甘肃省天水市甘谷县第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

甘肃省天水市甘谷县第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

甘谷一中2019~2020学年第一学期高二期末考试 数学试题（理科）‎ 考生注意：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.‎ ‎2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.第Ⅰ卷每小题选岀答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫来黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.‎ ‎3.本卷命题范围：选修2-1、选修2-2第一章、第三章 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的乘法、除法运算法则，以及复数与所对应点的关系，可得结果.‎ ‎【详解】由，‎ 则复数在复平面内对应的点为 故位于第一象限.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查复数与复平面中所对应的点，属基础题.‎ ‎2. ‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据牛顿莱布尼茨公式，以及，可得结果.‎ ‎【详解】.‎ 所以 原式 故答案为：-2‎ ‎【点睛】本题主要考查微积分基本定理，属基础题.‎ ‎3.下列向量与向量共线的单位向量为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据一个向量共线的单位向量计算公式，可得结果 ‎【详解】由，‎ ‎∴与向量共线的单位向量 为或.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查向量的单位向量，属基础题题.‎ ‎4.已知椭圆E：与双曲线C：（，）有相同的焦点，则双曲线C的渐近线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出椭圆焦点坐标，即为双曲线焦点坐标，再由双曲线中的关系求得后可得渐近线方程．‎ ‎【详解】椭圆E的焦点为．故．双曲线C的渐近线方程为．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆与双曲线的标准方程，考查其几何性质．属于基础题．‎ ‎5.“”是“”（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由充分必要条件判断即可 ‎【详解】由题 ，‎ 故“”是“” 充分不必要条件 故选B ‎【点睛】本题考查充分必要条件，考查正切函数的性质，是基础题 ‎6.设直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线 ‎//平面，则实数z的值为（ ）‎ A. -5 B. ‎5 ‎C. -1 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面平行的向量关系，可得，根据，可得结果.‎ ‎【详解】由直线//平面,知向量与垂直，‎ 则有，‎ 解得.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查线面平行的向量表示，属基础题.‎ ‎7.直线与抛物线交于两点，且中点的横坐标为1，则k的值为（ ）‎ A. B. C. -1 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立直线与抛物线的方程，然后利用韦达定理，根据中点坐标公式，可得结果.‎ ‎【详解】设，由，‎ 消去y得，‎ 由题意得，‎ ‎∴，.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查抛物线与直线的几何关系的应用，属基础题.‎ ‎8.已知O为坐标原点，，点P是 上一点，则当取得最小值时，点P的坐标为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三点共线，可得，然后利用向量减法坐标运算，分别求得，最后计算，经过化简观察，可得结果.‎ ‎【详解】设，则 则 ‎∴当时，取最小值-10，‎ 此时点P的坐标为.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，难点在于三点共线，审清题干，简单计算，属基础题.‎ ‎9.已知，是双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的定义得，再结合已知条件可求得，最后由余弦定理可求得结论．‎ ‎【详解】由双曲线的定义知，，又，故，，‎ ‎∴．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义，考查余弦定理．在双曲线中涉及到双曲线上的点到焦点的距离时，要考虑利用双曲线的定义求解，这样才能事半功倍．‎ ‎10.在平面直角坐标系中，直线l在两坐标轴上截距互为相反数，且直线l与曲线相切，则直线l的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用分类讨论的方法，可得直线过原点与不过原点的直线方程，然后利用曲线在某点处的切线方程，简单判断，可得结果.‎ ‎【详解】①当直线l过原点时，‎ 设直线l的方程为，‎ 设切点坐标为 有，解得，‎ 此时直线l的方程为；‎ ‎②当直线l不过原点时，此时直线的斜率为1，‎ 若切点为，可得，，‎ 此时直线l的方程为；‎ 由①②知直线l的方程 为或.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查曲线在某点处的切线方程，属基础题.‎ ‎11.过抛物线焦点F的直线l交抛物线于两点，点P在线段上运动，原点O关于点P的对称点为M，则四边形的面积的最小值为（ ）‎ A. 8 B. ‎10 ‎C. 14 D. 16‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 假设以及巧设直线方程，联立直线与抛物线的方程并使用韦达定理，根据对称性，可得，然后计算，可得结果.‎ ‎【详解】依题知，设直线，‎ 与抛物线方程联立得，‎ 设，‎ 则. ‎ 由对称性知，四边形的面积等于.‎ ‎∵，‎ 所以 ‎∴当时，四边形的面积的最小值为16.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的几何应用，难点在于要得到，重点在于计算，属中档题 ‎12.若定义在R上的函数满足其中是的导数，且，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过构造函数，根据导数研究该函数的单调性并利用函数单调性解不等式，可得结果.‎ ‎【详解】令，‎ 有，‎ 故函数为增函数，‎ 由，‎ 不等式可化为，‎ 即，‎ 故不等式的解集为.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性解不等式，难点在于构造函数，属中档题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.命题“”的否定为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定是全称命题，可得结果.‎ ‎【详解】由特称命题的否定是全称命题，‎ 故条件不变，否定结论 所以“”的 否定为“”‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查特称命题的否定是全称命题，属基础题.‎ ‎14.函数在区间上的平均变化率为____________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平均变化率的概念，得到，简单计算，可得结果.‎ ‎【详解】‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题考查平均变化率的概念，属基础题.‎ ‎15.设椭圆C的两个焦点分别为，P为椭圆C上一点，若成等差数列，则椭圆C的离心率为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质，可得，然后计算，根据离心率的表示，可得结果.‎ ‎【详解】∵成等差数列，‎ ‎∴，‎ 即，∴.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查数列与圆锥曲线的结合，属基础题.‎ ‎16.过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于两点，点A在x轴上方，O为坐标原点，当时，直线l斜率的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，可得，进一步得到，然后根据直线l斜率，可得结果.‎ ‎【详解】由题意知：‎ 点A的横坐标时，满足，‎ 此时，故直线l的斜率的取值范围是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的几何关系的应用，难点在于能得到，属中档题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.‎ ‎17.已知双曲线C： (，)的离心率为． ‎ ‎（1）若双曲线C的焦距长为，求双曲线C的方程：‎ ‎（2）若点为双曲线C上一点，求双曲线C的方程，‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）离心率，又，结合可求得得方程；‎ ‎（2）由，把坐标代入双曲线方程得，结合可求得得方程．‎ ‎【详解】由 得，．‎ ‎（1） ，，，，‎ ‎ 双曲线C的方程为．‎ ‎（2）由题知C：，又点在C上，‎ ‎，解得，，‎ 双曲线C的方程为．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的标准方程，解题关键是找到关于的两个等式，再结合结合就可求得，得双曲线方程．‎ ‎18.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，E为中点，O为中点，.‎ ‎（1）证明：//平面；‎ ‎（2）异面直线与所成角余弦值.‎ ‎【答案】（1）见详解； （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，得到O为中点，然后利用中位线定理，可得，根据线面平行的判定定理，可得结果.‎ ‎（2）通过建系，可得，然后利用向量的夹角公式，可得结果.‎ ‎【详解】（1）证明：连接，则O为中点，‎ 又E为中点，∴//.‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴//平面 ‎（2）以A原点建立空间直角坐标系，‎ 如图，‎ 则，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ‎ 即异面直线与所成角的余弦值为 ‎【点睛】本题考查线面平行的判定定理以及建系通过利用向量的方法解决线线角，将几何问题用代数方法来解决，化繁为简，属基础题.‎ ‎19.已知函数，当时，函数有极值1.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若关于x的方程有一个实数根，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，可得可得结果.‎ ‎（2）根据等价转换的思想，可得，利用导数研究函数的单调性，并比较的极值与的大小关系，可得结果.‎ ‎【详解】（1）由，‎ 有，‎ 又有，‎ 解得：，， ‎ 故函数的解析式 为 ‎ ‎（2）由（1）有可知：‎ 故函数的增区间为，，‎ 减区间为，‎ 所以的极小值为，‎ 极大值为 由关于x的方程有一个实数根，‎ 等价于方程有一个实数根，‎ 即等价于函数的图像只有一个交点 实数m的取值范围为 ‎【点睛】本题考查根据极值求函数的解析式，还考查了方程的根与函数图像交点的等价转换，属基础题.‎ ‎20.已知抛物线的焦点到准线的距离为4，直线与抛物线交于两点.‎ ‎（1）求此抛物线的方程；‎ ‎（2）若以为直径的圆过原点O，求实数k的值.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据焦点到准线的距离，可得到，可得结果.‎ ‎（2）假设的坐标，得到，然后联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，根据，可得结果.‎ ‎【详解】（1）由题知：抛物线的焦点 到准线的距离为，‎ ‎∴抛物线的方程为 ‎（2）设联立，‎ 得，‎ 则，，‎ ‎，‎ ‎∵以为直径的圆过原点O，‎ ‎∴，∴，‎ 即，‎ 解得或（舍），∴‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与抛物线的几何关系的应用，属基础题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数在区间上的最小值为0，求实数a的值.‎ ‎【答案】（1）增区间为，减区间为 （2）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过判断导数的符号，可得结果.‎ ‎（2）根据（1）的条件，采用分类讨论的方法，讨论与的位置关系，可得结果.‎ ‎【详解】解：（1）由，‎ 令可得， ‎ 则函数的增区间为，‎ 减区间为 ‎ ‎（2）‎ ‎①当时，‎ ‎，不合题意， ‎ ‎②当时，‎ ‎，‎ 得，不合题意，‎ ‎③当时，‎ ‎，得， ‎ 由上知实数a的值为1.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数判断含参数的函数在某区间的单调性以及求值，难点在于与的位置关系，因为位置不同，会影响到单调性，细心计算，属中档题 ‎22.已知椭圆的离心率为，点是椭圆C的左右焦点，点P是C上任意一点，若面积的最大值为.‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）直线与椭圆C在第一象限的交点为M，直线与椭圆C交于两点，连接，与x轴分别交于两点，求证：始终为等腰三角形.‎ ‎【答案】（1） ；（2）见详解 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据面积的最大值为，可知点的位置，根据离心率，可求出，可得结果.‎ ‎（2）先得到点，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，通过计算，可得结果.‎ ‎【详解】（1）由，‎ 可得， ‎ 由面积的最大值为知，‎ ‎，‎ 解得，，，‎ ‎∴椭圆C的方程为 ‎ ‎（2）联立，解得 联立得.‎ ‎∵直线与椭圆C交两点，‎ ‎∴.‎ ‎∴，且 ‎ 设直线的斜率分别为，‎ 设，‎ 则.‎ 又，‎ ‎，‎ 则 ‎ ‎ ‎∴，从而始终为等腰三角形.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与椭圆的几何关系的应用，属中档题.‎