2019届二轮复习解题技巧　函数的图象、性质及应用学案（全国通用）

2019届二轮复习解题技巧　函数的图象、性质及应用学案（全国通用）

‎(这是边文，请据需要手工删加)‎ 名师导学·高考二轮总复习·理科数学 ‎(这是边文，请据需要手工删加)‎ ‎　专题八　函数与导数 ‎(这是边文，请据需要手工删加)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　专　　题　　　八 函数与导数 　【p68】‎ 　【p69】‎ 年份 卷别 题号 考查内容 命题规律 ‎2018‎ Ⅰ ‎5，9，16，21‎ 函数的奇偶性与导数的几何意义；分段函数与函数零点；应用导数求函数(三角函数)最值；应用导数研究函数的单调性、极值、证明不等式.‎ Ⅱ ‎3，11，13，21‎ 函数图象；函数的奇偶性与函数值的计算；导数的几何意义及应用；应用导数证明不等式、研究函数的零点.‎ Ⅲ ‎7，12，14，21‎ 函数图象；对数式大小比较；导数的几何意义及应用；应用导数证明不等式、研究函数的极值.‎ ‎2017‎ Ⅰ ‎5，11，16，21‎ 函数的奇偶性、单调性与不等式；指数式大小比较；应用导数求(三棱锥体积)最值；应用导数研究函数的单调性和零点.‎ Ⅱ ‎11，21‎ 应用导数研究函数的极值；应用导数研究不等式恒成立、极值、证明不等式.‎ Ⅲ ‎11，15，21‎ 应用导数研究函数的零点；分段函数与不等式的解；应用导数研究不等式恒成立、证明不等式.‎ ‎2016‎ Ⅰ ‎7，8，21‎ 函数图象；指数式和对数式大小比较；应用导数研究函数的零点、证明不等式.‎ Ⅱ ‎12，16，21‎ 函数的对称性与图象；导数的几何意义及应用；应用导数研究函数的单调性与最值、证明不等式.‎ Ⅲ ‎6，15，21‎ 指数式大小比较；函数奇偶性与导数的几何意义；求函数的导数、应用导数研究函数的最值、证明不等式.‎ ‎　　函数、导数与不等式综合的问题是新课标高考的命题热点之一，出现频率较高的题型是极值、最值、范围问题，以及函数单调性的讨论、函数零点的研究，与不等式的证明等综合问题．‎ 从考查题型来看，往年高考中既有1～3道小题，又有2道解答题．且绝大多数试题处在把关题、压轴题的位置．涉及的内容大多是函数与不等式、导数知识交汇，主要考查求函数的最值和值域，函数单调性的讨论，解不等式，求参数取值范围及函数零点个数探讨等．‎ 从考查的知识点来看，函数的单调性是考查重点之一，且单调性和奇偶性有向抽象函数拓展的趋势．函数的图象及基本初等函数图象的应用．对指数函数与对数函数的考查，大多是以函数的性质为依托，结合运算推理来解决，要求能比较熟练地运用性质进行有关数式的大小比较，方程解的讨论等．不等式证明常与函数、导数综合在一起，‎ 证明过程中的构造函数法、放缩法是高考命题的一个热点，其中放缩的“度”的把握更能显出解题的真功夫．此外关于连续函数在闭区间上的最值定理及有高等数学背景的函数的凸性问题也值得关注.‎ 第18讲　函数的图象、性质及应用 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 专 题 探 究　【p70】‎ ‎【命题趋势】‎ 高考对函数图象与性质的考查主要体现在函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性等方面．函数的单调性是考查的重点之一，且单调性和奇偶性有向抽象函数拓展的趋势．函数图象注重考查图象变换(平移变换、伸缩变换、对称变换)及基本初等函数图象的应用，考查比较灵活，涉及的知识点较多，且每年均有创新. 试题考查角度有两个方面，一是函数解析式与函数图象的对应关系；二是利用图象研究函数性质、方程及不等式的解等，综合性较强．题型多以选择题、填空题为主，一般属于中档题．而函数的零点主要考查零点所在区间、零点个数的判断以及由函数零点个数求参数的取值范围，考查形式主要是选择题、填空题，也有可能以解答题中某一小问的形式出现，多为中偏低档题．‎ ‎【备考建议】‎ 函数的图象与性质是高考的热点之一，而函数与方程基本是高考的必考点，常以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性等．因此备考时要熟练掌握基本初等函数及几种常见函数的图象与性质，掌握图象变换及变换规律．要会求具体函数的定义域、值域；与分段函数有关的问题要分清自变量对应的解析式，分段求解；要会知式选图及知图选式，能够利用函数的图象研究函数的性质(特别是单调性、最值、零点)、方程解的问题及解不等式、比较大小等；要能够综合利用函数性质解决求值及取值范围，与不等式结合的解集问题．体会分类讨论思想、数形结合思想、转化化归思想、函数方程思想等数学思想在解题中的运用．‎ 典 例 剖 析　【p70】‎ 探究一　函数的概念及表示 例1(1)已知函数f(x)的定义域为(－1，1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域为(　　)‎ A．(－2，0) B．(－2，2)‎ C．(0，2) D. ‎【解析】选C.‎ 由题意得⇒⇒0c>b B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b ‎【解析】选D.‎ 因为a＝log32＝，b＝log52＝，c＝log23>log22＝1，log25>1，所以0log23>1，所以<，即0a>b，故选D.‎ ‎(3)已知定义在R上的函数f(x)，若函数y＝f(x＋2)为偶函数，且f(x)对任意x1，x2∈[2 ，＋∞) (x1≠x2)，都有<0.若f(a)≤f(‎3a＋1)，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B．[－2，－1]‎ C. D. ‎【解析】选A.‎ 由于函数y＝f(x＋2)为偶函数，故函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又∵对任意x1，x2∈[2，＋∞)(x1≠x2)，有<0，∴函数f(x)在[2，＋∞)上单调递减，在(－∞，2]上单调递增，由f(a)≤f(‎3a＋1)得|a－2|≥|‎3a＋1－2|，解得－≤a≤.故选A.‎ ‎(4)已知定义在R上的函数f(x)满足f(‎2a－x)＝2b－f(x)，h(x＋a)＝(x≠0)，设y＝h(x)与y＝f(x)图象的交点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x‎2m，y‎2m)．若(xi＋yi)＝‎4m，则a2＋b2的最小值为(　　)‎ A．2 B．‎4 C．6 D．8‎ ‎【解析】选A.‎ 根据f(‎2a－x)＝2b－f(x)，可知f(x)的图象关于(a，b)对称，又因为h(x＋a)＝＝b＋.又设g(x)＝为奇函数，所以y＝h(x)的图象关于(a，b)对称，所以对于每一组对称点有xi＋x′i＝‎2a，yi＋y′i＝2b，‎ 所以(xi＋yi)＝2am＋2bm＝‎4m, ∴a＋b＝2，‎ 故a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝‎2a2－‎4a＋4＝2(a－1)2＋2≥2，‎ 当且仅当a＝b＝1时，a2＋b2取最小值2.故选A.‎ ‎【点评】(1)函数的性质指奇偶性，单调性和周期性；由函数的奇偶性可以进行函数在其定义域内图象、函数值、解析式和单调性的转化，函数单调性可以比较大小，求函数最值，解不等式；周期性考纲要求是了解，‎ 应用时关键是利用周期性转化函数的解析式、图象和性质，同时应注意函数性质的“逆用”．‎ ‎(2)应用函数性质解题时应： ①数形结合，扬长避短；②等价转化，迅速破解；③含参变量，分类讨论，全面考虑．‎ 探究三　函数的图象及应用 例3(1)已知f(x)＝x2＋cos(x＋φ)为偶函数且f(0)>0，则函数y＝f′(x)的图象大致为(　　)‎ ‎【解析】选A.‎ 由f(x)＝x2＋cos(x＋φ)为偶函数得φ＝kπ，则f(x)＝x2＋cos x或f(x)＝x2－cos x．又由f(0)>0得f(x)＝x2＋cos x，所以y＝f′(x)＝′＝x－sin x．设g(x)＝x－sin x，则g(－x)＝－x＋sin x＝－＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，排除B、D，令x＝，此时易得g(x)<0，所以选A.‎ ‎(2)函数f(x)＝当k>0时，函数y＝f[f(x)]＋1的零点个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【解析】选D.‎ 作出函数y＝f(x)的图象，如图所示．当k>0时，令f[f(x)]＋1＝0，有f[f(x)]＝－1，则f(x)＝a<－或f(x)＝b∈(0，1)．当f(x)＝a<－时，存在两个零点；当f(x)＝b∈(0，1)时，存在两个零点，故函数y＝f[f(x)]＋1的零点个数为4.故选D.‎ ‎(3)已知函数f(x)＝x2－2x＋loga在内恒小于零，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】选A.‎ f(x)＝x2－2x＋loga在内恒小于零，即(x－1)20)与函数y＝－ln x(x>0)有两个不同的交点(如图所示)，设切点为(x0，－ln x0)，对函数y＝－ln x进行求导，得y′＝－，所以计算得函数y＝－ln x(x>0)过(1，0)的切线的斜率为－1，结合图象，得－1，故a－e≤ln t≤a－，所以a－e≤ln t且a－≥ln t，因y＝ln t在[1，e]上单调递增，故ln t∈[0，1]，所以故1＋≤a≤e，应选D.‎ ‎(2)已知f(x)＝若f(x)＝m有四个不同的实根x1，x2，x3，x4且x10，即g(x)在[2，＋∞)上单调递增；‎ 当x<2时，g′(x)＝(1－x)ex，所以g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．‎ 又∵g(1)＝e，g(2)＝0，∴方程＝|x－2|·ex在R上有三个不同的实数根即函数g(x)与y＝的图象有三个交点．∴0<.故答案为：.‎ ‎(4)已知f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有2个不同的实根，则实数a 的取值范围是________．‎ ‎【解析】{a|a＝－1或0≤a<1或a>1}‎ 当直线y＝x＋a与曲线y＝ln x相切时，设切点为(t，ln t)，则切线斜率k＝(ln x)′|x＝t＝＝1，所以t＝1，切点为(1，0)，代入y＝x＋a得a＝－1.又x≤0时，f(x)＝x＋a⇔(x＋1)(x＋a)＝0，所以①当a＝－1时，ln x＝x＋a(x>0)有一个实根，此时(x＋1)(x＋a)＝0(x≤0)有1个实根满足条件；②当a<－1时，ln x＝x＋a(x>0)有2个实根，此时(x＋1)(x＋a)＝0(x≤0)有1个实根，不满足条件；③当a>－1时，ln x＝x＋a(x>0)有无实根，此时要使(x＋1)(x＋a)＝0(x≤0)有2个实根，应有－a≤0且－a≠－1，即a≥0且a≠1，综上得实数a的取值范围是{a|a＝－1或0≤a<1或a>1}．‎ ‎【点评】函数的零点与方程根的问题处理方法 ‎(1)函数的零点、方程的根，都可以转化为函数图象与x轴的交点，数形结合法是解决此类问题的一个有效方法．‎ ‎(2)解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．‎ ‎(备选题)例5对于定义域为[0，＋∞)的函数f(x)，如果同时满足下列三条：‎ ‎①对任意的x∈[0，＋∞)，总有f(x)≥0；‎ ‎②若x1≥0，x2≥0，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立；‎ ‎③若x1，x2∈[0，1)，则>1.‎ 则称函数f(x)为超级囧函数．‎ 则下列是超级囧函数的为________．‎ ‎(1)f(x)＝sin x；‎ ‎(2)g(x)＝x2；‎ ‎(3)h(x)＝2x－1；‎ ‎(4)p(x)＝ln(x＋1)．‎ ‎【解析】(3)‎ 对于条件③，若0≤x11.‎ 故>0，‎ 即>0.‎ 又因为x1，x2∈[0，1)，所以x1＋1，x2＋1∈[1，2)．‎ 所以函数F(x)＝f(x)－x在[1，2)上为增函数．‎ ‎(1)f＝sin＝－1<0，不符合①，所以函数f(x)不是超级囧函数．‎ ‎(2)因为x∈[0，＋∞)，所以g(x)＝x2∈[0，＋∞)，故①成立；‎ 若x1≥0，x2≥0，则g(x1＋x2)＝(x1＋x2)2＝x＋x＋x1x2≥x＋x，‎ 即g(x1＋x2)≥g(x1)＋g(x2)，所以②成立；‎ 函数G(x)＝g(x)－x＝x2－x(x∈[0，＋∞))，‎ 函数G′(x)＝x－1，显然当x∈[1，2)时，G′(x)<0，函数递减，所以不满足条件③.故函数g(x)＝x2，x∈[0，＋∞)不是超级囧函数．‎ ‎(3)当x∈[0，＋∞)时，函数h(x)≥0，满足条件①；‎ 若x1≥0，x2≥0，则h(x1＋x2)－[h(x1)＋h(x2)]‎ ‎＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]‎ ‎＝(2x1－1)(2x2－1)≥0，‎ 满足条件②；‎ 函数H(x)＝h(x)－x＝2x－x－1(x∈[1，＋∞))，‎ 所以H′(x)＝2xln 2－1，当x≥1时，H′(x)＝2xln 2－1≥2ln 2－1>0，即函数H(x)＝2x－x－1(x∈[1，＋∞))为增函数，故满足条件③.‎ 故函数h(x)是超级囧函数．‎ ‎(4)当x∈[0，＋∞)时，x＋1∈[1，＋∞)，‎ 所以p(x)＝ln(x＋1)≥0，满足条件①；‎ 当x1＝x2＝2时，p(x1＋x2)－[p(x1)＋p(x2)]＝p(4)－2p(2)＝ln 5－2ln 3＝ln <0，不符合条件②.故该函数不是超级囧函数．‎ 高 考 回 眸　【p71】‎ 考题1[2018·全国卷Ⅱ]函数f(x)＝的图象大致是(　　)‎ ‎【解析】选B.‎ 由已知该函数为奇函数，奇函数关于原点对称，故排除选项A中的图象；当x>0时，ex－e－x>0，f(x)>0，故排除选项D中的图象；取特殊值，当x＝1时，e－>2，而不接近函数值1，故排除选项C中的图象．‎ ‎【命题立意】‎ 本题主要考查利用函数的性质(如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等)识别函数图象的方法与能力．‎ 考题2[2018·全国卷Ⅱ]已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)‎ A．－50 B．0‎ C．2 D．50‎ ‎【解析】选C.‎ 因为函数f(x)为定义域R上的奇函数，‎ f(1－x)＝f(1＋x)，所以 由题意可知：f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝－f(1)＝－2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，‎ 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2，故选C.‎ ‎【命题立意】本题主要考查函数的奇偶性与周期性，考查转化化归数学思想．‎ 考题3[2017·全国卷Ⅰ]设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)‎ A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z ‎【解析】选D.‎ 解法一：取对数：xln 2＝yln 3＝zln 5.＝>，∴2x>3y，xln 2＝zln 5，则＝<，∴2x<5z，∴3y<2x<5z，故选D.‎ 解法二：取对数：xln 2＝yln 3＝zln 5，‎ xln 2＝yln 3⇒＝＝>1⇒2x>3y，‎ xln 2＝zln 5⇒＝＝<1⇒2x<5z，‎ ‎∴3y<2x<5z，故选D.‎ ‎【命题立意】本题主要考查函数的指数式与对数式的互化及对数式的运算，考查推理能力．‎ 考点限时训练　【p146】‎ A组　基础演练 ‎1．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝(　　)‎ A．(1，2) B．(1，2]‎ C．(－2，1) D．[－2，1)‎ ‎【解析】选D.‎ 由4－x2≥0得－2≤x≤2，所以A＝{x|－2≤x≤2}；由1－x>0得x<1，所以B＝{x|x<1}．故A∩B＝{x|－2≤x<1}，故选D.‎ ‎2．已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)，若f[g(1)]＝1，则a＝(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．－1‎ ‎【解析】选A.‎ 因为f(g(1))＝1＝50，所以g(1)＝0，即a－1＝0，a＝1.选A.‎ ‎3．图中阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的大致图象是(　　)‎ ‎【解析】选B.‎ 由图知，随着h的增大，阴影部分的面积S逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.‎ ‎4．已知a＝2log34.1，b＝2log32.7，c＝log30.1，则(　　)‎ A．a>b>c B．b>a>c ‎ C．a>c>b D．c>a>b ‎【解析】选D.‎ 因为log310>log34.1>log32.7，所以2log310>2log34.1>2log32.7，2log310＝log30.1，因此c>a>b.‎ ‎5．已知函数f(x)是定义在区间[－2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)是减函数，如果不等式f(1－m)|m|，即m<.综上可得－1≤m<.‎ ‎6．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，且在[0，1]上是增函数，则有(　　)‎ A．f0，则y＝[g(x)]＋[g(－x)]＝＋，当∈，则∈，＋＝0＋(－1)＝－1 ，即y＝[g(x)]＋[g(－x)]＝－1；当＝0，则＝0，y＝[g(x)]＋[g(－x)]＝0，依此类推当在其他范围情况，可得y＝[g(x)]＋[g(－x)]的值域是{－1，0}．‎ ‎10．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x10)，满足f(x)0)上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．‎ ‎【解析】4‎ f(x)＝ln(x＋)＋＝ln(x＋)＋3－，易知函数f(x)在R上单调递增，所以M＝f(k)＝ln(k＋)＋3－，m＝f(－k)＝ln(－k＋)＋3－，‎ 故M＋m＝f(k)＋f(－k)＝ln 1＋6－‎ ‎2＝6－2＝4.‎