【数学】贵州省贵阳市第一中学2020届高三第七次月考（理）

【数学】贵州省贵阳市第一中学2020届高三第七次月考（理）

参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C B A D B C A D A C C ‎【解析】‎ ‎1．解不等式，得，所以因此 ‎，故选B．‎ ‎2．因为所以，故选C．‎ ‎3．细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为，设高为，则，，故选B．‎ ‎4．，故选A．‎ ‎5．，故选D．‎ ‎6．‎ ‎，故选B．‎ ‎7．由可知为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A， B；令可知，可知图象与轴只有一个交点，故选C．‎ 图1‎ ‎8．由三视图还原原几何体如图1，由图可知，该几何体是组合体，上半部分是半径为2的球的四分之一，下半部分是棱长为4的正方体，则该几何体的体积为，故选A．‎ ‎9．的图象向左平移个单位后得到 ‎，由于为偶函数，所以，由于，所以，所以．当时，，所以，通过图象可知方程有两个不同的实根时，，故选D．‎ 图2‎ ‎10． 如图2，因为，所以取为的中点，则，又因为，在中，有，所以，故选A．‎ ‎11．通过观察，平面平面，所以平面，①正确；设棱长为，用向量法，则，②错误（传统解法：取的四等分靠近的点，连接因为，所以是与所成的角.设棱长为2，则由余弦定理得，所以②错误）；因为故四点共面，③正确；体对角线平面，垂足三等分体对角线，④正确；所有正确的是①③④，故选C．‎ 图3‎ ‎12．如图3，由的函数图象：令，得，即有或，要使有个零点，则应有一个方程有个解，一个方程有个 解，由图象应有，中有一个为，有一个小于，故选C．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 或 或 ‎【解析】‎ ‎13．由题设得，因为，所以，解得 图4‎ ‎14．易知的斜率存在，设直线的方程为，如图4，过圆心作，易得当位于的延长线上时距离最大，即，所以，由点到直线的距离公式可得，所以，直线的方程为或 ‎15．由得，，所以，由余弦定理得，所以 ‎16．如图5，，为的中点，，即 ‎，直线的倾斜角为或 图5‎ 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（1）茎叶图如图6所示．‎ 图6‎ ‎ ………………………（4分）‎ ‎（其中左右两边各2分，如有一边对一部分给1分）‎ 城市中学的平均分高于县城中学平均分，……………………………………（5分）‎ 城市中学学生成绩比较集中，县城中学学生成绩比较分散．………………（6分）‎ ‎（2）分以上的学生共有名，分以上的学生共有名，‎ 由题可知，…………………………………………（7分）‎ ‎ …………………………………………………………（9分） ‎ 的分布列为 ‎……………………………………………………（10分）‎ ‎．…………………………（12分）‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎（1）证明：如图7，连接，‎ 为的中点，故且，‎ 图7‎ 故为平行四边形，………………………（2分）‎ ‎，易知为等边三角形，为的中点，‎ 故，即．……………………………………（4分）‎ 又，且，‎ 故 又，故面面 ………………（6分）‎ ‎（2）解：取的中点，连接，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，易证为等边三角形，‎ 故 如图8，以为坐标原点，为轴，为轴，‎ 为轴建立空间直角坐标系．…………………………………（8分）‎ ‎，，‎ 图8‎ ‎，‎ 设平面的法向量为 故解得．…………（10分）‎ 设平面的法向量为则，‎ 为锐二面角，故二面角的余弦值为 ‎…………………………………………………………………（12分）‎ 另解： ‎ 如图9，取的中点，连接，‎ ‎，，，‎ 图9‎ ‎，‎ 过点作交的延长线于点，连接 故，故 为二面角的平面角，‎ ‎，，‎ 故，故 即二面角的余弦值为 ………………………………………………（12分）‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（1）当时，有解得……………………………………（1分）‎ 当时，由得……………………………………（2分）‎ 所以即……………………………………（3分）‎ 故……………………………………………………………（4分）‎ ‎（2）由（1）得 ‎ 即 ‎ 又……………………………………………………………………………（5分）‎ 数列是以1为首项，为公差的等差数列， …………………………………（6分）‎ 故又…………………………………………………………（7分）‎ 所以……………………………………………（8分）‎ ‎…………………………………………（9分）‎ ‎…………………………（10分）‎ ‎………………………………………………………………（12分）‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（1）‎ 令，得或．………………………………………………………（1分）‎ 若，则当时，；‎ 当时，，‎ 故在，上单调递增，在上单调递减，‎ 此时的极大值点为；…………………………………………………………（3分）‎ 若，则当时，；‎ 当时，，‎ 故在， 上单调递增，在上单调递减，‎ 此时的极大值点为；…………………………………………………………（5分）‎ 若，在上单调递增，无极值．…………………………………（6分）‎ ‎（2）设过点的直线与曲线相切于点，‎ 则，且切线斜率，‎ 所以切线方程为，‎ 因此，整理得，……………………（7分）‎ 构造函数，‎ 则“若过点存在条直线与曲线相切”等价于“有三个不同的零点”，，与的关系如下表：…………………………（8分）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎−‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 ‎……………………………………………………………………………………（10分）‎ 所以的极大值为，极小值为，要使有三个解，‎ 即且，解得．…………………………………………（11分）‎ 因此，当过点存在条直线与曲线相切时，的取值范围是．‎ ‎……………………………………………………………………………………（12分）‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（1）设过点的直线为， ‎ 直线代入椭圆得，‎ ‎，‎ 过点与椭圆相切的直线方程为 ……………………………（5分）‎ ‎（2）焦点设直线 直线与椭圆联立消去得 点到直线的距离为，‎ 以为直径的圆过点，得 ‎，‎ 令，，‎ 求导 在上递增， …………………………（12分）‎ ‎22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】‎ 解：（1）由题意得曲线的普通方程为 ‎………………………………………………………（1分）‎ 由伸缩变换得……………………………………………………（2分）‎ 代入得………………………………………………………（3分）‎ 的普通方程为……………………………………（4分）‎ ‎（2）直线的极坐标方程为 直线的普通方程为 ……………………………（5分）‎ 设点的坐标为 ……………………………………（6分）‎ 则点到直线的距离 ‎……………………………………………（7分）‎ ‎…………………（8分）‎ 当时，…………………………（9分）‎ 所以点到直线距离的最大值为 ‎………………………………………（10分）‎ ‎23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】‎ 解：（1）当时， ……………………（1分）‎ 等价于解得……………………………………（2分）‎ 或解得 ………………………………（3分）‎ 或解得 …………………………………………（4分）‎ 的解集为…………（5分）‎ ‎（2）若对恒成立，‎ 有……………………………………（6分）‎ ‎………………………（7分）‎ ‎…………………………（8分）‎ ‎ ……………………………………………（9分）‎ ‎ ………………………………（10分）‎