河南省郑州市第一中学2020届高三12月联考数学（理）试题

河南省郑州市第一中学2020届高三12月联考数学（理）试题

‎2019-2020学年河南省郑州一中高三（上）12月月考数学试卷 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知全集2，3，4，5，，集合3，，2，，则 A. B. C. 2，4， D. 2，3，4，‎ 2. 在复平面内，复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，，若，则的最小值为 A. 12 B. C. 15 D. ‎ 4. 已知x，y满足，的最大值为2，则直线过定点 A. B. C. D. ‎ 5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积小于的面的个数是 ‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4 ‎ 6. 已知a，，则“”是“函数是奇函数”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有 A. 168种 B. 156种 C. 172种 D. 180种 8. 已知数列：，按照k从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列：首次出现时为数列的 A. 第44项 B. 第76项 C. 第128项 D. 第144项 9. 在长方体中，，，E，F，G分别是AB，BC，的中点，P是底面ABCD内一个动点，若直线与平面EFG平行，则面积的最小值为 A. B. ‎1 ‎C. D. ‎ 10. 已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当，，且时，，则 A. B. C. 1 D. ‎ 1. 如图，设抛物线的焦点为F，过x轴上一定点作斜率为2的直线l与抛物线相交于A，B两点，与y轴交于点C，记的面积为，的面积为，若，则抛物线的标准方程为 A. B. C. D. ‎ 2. 已知函数，若关于x的方程有六个不同的实根，则a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 3. 设双曲线的左、右顶点分别为A、B，点P在双曲线上且异于A、B两点，O为坐标原点，若直线PA与PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为______．‎ 4. 已知是定义在R上的偶函数，且若当时，，则______‎ 5. 已知梯形ABCD，，，，P为三角形BCD内一点包括边界，，则的取值范围为______．‎ 6. 瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，的三个欧拉点顶点与垂心连线的中点构成的三角形称为的欧拉三角形．如图，是的欧拉三角形为的垂心已知，，，若在内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为______．‎ 三、解答题（本大题共7小题）‎ 7. 数列的前n项和为，已知，2，3， Ⅰ证明：数列是等比数列； Ⅱ求数列的前n项和． ‎ 8. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，为等边三角形． 当PB长为多少时，平面平面ABCD？并说明理由； 若二面角大小为，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值． ‎ 1. 已知椭圆C：，C的右焦点，长轴的左、右端点分别为，，且． Ⅰ求椭圆C的方程； Ⅱ过焦点F斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，弦AB的垂直平分线与x轴相交于点试问椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形？若存在，试求点E到y轴的距离；若不存在，请说明理由． ‎ 2. 第7届世界军人运动会于‎2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项，共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民，武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分满分100分数据，统计结果如下：‎ 组别 频数 ‎5‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎45‎ ‎20‎ ‎10‎ 若此次问卷调查得分总体服从正态分布，用样本估计总体，设，分别为这200人得分的平均值和标准差同一组数据用该区间的中点值作为代表，求，的值的值四舍五入取整数，并计算． 在的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额． 参考数据：；； ‎ 3. 已知函数e为自然对数的底数，是的导函数． Ⅰ当时，求证； Ⅱ是否存在正整数a，使得对一切恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，说明理由． ‎ 1. 在平面直角坐标系xOy中，已知倾斜角为的直线l经过点以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为． 写出曲线C的普通方程； 若直线l与曲线C有两个不同的交点M，N，求的取值范围． ‎ 2. 已知函数，． 若，求a的取值范围； 若，对，，都有不等式恒成立，求a的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了集合的运算，属于基础题． 先求出，再得出，由集合运算的定义直接求解． 【解答】 解：由全集2，3，4，5，，集合3，，得4，， 又2，，则4，，2，，2，4，． 故选C． 2.【答案】D ‎ ‎【解析】解： 所对应的点为，该点位于第四象限 故选：D． 根据将复数进行化简成复数的标准形式，得到复数所对应的点，从而得到该点所在的位置． 本题主要考查了复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，属于基础题． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了向量平行和“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题． 根据已知条件，，，得出，继而可得等式，再求解等式即可． 【解答】 解：，，， ，即， ， 当且仅当，即，，时取等号， 的最小值为：． 故选B． 4.【答案】A ‎ ‎【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示； 由图可知，C 为目标函数取得最大值的最优解， 联立，解得， 所以，即； 所以， 代入，得， 即， 由，解得． 所以直线必过定点． 故选：A． 由约束条件作出可行域，得到目标函数取得最大值的最优解；求出最优解的坐标，代入目标函数得到a，b的关系；再代入直线由直线系方程得答案． 本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合的解题思想与数学转化方法，是中档题． 5.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 画出几何体的三视图，利用三视图的数据，计算求解即可，属于中等题． 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状． 【解答】 解：由题意可知几何体的直观图如图： ，， ， 该几何体的各个面中，面积小于的个数是3个． 故选：C． 6.【答案】B ‎ ‎【解析】解：函数的定义域为R， 若函数为奇函数， 则， 当时，，若为奇函数， 则， 即，， 即函数为奇函数的充要条件是， ，或， “”推不出“函数是奇函数”，“函数是奇函数”“”； 则“”是“函数是奇函数”的必要不充分条件． 故选：B ‎． 根据函数奇偶性的定义和性质得出“函数是奇函数”的等价条件，再根据“”或；由充分必要条件的定义即可得到结论． 本题主要考查函数奇偶性的判断，根据奇偶性的定义是解决本题的关键．属于基础题． 7.【答案】B ‎ ‎【解析】解：根据题意，设剩下的2个展区为丙展区和丁展区， 用间接法分析： 先计算小李和小王不受限制的排法种数， 先在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况， 再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况， 最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个展区， 有种情况， 则小李和小王不受限制的排法有种， 若小李和小王在一起，则两人去丙展区或丁展区，有2种情况， 在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况， 再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况， 最后2个安排到剩下的展区，有1种情况， 则小李和小王在一起的排法有种， 则小李和小王不在一起排法有种； 故选：B． 本题考查排列，组合的应用，涉及分步计数原理的应用，是中档题． 根据题意，用间接法分析，先求小李和小王不受限制的排法种数，再减去其中小李和小王在一起的排法种数即可． 8.【答案】C ‎ ‎【解析】解：观察数列可得，该数列中分子，分母之和为2的有1项，为3的有2项，为4的有3项，，分子，分母之和为16的有15项， 分子，分母之和为17的有16项，排列顺序为，，，，，， 其中为分子，分母之和为17的第8项， 故共有项． 故选：C． 观察数列可知，此数列按照分子，分母之和的大小排顺序，据此可以求出的位次． 本题考查数列的应用，涉及数列求和公式和分数知识，属于中档题． 9.【答案】A ‎ ‎【解析】解：如图， 补全截面EFG为截面EFGHQR，易知平面平面EFGHQR，设于点R， 直线平面EFG ‎， ，且当P与R重合时，最短，此时的面积最小， 由等积法：得，又平面ABCD， ，为直角三角形， 故， 故选：A． 找出平面EFG与长方体的截面，然后再找出过与平面EFG平面平行的平面，即可找出P在平面ABCD上的位置． 本题考查了截面，面面平行，等积法等知识点和技巧的运用． 10.【答案】B ‎ ‎【解析】解：由函数的图象过点， ，解得， 又，， ； 又的图象向左平移个单位之后为 ， 由两函数图象完全重合知，，； 又， ，； ，其图象的对称轴为，； 当，，其对称轴为， ， ． 故选：B． 由题意求得、的值，写出函数的解析式，求图象的对称轴，得的值，再求的值． 本题主要考查了三角函数的图象变换和性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是综合题． 11.【答案】C ‎ ‎【解析】解：抛物线的焦点，过x轴上一定点作斜率为2的直线l的方程为， 联立抛物线方程可得， 设，，可得，， 设F到AB的距离为d， 可得，即， 联立可得，，． 则抛物线的标准方程为． 故选：C． 求得直线l的方程，联立抛物线方程，可得x的二次方程，运用韦达定理，由三角形的面积公式，结合两个三角形同高可得面积之比为底边之比，联立方程组，解方程可得p，进而得到所求抛物线方程． 本题考查抛物线的方程和应用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及三角形的面积公式，考查化简运算能力，属于基础题． 12.【答案】C ‎ ‎【解析】‎ 解：令，则， 函数． 由题意可得，函数的图象与直线有3个不同的交点， 且每个t值有2个x值与之对应，如图所示： 由于当时，，此时，对应的x值只有一个，不满足条件，故a的取值范围是， 故选C． 令，则，由题意可得，函数的图象与直线有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，数形结合可得a的取值范围． 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合的数学思想及等价转化的数学思想，属于中档题． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查双曲线的几何性质，考查点差法，关键是设点代入化简，应注意双曲线几何量之间的关系，属于中档题． 由于A，B连线经过坐标原点，所以A，B一定关于原点对称，利用直线PA，PB的斜率乘积，可寻求几何量之间的关系，从而可求离心率． 【解答】 解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称， 设，，， 则，， 可得，， ， 该双曲线的离心率． 故答案为：． 14.【答案】216 ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查了利用函数的周期性求解函数的函数值，属于基础题． 由，可知周期，结合已知函数代入即可求解． 【解答】 解：， ，即周期， 则， 当时，， ． ， 故答案为：216． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：， 分别以边AB，AD所在的直线为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，则： ，，，， ，设，则， 由得，， ， ，设，则表示斜率为的一族平行直线，在y 轴上的截距为a，当截距最大时最大，当截距最小时最小， 由图可看出，当直线经过点时截距最小为1，当直线经过点时截距最大为， 的取值范围为． 故答案为：． 根据题意可分别以边AB，AD所在直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，从而得出，，，，设，从而根据可得出，从而得出，并设，从而根据线性规划的知识求出直线截距的最小值和最大值，即得出的最小值和最大值，从而得出的取值范围． 本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，利用线性规划的知识求变量最值的方法，数形结合的方法，考查了计算能力，属于中档题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：因为，所以， 又因为，， 由余弦定理可得：， 取BC的中点O，则， 以O为原点，建立如图所示的直角坐标系， 则，，，设， 因为， 所以， 所以，从而， 故所求概率为：， 故答案为：． 由三角函数的余弦定理得：，由两直线垂直得：，所以，从而， 由几何概型中的面积型得：，得解． 本题考查了三角函数的余弦定理及几何概型中的面积型，属中档题． 17.【答案】解：Ⅰ证明：，2，3，， 可得， 可得， 可得， 则数列是首项为1，公比为2的等比数列； Ⅱ， 即， 可得前n项和， ， 相减可得， ， 化简可得． ‎ ‎【解析】Ⅰ运用数列的递推式，化简变形，结合等比数列的定义，即可得证； Ⅱ，即，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和． 本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题． 18.【答案】解：当时，平面平面ABCD， 证明如下：在中， 因为，所以， 又，，AD，平面PAD， 所以平面PAD， 又平面ABCD ‎， 所以平面平面ABCD． 分别取线段AD，BC的中点O，E，连接PO，OE， 因为为等边三角形，O为AD的中点，所以， O，E为AD，BC的中点，所以， 又，所以， 故为二面角的平面角，所以， 如图，分别以的方向以及垂直于平面ABCD向上的方向作为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系， ‎ ‎ 因为，， 所以，0，，2，，1，． 可得，， 设y，为平面PBC的一个法向量，则有， 即， 令，可得， 设AB与平面PBC所成角为， 则有 所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．‎ ‎ ‎ ‎【解析】当时，推导出，，从而平面PAD，由此能证明平面平面ABCD． 分别取线段AD，BC的中点O，E，连接PO，OE，推导出，，由，得，从而为二面角的平面角，进而， 分别以的方向以及垂直于平面ABCD向上的方向作为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值． 本题考查满足面面垂直的线段长的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19.【答案】解：Ⅰ依题设，， 则，． 由，得：， 解得，又，所以． 所以椭圆C的方程为； Ⅱ椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形． 依题直线l的方程为． 联立， 得：． 在椭圆内，则恒成立， 设，，弦AB 的中点为， 则，， 所以，， 所以． 则直线MD的方程为， 令，得，则． 若四边形ADBE为菱形，则， 所以． ，所以． 所以． 若点E在椭圆C上，则． 即 整理得，解得． 所以椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形． 此时点E到y轴的距离为． ‎ ‎【解析】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的位置关系，训练了设而不求的解题方法，此法的依据是二次方程中根与系数的关系，训练了学生的计算能力，属有一定难度题目． Ⅰ题目给出了椭圆的右焦点坐标，则知道了c的值，再由，列式求出的值，结合隐含条件求出的值，则椭圆方程可求； Ⅱ由点斜式写出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数的关系求出A，B中点的坐标，然后写出MD所在的直线方程，求出D点的坐标，根据四边形ADBE是菱形，列式求出E点的坐标，把E点的坐标代入椭圆方程求出的值，则E点到y轴的距离可求． 20.【答案】解：由已知频数表得：， ， 由，则， 而，所以， 则， ； 显然， 所以有Y的取值为15，30，45，60， ， ， ， ， 所以Y的分布列为：‎ ‎ Y ‎ 15‎ ‎ 30‎ ‎ 45‎ ‎ 60‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以， 需要的总金额为． ‎ ‎【解析】根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而，根据原则，计算即可； 列出Y所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望，进而可得需要的总金额． 本题考查了利用频率分布表计算平均数，方差，考查了正态分布，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望，主要考查数据分析能力和计算能力，属于中档题． 21.【答案】解：Ⅰ证明：当时，，则， 令，则 ‎， 令，得，故在时取得最小值， 0'/>，在上为增函数， ； Ⅱ， 由，得对一切恒成立， 当时，可得，所以若存在，则正整数a的值只能取1，2． 下面证明当时，不等式恒成立， 设，则， 由Ⅰ，， 当时，；当时， 0'/>， 即在上是减函数，在上是增函数， ， 当时，不等式恒成立， 所以a的最大值是2． ‎ ‎【解析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题． Ⅰ求出函数的导数，根据函数的单调性判断最值； Ⅱ求出函数的导数，得到，问题转化为证明当时，不等式恒成立，设，根据函数的单调性证明即可． 22.【答案】解：由得， 将，代入上式中， 得曲线C的普通方程为：； 将l的参数方程为参数代入C的方程中， 整理得， 因为直线l与曲线C有两个不同的交点， 所以，化简得． 又，所以，且，． 设方程的两根为，，则，， 所以，， 所以． 由，得， 所以，从而， 即的取值范围是． ‎ ‎【解析】本题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等，是中档题． 由得由此能求出曲线C的普通方程 将l的参数方程为参数代入C的方程，得由直线l与曲线C有两个不同的交点，得设方程的两根为，，则，，从而，，由此能求出的取值范围． 23.‎ ‎【答案】解：， 若，则，得，即时恒成立， 若，则，得，即， 若，则，得，即不等式无解， 综上所述，a的取值范围是． 由题意知，要使得不等式恒成立，只需， 当时，， 因为，所以当时，， 即，解得，结合，所以a的取值范围是． ‎ ‎【解析】利用，通过，，，分别求解即可． 要使得不等式恒成立，只需，通过二次函数的最值，绝对值的几何意义，转化求解即可． 本题考查函数的最值的求法，二次函数的简单性质以及绝对值不等式的几何意义，考查分类讨论思想的应用． ‎