2018届二轮复习基本不等式课件理（全国通用）

2018届二轮复习基本不等式课件理（全国通用）

第三节　 基本不等式 【 知识梳理 】 1. 重要不等式 a 2 +b 2 ≥____(a,b∈R)( 当且仅当 ____ 时等号成立 ). 2ab a=b 2. 基本不等式 : (1) 基本不等式成立的条件是 ________. (2) 等号成立的条件是 : 当且仅当 ____ 时取等号 . (3) 其中 称为正数 a,b 的 ___________, 称为 正数 a,b 的 ___________. a>0,b>0 a=b 算术平均数 几何平均数 3. 利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0, 则 : (1) 如果积 xy 是定值 p, 那么当且仅当 x=y 时 , x+y 有 _____ 值是 2 ( 简记 :___________). (2) 如果和 x+y 是定值 p, 那么当且仅当 x=y 时 , xy 有 _____ 值是 ( 简记 :___________). 最小 积定和最小 最大 和定积最大 【 特别提醒 】 1. 运用基本不等式时的注意点 “拆”“拼”“凑”等技巧 , 使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件 . 2. 常用的几个重要的不等式 (1)a 2 +b 2 ≥2ab(a,b∈R). (2) ≥2(a,b 同号 ). (3)ab≤ ( a,b∈R ). (4) ( a,b∈R ). 【 小题快练 】 链接教材　练一练 1.( 必修 5P100 习题 3.4A 组 T1(2) 改编 ) 设 x>0,y>0, 且 x+y =18, 则 xy 的最大值为　 ( 　　 ) A.80 B.77 C.81 D.82 【 解析 】 选 C.xy ≤ =81, 当且仅当 x=y=9 时等号成立 , 故选 C. 2.( 必修 5P100 习题 3.4A 组 T2 改编 ) 若把总长为 20m 的篱笆围成一个矩形场地 , 则矩形场地的最大面积是 　　　 . 【 解析 】 设一边长为 xm , 则另一边长可表示为 (10-x)m, 由题知 00,b>0,ab=8, 则当 a 的值为 　　　　 时 ,log 2 a·log 2 (2b) 取得最大值 . 【 解析 】 log 2 a·log 2 (2b)≤ =4, 当 a=2b 时取等号 , 结合 a>0,b>0,ab=8, 可得 a=4,b=2. 答案 : 4 5.(2014· 上海高考 ) 若实数 x,y 满足 xy =1, 则 x 2 +2y 2 的最小值为 　　　　 . 【 解析 】 x 2 +2y 2 =x 2 +( y) 2 ≥2x( y)=2 , 所以 x 2 +2y 2 的最小值为 2 . 答案 : 2 考向一 　利用基本不等式求最值 【 典例 1】 (2016· 武汉模拟 ) 已知正数 x,y 满足 x+2y-xy=0, 则 x+2y 的最小值为　 ( 　　 ) A.8 B.4 C.2 D.0 【 解题导引 】 依据题意由基本不等式得 x+2y=xy ≤ 从而求得 x+2y 的最小值或者化简 x+2y- xy =0, 得 =1, 然后变换 x+2y 的形式 , 利用基本不等 式求出 x+2y 的最小值即可 . 【 规范解答 】 选 A. 因为 x>0,y>0, 所以 xy = 又 x+2y=xy , 所以 x+2y≤ 由 x>0,y>0, 解得 x+2y≥8, 当且仅当 x=2y 时 , 等号成立 , 所以 x+2y 的最小值为 8. 【 一题多解 】 解答本题 , 还有以下解法 : 选 A. 由 x+2y-xy=0, 得 x+2y=xy , 当且仅当 x=2y 时取等号 . 【 母题变式 】 1. 若把本例的条件改为已知正数 x,y 满足 x+2y=1, 则 的最小值为 　　　　　 . 【 解析 】 因为正数 x,y 满足 x+2y=1, 当且仅当 即 x=2y 时取等号 . 答案 : 8 2. 若把本例条件改为“已知 x>0,y>0,lg2 x +lg8 y =lg2”, 求 的最小值 . 【 解析 】 因为 lg2 x +lg8 y =lg2, 所以 lg(2 x ·8 y )=lg2, 所以 2 x+3y =2. 所以 x+3y=1, 因为 x>0,y>0, 【 规律方法 】 利用基本不等式求最值的方法 (1) 知和求积的最值 :“ 和为定值 , 积有最大值” . 但应注意以下两点 : ① 具备条件 —— 正数 ;② 验证等号成立 . (2) 知积求和的最值 :“ 积为定值 , 和有最小值” , 直接应用基本不等式求解 , 但要注意利用基本不等式求最值的条件 . (3) 构造不等式求最值 : 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时 , 通常采用“变量替换”或“常数 1” 的替换 , 构造不等式求解 . 【 变式训练 】 (2015· 陕西高考 ) 设 f(x )=lnx,0p C.p=rq 【 解题提示 】 根据对数的运算性质和不等式的基本性质代入求解即可 . 【 解析 】 选 C. 由条件可得 p= = ln(ab)= (lna+lnb ), r= (f(a)+f(b))= (lna+lnb)=p, 【 加固训练 】 1. 已知 a>0,b>0,c>0, 且 a+b+c =1, 则 的最小值 为 　　　　 . 【 解析 】 因为 a ＞ 0 ， b ＞ 0 ， c ＞ 0 ，且 a+b+c =1 ， 当且仅当 a=b=c= 时，取等号． 答案： 9 2. 若正数 a,b 满足 ab =a+b+3, 则 ab 的取值范围是 　　　 . 【 解析 】 由 a,b∈R + , 由基本不等式得 a+b≥2 , 则 ab =a+b+3≥2 +3, 即 ab-2 -3≥0⇔( -3)( +1)≥0⇒ ≥3, 所以 ab≥9. 答案 : [9,+∞) 3. 已知各项均为正数的等比数列 {a n } 满足 a 7 =a 6 +2a 5 , 若 存在两项 a m ,a n , 使得 则 的最小值为 　　　　 . 【 解析 】 设公比为 q(q >0), 由 a 7 =a 6 +2a 5 ⇒a 5 q 2 =a 5 q+2a 5 ⇒q 2 -q-2=0(q>0)⇒q=2. ⇒a 1 2 m-1 ·a 1 2 n-1 =8a 1 2 ⇒2 m-1 ·2 n-1 =8 ⇒m+n-2=3⇒m+n=5, 当且仅当 n=2m= 时等号成立 . 答案 : 4.(2015· 浙江高考 ) 已知函数 f(x )= 则 f(f(-2))= 　　　 ,f(x ) 的最小值是 　　　 . 【 解题提示 】 利用分段函数求值 , 利用基本不等式求最值 . 【 解析 】 f(-2)=(-2) 2 =4, 所以 f(f(-2))=f(4)=4+ - 6=- . 当 x≤1 时 ,f(x)≥0, 当 x>1 时 ,f(x)≥2 -6, 当 x= , 即 x= 时取到等号 , 因为 2 -6<0, 所以函数 的最小值为 2 -6. 答案 : - 　 2 -6 考向二 　不等式的实际应用 【 典例 2】 (2016· 仙桃模拟 ) 某工厂某种产品的年固定 成本为 250 万元 , 每生产 x 千件 , 需另投入成本为 C(x ), 当 年产量不足 80 千件时 ,C(x )= x 2 +10x( 万元 ). 当年产量 不小于 80 千件时 ,C(x )=51x+ -1450( 万元 ). 每件 商品售价为 0.05 万元 . 通过市场分析 , 该厂生产的商品 能全部售完 . (1) 写出年利润 L(x )( 万元 ) 关于年产量 x( 千件 ) 的函数解析式 . (2) 当年产量为多少千件时 , 该厂在这一商品的生产中所获利润最大 ? 【 解题导引 】 (1) 根据题意 , 分段列出函数解析式 . (2) 分段讨论 , 根据二次函数和基本不等式求解 . 【 规范解答 】 (1) 因为每件商品售价为 0.05 万元 , 则 x 千件商品销售额为 0.05×1000x 万元 , 依题意得 : 当 00,b>0) 的最大值为 35, 则 a+b 的 最小值为 　　　　 . 【 解题导引 】 (1) 求出二次函数的对称轴 , 判断单调区间与对称轴的关系 , 再利用基本不等式求最值 . (2) 画出可行域 , 利用基本不等式求解 . 【 规范解答 】 (1) 选 B.f′(x )=(m-2)x+n-8=0 得 x=- 当 m>2 时 , 抛物线的对称轴为 x=- , 据题意 , ≥ 2, 即 2m+n≤12. 因为 所以 m·n≤18, 由 2m+n=12 且 2m=n 得 m=3,n=6. 当 m<2 时 , 抛物线开口向下 , 据题意得 : 即 2n+m≤18, 因为 所以 m·n ≤ 由 2n+m=18 且 2n=m 得 m=9( 舍 ). 要使得 mn 取最 大值 , 应有 2n+m=18(m<2,n>8), 所以 m·n =(18-2n)· n<(18-2×8)×8=16. 综上所述最大值为 18. (2) 可行域如图所示 , 当直线 abx+y=z(a >0,b>0) 过点 B(2,3) 时 ,z 取最大值 2ab+3, 于是有 2ab+3=35,ab=16, 所以 a+b≥2 =2 =8, 当且仅当 a=b=4 时等号成立 , 所以 (a+b) min =8. 答案 : 8 命题方向 2: 求参数的值或取值范围 【 典例 4】 (2016· 太原模拟 ) 正数 a,b 满足 =1, 若 不等式 a+b≥-x 2 +4x+18-m 对任意实数 x 恒成立 , 则实数 m 的取值范围是　 ( 　　 ) A.[3,+∞) B.(-∞,3] C.(-∞,6] D.[6,+∞) 【 解题导引 】 先求出 a+b 的最小值 , 然后将不等式转化 , 转化为求二次函数的最值问题 , 求出 m 的取值范围 . 【 规范解答 】 选 D. 因为 a>0,b>0, 所以 由题意 , 得 16≥-x 2 +4x+18-m, 即 x 2 -4x-2≥-m 对任意实数 x 恒成立 , 而 x 2 -4x-2=(x-2) 2 -6, 所以 x 2 -4x-2 的最小值为 -6, 所以 -6≥-m, 即 m≥6. 【 技法感悟 】 1. 求与其他知识交汇的最值问题的策略 (1) 应用基本不等式判断不等式是否成立 : 对所给不等式 ( 或式子 ) 变形 , 然后利用基本不等式求解 . (2) 条件不等式的最值问题 : 通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解 . 2. 求参数的值或取值范围的策略 观察题目特点 , 利用基本不等式确定相关成立条件 , 从而得参数的值或取值范围 . 【 题组通关 】 1.(2016· 岳阳模拟 ) 已知向量 a =(3,-2), b =(x,y-1) 且 a ∥ b , 若 x,y 均为正数 , 则 的最小值是　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 C. 因为 a ∥ b , 所以 -2x-3(y-1)=0, 化为 2x+3y=3, 所以 当且仅当 2x=3y= 时取等号 . 所以 的最小值是 8. 2.(2016· 厦门模拟 ) 已知 f(x )=3 2x -(k+1)3 x +2, 当 x∈R 时 ,f(x ) 恒为正值 , 则 k 的取值范围是　 ( 　　 ) A.(-∞,-1) B.(-∞,2 -1) C.(-1,2 -1) D.(-2 -1,2 -1) 【 解析 】 选 B. 由 f(x )>0 得 3 2x -(k+1)·3 x +2>0, 解得 k+1<3 x + , 而 3 x + ≥2 ( 当且仅当 3 x = , 即 x=log 3 时 , 等号成立 ), 所以 k+1<2 , 即 k<2 -1. 3.(2016· 武汉模拟 ) 已知各项为正的等比数列 {a n } 中 ,a 4 与 a 14 的等比中项为 2 , 则 2a 7 +a 11 的最小值为 　　　　 . 【 解析 】 由已知 a 4 a 14 =(2 ) 2 =8. 再由等比数列的性质有 a 4 a 14 =a 7 a 11 =8. 又因为 a 7 >0,a 11 >0, 所以 2a 7 +a 11 ≥ =8. 当且仅当 2a 7 =a 11 时等号成立 . 答案 : 8 【 加固训练 】 (2016· 榆林模拟 ) 已知直线 ax+by+c-1=0(b,c>0) 经过 圆 x 2 +y 2 -2y-5=0 的圆心 , 则 的最小值是　 ( 　　 )A.9 　　　　 B.8 　　　　 C.4 　　　　 D.2 【 解析 】 选 A. 圆 x 2 +y 2 -2y-5=0 化成标准方程 , 得 x 2 +(y-1) 2 =6, 所以圆 x 2 +y 2 -2y-5=0 的圆心为 C(0,1), 因为直线 ax+by+c-1=0 经过圆心 C, 所以 a×0+b×1+c-1=0, 即 b+c =1, 因此 , 因为 b,c >0, 所以 当且仅当 时等号成立 . 由此可得 b=2c, 且 b+c =1, 即 取得最小值 9.