关键，属于中档题.‎ ‎6. 某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A. 72种 B. 36种 C. 24种 D. 18种 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可．‎ ‎【详解】2名内科医生，每个村一名，有2种方法，‎ ‎3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，‎ 若甲村有1外科,2名护士,则有，其余的分到乙村，‎ 若甲村有2外科,1名护士,则有，其余的分到乙村，‎ 则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型.‎ ‎7. 若幂函数的图象过点，则函数的递增区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，代入点求出，再求出的导数，令，即可求出的递增区间.‎ ‎【详解】设，代入点，则，解得，‎ ‎，‎ 则，‎ 令，解得，‎ 函数的递增区间为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查待定系数法求幂函数解析式，考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.‎ ‎8. 设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意变量分离转为在上恒成立，只需，求出最大值即可得到实数的取值范围.‎ ‎【详解】由题意，可得，即，‎ 当时，，所以在上恒成立，‎ 只需，当时有最小值为1，则有最大值为3，‎ 则，实数的取值范围是，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解决方法，常用变量分离转为求函数的最值问题，属于基础题.‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分；部分选对的得3分；有选错的得0分.‎ ‎9. 若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 虚部为 B. ‎ C. 为纯虚数 D. 的共轭复数为 ‎【答案】ABC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 对于A：的虚部为，正确；‎ 对于B：模长，正确；‎ 对于C：因为，故为纯虚数，正确；‎ 对于D：的共轭复数为，错误.‎ 故选：ABC.‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.‎ ‎10. 下列命题正确的是（ ）‎ A. “”是“”的必要不充分条件 B. 命题“，”的否定是“，”‎ C. 若，则 D. 设，“”，是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件 ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质可判断A；根据含有量词的否定可判断B；根据基本不等式的适用条件可判断C；根据奇函数的性质可判断D.‎ ‎【详解】对于A，当时，可得，故“”是“”的充分条件，故A错误；‎ 对于B，由特称命题的否定是存在改任意，否定结论可知B选项正确；‎ 对于C，若时，，故C错误；‎ 对于D，当时，，此时，充分性成立，当为奇函数时，由，可得，必要性不成立，故D正确.‎ 故选：BD.‎ ‎【点睛】本题考查充分条件与必要条件，考查命题及其关系以及不等关系和不等式，属于基础题.‎ ‎11. 关于的说法，正确的是( )‎ A. 展开式中的二项式系数之和为2048‎ B. 展开式中只有第6项的二项式系数最大 C. 展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D. 展开式中第6项系数最小 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项式系数性质即可判断选项A；‎ 由为奇数可知，展开式中二项式系数最大项为中间两项，据此即可判断选项BC；‎ 由展开式中第6项的系数为负数，且其绝对值最大即可判断选项D.‎ ‎【详解】对于选项A：由二项式系数的性质知，的二项式系数之和为，故选项A正确；‎ 因为的展开式共有项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，故选项C正确，选项B错误；‎ 因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，故选项D正确；‎ 故选：ACD ‎【点睛】本题考查利用二项式定理求二项展开式的系数之和、系数最大项、系数最小项及二项式系数最大项；考查运算求解能力；区别二项式系数与系数是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.‎ ‎12. 如图直角梯形，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．则（ ）‎ A. 平面平面 B. ‎ C. 二面角的大小为 D. 与平面所成角的正切值为 ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A中利用折前折后不变可知,根据可证,可得线面垂 直，进而证明面面垂直；B选项中不是直角可知不垂直，故错误；‎ C中二面角的平面角为,故正确；D中与平面所成角为,计算其正切值即可.‎ ‎【详解】A中, ,在三角形中，，所以,又，可得平面，平面，所以平面平面，A选项正确；‎ B中，若，又，可得平面,则,而,‎ 显然矛盾，故B选项错误；‎ C中，二面角的平面角为，根据折前着后不变知，故C选项正确；‎ D中，由上面分析可知，为直线与平面所成角，在中，,故D选项错误.‎ 故选：AC ‎【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，二面角，线面角的求法，属于中档题.‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选三人中男生人数为，则数学期望______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 的可能值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.‎ ‎【详解】的可能值为，‎ 则；；.‎ 故分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 故.‎ 故答案为：2.‎ ‎【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎14. 如图，在正方体中，的中点为，的中点为，异面直线与所成的角是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取中点，连接，连接交于，可知即为异面直线与所成的角，求出即可.‎ ‎【详解】取中点，连接，连接交于，‎ 在正方体中，可知,‎ 四边形是平行四边形，，‎ 即为异面直线与所成的角，‎ 可知在和中，‎ ‎,‎ ‎，,‎ ‎,,‎ ‎，即异面直线与所成的角为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，属于基础题.‎ ‎15. 在展开式中，的系数为______.‎ ‎【答案】80‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原式化为，根据二项式定理，求出展开式中，的系数，即可得出结果.‎ ‎【详解】，‎ 二项式的展开式的第项为，‎ 令，则，‎ 令，则，‎ 则展开式中，的系数为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.‎ ‎16. 关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分离参数，构造函数，利用导数讨论的单调性，再结合关于的方程在上有两个不相等的实根等价于与有两个交点，即可求出的取值范围.‎ ‎【详解】，，‎ 设，，‎ 设，，‎ 即在是减函数，又，‎ 当时，，即，‎ 当时，，即，‎ 在为增函数，在为减函数，‎ 当时，，，‎ 关于的方程在上有两个不相等的实根等价于与有两个交点，‎ 由上可知，‎ 实数的取值范围为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数解决方程根的问题，属于较难题.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 某市房地产数据研究所的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，政府从8月采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制.‎ ‎ ‎ ‎（1）地产数据研究所发现，3月至7月的各月均价（万元/平方米）与月份之间具有较强的线性相关关系，试求关于的回归直线方程；‎ ‎（2）若政府不调控，按照3月份至7月份房价的变化趋势预测12月份该市新建住宅的销售均价. ‎ 参考数据：参考公式：.‎ ‎【答案】(1) (2) 销售均价约为1.52万元/平方米 ‎【解析】‎ 分析：（1）由题意，计算，，求出，，即可写出回归方程；‎ ‎（2）利用（1）中回归方程，计算时的值即可.‎ 详解：（1）‎ 月份 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 均价 ‎0.95‎ ‎0.98‎ ‎1.11‎ ‎1.12‎ ‎1.20‎ 计算可得，，，‎ 所以，，‎ 所以关于的回归直线方程为.‎ ‎（2）将代入回归直线方程得，‎ 所以预测12月份该市新建住宅的销售均价约为1.52万元/平方米.‎ 点睛：本题考查了回归直线方程的求法与应用问题，正确计算是解题的关键.‎ ‎18. 如图，在多面体中，四边形是矩形，四边形为等腰梯形，且，，，平面平面.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由平面平面垂直可得平面，即可得，取的中点记为，连接，可由勾股定理证明，即得，进而得出平面，即证；‎ ‎（2）求出三角形的面积和长，即可求出体积.‎ ‎【详解】（1）∵，平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面，∴，‎ 取的中点记为，连接，‎ ‎∵，，∴四边形为平行四边形，‎ ‎，‎ 在三角形中，，，，‎ ‎，.‎ ‎，∴平面，‎ 平面，∴；‎ ‎（2）设到的距离为，则到的距离也为，‎ 由（1）可知，，解得，‎ 平面，且，‎ ‎【点睛】本题考查面面垂直的性质，考查利用线面垂直证明线线垂直，考查三棱锥体积计算，属于基础题.‎ ‎19. 某新建公司规定，招聘的职工须参加不少于80小时的某种技能培训才能上班，公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据，按时间段，，，，，（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示.‎ ‎（1）求抽取的200名职工中，参加这种技能培训时间不少于90小时的人数，并估计从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率；‎ ‎（2）从招聘职工（人数很多）中任意选取3人，记为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数，试求的分布列和数学期望和方差.‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析，，..‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率分布直方图，分别求得在和的频数，然后再求概率.‎ ‎（2）根据频率分布直方图得到随机变量的可能取值为0，1，2，3，然后分别求得其概率，列出分布列，再求期望与方差.‎ ‎【详解】（1）依题意，培训时间在小时的人数为，‎ 在小时的人数为，‎ 故满足题意的概率估计为.‎ ‎（2）依题意，随机变量的可能取值为0，1，2，3，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∵，‎ ‎∴，.‎ ‎【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及离散型随机变量的的分布列的期望与方差，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎20. 设.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若，且，，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）答案见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出的导数，根据的范围讨论的正负即可判断单调性；‎ ‎（2）构造函数，可知在上为减函数，满足恒成立，再分离参数得，构造函数，利用导数求出的最小值，满足即可.‎ ‎【详解】（1），，‎ ‎①当时，，在上单调递增；‎ ‎②当时，若，则，若，则，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减.‎ 综上，当时，函数在上单调递增﹔‎ 当时，函数在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）因为，所以，即恒成立，‎ 设在上为减函数，即恒成立.‎ 所以，即，设，，‎ 当，，单减，当，，单增，‎ ‎，所以.‎ ‎【点睛】本题考查含参函数单调性的讨论，考查利用导数研究函数的恒成立问题，属于较难题.‎ ‎21. 如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.‎ ‎（Ⅰ）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出；‎ ‎（Ⅱ）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；‎ ‎（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【详解】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），‎ 可得、、、、‎ ‎、、、、.‎ ‎（Ⅰ）依题意，，，‎ 从而，所以；‎ ‎（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，‎ ‎，．‎ 设为平面的法向量，‎ 则，即，‎ 不妨设，可得．‎ ‎，‎ ‎．‎ 所以，二面角的正弦值为；‎ ‎（Ⅲ）依题意，．‎ 由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．‎ 所以，直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎22. 已知函数（为自然对数的底数），，直线是曲线在处的切线.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在，使得在上有唯一零点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在k=0或2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由导数的几何意义布列方程组即可得到结果；（Ⅱ）研究函数的单调性与极值即可得到结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ），‎ 由已知，有，即，解得.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则 令，则恒成立，‎ 所以在上单调递减，又因为，，‎ 所以存在唯一，使得，且当时，，即，‎ 当时，，即.‎ 所以在上单调递增，在上单调递减.‎ 又因为当时，，，，，‎ 所以存在或，使得在上有唯一零点.‎ ‎【点睛】本题考查了函切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．‎