河南省新乡市2020届高三上学期调研考试数学（理）试题

河南省新乡市2020届高三上学期调研考试数学（理）试题

新乡市2020届新高三调研考试 数 学（理科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题。每小题5分。共60分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设集合，则（ ）‎ A. {｜} B. {｜－}‎ C. {｜} D. {｜}‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出解出集合A，B，利用交集的运算即可求出。‎ ‎【详解】，，故选B。‎ ‎【点睛】本题主要考查交集的运算。‎ ‎2.设i为虚数单位，则复数的共轭复数（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，得出，再利用共轭复数的定义即可得出。‎ ‎【详解】解：，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义。若，，， ，在进行复数的除法运算时，分子分母同时应乘以分母的共轭复数。‎ ‎3.已知m＞0，则“m=3”是“椭圆=1的焦距为4”的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过讨论焦点的位置，得到关于m的方程，求出对应的m的值，根据充分必要条件的定义判断即可．‎ ‎【详解】解：∵2c=4，∴c=2，‎ 若焦点在x轴上，则c2=m2-5=4，又m＞0，∴m=3，‎ 若焦点在y轴上，则c2=5-m2=4，m＞0，∴m=1，‎ 故“m=3”是“椭圆的焦距为4”的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了充分必要条件，考查椭圆的定义，是一道基础题．‎ ‎4.记等差数列的前项和为，若，，则（ ）‎ A. 36 B. 72 C. 55 D. 110‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列前n项和性质得，再根据等差数列性质求.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 因为，所以，‎ 因为，‎ 所以.选C.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列前n项和性质以及等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎5.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的j=（ ）‎ A. 1 B. 3 C. 5 D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据框图流程，依次计算运行的结果，直到不满足条件，输出j值．‎ ‎【详解】由程序框图知：n=4，第一次运行， i＝1，j＝1,j=2i-j=1,满足i<4，‎ 第二次运行i＝2，j=2i-j＝3；满足i<4，‎ 第三次运行i＝3，j=2i-j＝3；满足i<4，‎ 第四次运行i＝4，j=2i-j＝5；不满足i<4，‎ 程序运行终止，输出j＝5．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图流程依次计算运行结果是解答此类问题的常用方法．‎ ‎6.设，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用对数的运算性质将化成以2为底的对数，再利用对数的单调性即可得出的大小。‎ ‎【详解】，‎ 且，故选A。‎ ‎【点睛】本题主要考查对数的运算性质以及对数函数的单调性的应用。‎ ‎7.某校学生会为研究该校学生的性别与语文、数学、英语成绩这个变量之间的关系，随机抽查了名学生，得到某次期末考试的成绩数据如表1至表3，根据表中数据可知该校学生语文、数学、英语这三门学科中（ ）‎ A. 语文成绩与性别有关联性可能性最大，数学成绩与性别有关联性的可能性最小 B. 数学成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小 C. 英语成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小 D. 英语成绩与性别有关联性的可能性最大，数学成绩与性别有关联性的可能性最小 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目所给的列联表，计算的观测值，得出统计结论。‎ ‎【详解】因为，所以英语成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小.故选C。‎ ‎【点睛】本题主要考查独立性检验的基本思想及其应用，意在考查学生的数据分析和处理能力。‎ ‎8.已知（，1），（，－1）分别是函数的图象上相邻的最高点和最低点，则（ ）‎ A. B. C. － D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点P,Q两点可以求出函数的周期，进而求出，再将点P或点Q的坐标代入，求得，即求出。‎ ‎【详解】因为，所以，把的坐标代入方程，得 ‎，因为，所以，故选B。‎ ‎【点睛】本题主要考查利用三角函数的性质求其解析式。‎ ‎9.已知数列中，，，若，则的最大取值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比数列的定义求出，解不等式，即可求出。‎ ‎【详解】，数列是公比，首项为的等比数列，，由，得的最大值为.故选D。‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的定义的应用。‎ ‎10.已知为偶函数，对任意，恒成立，且当时，.设函数，则零点的个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由为偶函数，对任意，恒成立，知，所以函数的周期,又知，所以函数关于对称，当时，做出其图象.并做关于的对称图象，得到函数在一个周期上的图象，其值域为，令，得，在同一直角坐标系内作函数在上的图象，由图象可知共有8个交点，所以函数的零点的个数为8个.‎ 点睛：涉及函数的周期性及对称性问题，一般要关注条件中的以及函数的奇偶性，通过变形处理都可以转化为函数的对称性及周期性问题，结合对称性及周期性可研究函数零点个数及图像交点个数问题.‎ ‎11.设，双曲线与圆相切，（，），‎ ‎（， ），若圆上存在一点满足，则点到轴的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆与双曲线的位置关系，联立双曲线方程和圆的方程，消去，可得的一元二次方程，由判别式为0，求出的值，再根据双曲线的定义以及韦达定理，即可求出。‎ ‎【详解】联立与，消去得 ‎，又 易知点分别为双曲线的左、右焦点，又，故由双曲线的定义可知在双曲线上，且为右切点，由韦达定理得 点到轴的距离为，故选D。‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及双曲线与圆的位置关系应用，意在考查学生的数学运算能力。‎ ‎12.已知在中，，，，若为的外心且满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理可得，，再根据数量积的定义可求出， ‎ ‎，然后依据，利用数量积运算性质计算，即可求出。‎ ‎【详解】如图所示，取的中点，连接，则由外心性质可知，垂直平分.设，从而 由余弦定理，知 则 因为，所以，即，故选B。‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理、向量数量积的定义以及运算性质的应用。‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．‎ ‎13.（）的展开式中不含的项的系数为_____________．（用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据二项展开式的通项公式知，，若展开式中不含，则，即，再代入即可求得。‎ ‎【详解】因为，若展开式中不含，则，即，所以 的展开式中不含的项为。项系数为60‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理应用。‎ ‎14.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据题意可知，该选手过了前两关，没过第三关，利用相互独立事件概率乘法公式即可求出。‎ ‎【详解】该选手只闯过前两关的概率为 ‎【点睛】本题主要考查利用相互独立事件的概率乘法公式求概率。‎ ‎15.设正三棱锥的高为，且此棱锥的内切球的半径，则＝_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取线段的中点，设在底面的射影为，连接。设出底面边长和斜高，计算出正三棱锥的表面积和体积，利用等积法计算出此棱锥的内切球的半径，由此得到的值，故可求出和，以及的值。‎ ‎【详解】取线段的中点，设在底面的射影为，连接（图略），设则，设，则正三棱锥的表面积为，又正三棱锥的体积，则 ‎，又 ‎【点睛】本题主要通过正三棱锥结构特征考查学生的直观想象能力，以及运算能力。‎ ‎16.若曲线存在平行于直线的切线，则的取值范围为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题意，知切点位置不确定，故需根据切点位置进行讨论。当切点不在直线上时，利用导数的几何意义，设出切点，求得切线斜率，建立等式， 由判别式大于等于零，求得的取值范围；当切点在直线上时，由切点既在直线上又在曲线上，列出方程可以求出切点坐标，再检验是否符合题意，综上即可求出的取值范围。‎ ‎【详解】（1）设平行于直线的切线的切点为，‎ ‎，解得；‎ ‎（2）若切点在直线上，则，又，从而，解得或.‎ 当时，，此时方程有两个相等的实根，曲线不存在平行于直线的切线；‎ 当时，，此时方程有两个不等的实根，曲线仅存在一条平行于直线的切线.‎ 综上，的取值范围为。‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数的几何意义求解和切线方程有关的问题以及分类讨论思想的应用。‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题。每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题。考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17.在中，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求，由二倍角公式即可求（2）由题得，解得a,b值，再由余弦定理求c边即可求解.‎ ‎【详解】（1）∵，∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）设的内角的对边分别为.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，∴，.‎ 由余弦定理可得，‎ 则，的周长为.‎ ‎【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，熟记三角的基本关系式，准确运用余弦定理计算c边是关键，是基础题.‎ ‎18.已知点是抛物线上一点，直线与抛物线交于两点．‎ ‎（1）求到抛物线焦点的距离；‎ ‎（2）若的坐标为，且，求的值．‎ ‎【答案】（1）7；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据点在抛物线上，求解出，得到抛物线方程，再利用抛物线定义即可求出；‎ ‎（2）利用直线与抛物线的位置关系，联立方程，消去得到的一元二次方程，由韦达定理求出，再结合向量垂直的坐标表示列出方程，即可求解。‎ ‎【详解】将的坐标代入，得，则，‎ 则抛物线的焦点为，到抛物线焦点的距离 设，‎ 联立，得 则，‎ 解得 ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与性质，向量垂直的坐标表示以及直线与抛物线的位置关系应用。‎ ‎19.某大型工厂有台大型机器，在个月中，台机器至多出现次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为．已知名工人每月只有维修台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使该厂获得万元的利润，否则将亏损万元．该工厂每月需支付给每名维修工人万元的工资．‎ ‎（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行．若该厂只有名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；‎ ‎（2）已知该厂现有名维修工人．‎ ‎（ⅰ）记该厂每月获利为万元，求的分布列与数学期望；‎ ‎（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘名维修工人？‎ ‎【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）不应该.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据相互独立事件的概率公式计算出事故机器不超过台的概率即可；‎ ‎（2）（i）求出的可能取值及其对应的概率，得出的分布列和数学期望；‎ ‎（ⅱ）求出有名维修工人时的工厂利润，得出结论．‎ ‎【详解】解：（1）因为该工厂只有名维修工人，故要使工厂正常运行，最多只有台大型机器出现故障．‎ ‎∴该工厂正常运行的概率为：．‎ ‎（2）（i）的可能取值有，，‎ ‎，．‎ ‎∴的分布列为：‎ X ‎ 31‎ ‎ 44‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴ ．‎ ‎（ⅱ）若工厂再招聘一名维修工人，则工厂一定能正常运行，‎ 工厂所获利润为万元，‎ 因为，‎ ‎∴该厂不应该再招聘名维修工人．‎ ‎【点睛】本题考查了相互独立事件的概率计算，离散型随机变量的分布列与数学期望计算，属于中档题．‎ ‎20.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为线段的中点，为线段上的一点.‎ ‎（1）证明：平面平面.‎ ‎（2）若，二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由得平面PAE，进而可得证；‎ ‎（2）先证得平面，设，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，分别计算平面的法向量为和，设与平面所成角为，则，代入计算即可得解.‎ ‎【详解】（1）证明：连接，因为，为线段的中点，‎ 所以.‎ 又，，所以为等边三角形，.‎ 因为，所以平面，‎ 又平面，所以平面平面.‎ ‎（2）解：设，则，因为，所以，‎ 同理可证，所以平面.‎ 如图，设，以为坐标原点，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ‎.‎ 易知为二面角的平面角，所以，从而.‎ 由，得.‎ 又由，，知，.‎ 设平面的法向量为，‎ 由，，得，不妨设，得.‎ 又，，所以.‎ 设与平面所成角为，则.‎ 所以与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】用向量法求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.‎ ‎21.已知函数 ‎（1）当时，求函数的最大值；‎ ‎（2）当时，判断函数的零点个数．‎ ‎【答案】（1）0；（2）2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数，求得函数的单调性，进而求得最值；（2）先通过导数研究函数的单调性，求出极值，再根据零点存在性定理，即可求出零点个数。‎ ‎【详解】‎ 当时，‎ 当时，‎ 所以 根据题意 令，解得，或 因为，所以，且 所以当时，‎ 当时，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减 因为，所以在上有且只有个零点 又在上单调递减，所以 当时，，，所以，‎ 又函数在上单调递增 所以 故当时，函数有个零点 ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值以及最值，同时考查函数的零点个数判断方法，意在考查学生分类讨论思想意识和数学运算能力。‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．‎ ‎（1）求与的直角坐标方程；‎ ‎（2）过曲线上任意一点作与垂直的直线，交于点，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）曲线的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用同角三角函数的平方关系，消去，即得的直角坐标方程，利用加减法消元，可求得的直角坐标方程；（2）设出曲线上任意一点，运用点到直线的距离公式和辅助角公式，以及正弦函数的值域，即可求出。‎ ‎【详解】曲线的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为 设曲线上任意一点 点到的距离为 则 其中为锐角，且 当时，取得最大值，最大值为 ‎【点睛】本题主要考查参数方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式和辅助角公式，以及正弦函数的值域的应用。‎ ‎23.已知．‎ ‎（1）已知关于的不等式有实数解，求的取值范围；‎ ‎（2）求不等式的解集．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依据能成立问题知，，然后利用绝对值三角不等式求出的最小值，即求得的取值范围；（2）按照零点分段法解含有两个绝对值的不等式即可。‎ ‎【详解】因为不等式有实数解，所以 因为，所以 故。‎ ‎①当时，，所以，故 ‎②当时，，所以，故 ‎③当时，，所以，故 综上，原不等式的解集为。‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式有解问题的解法以及含有两个绝对值的不等式问题的解法，意在考查零点分段法、绝对值三角不等式和转化思想、分类讨论思想的应用。‎ ‎ ‎ ‎ ‎