2020届高三数学（理）“大题精练”2

2020届高三数学（理）“大题精练”2

‎2020届高三数学（理）“大题精练”2‎ ‎17．已知，的内角的对边分别为，为锐角，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎18．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，是等边三角形，侧面底面，，，，点、点分别在棱、棱上，，，点是线段上的任意一点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的大小.‎ ‎19．在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标.将指标按照，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”；当时，认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这户家庭的受教育水平进行评测，家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种.‎ ‎（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关：‎ 受教育水平良好 受教育水平不好 总计 绝对贫困户 相对贫困户 总计 ‎（2）上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于的贫困户中，随机选取两户，用表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求的分布列和数学期望.‎ 附：，其中.‎ ‎20．已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）试探究的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）设，当时，对任意，存在，使得，求实数的取值范围.‎ ‎22．在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与圆交于两点，定点，求的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知实数正数x, y满足．‎ ‎（1）解关于x的不等式； ‎ ‎（2）证明：‎ ‎2020届高三数学（理）“大题精练”2（答案解析）‎ ‎17．已知，的内角的对边分别为，为锐角，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数 ‎，‎ 由得：，‎ 为锐角，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2）由余弦定理有，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎，.‎ ‎18．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，是等边三角形，侧面底面，，，，点、点分别在棱、棱上，，，点是线段上的任意一点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的大小.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）连接，由，得 平面 且，又，‎ 则四边形为平行四边形，‎ 故，平面 又 面面，‎ 又面 平面.‎ ‎（2）如图，以中点为原点，的中垂线为轴，直线为轴，过于平行的直线为轴，建立空间直角坐标系 则面的其中一个法向量，‎ 设面的一个法向量 又，，‎ ‎，‎ ‎，令得，‎ 则 故二面角的大小为.‎ ‎19．在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标.将指标按照，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”；当时，认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这户家庭的受教育水平进行评测，家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种.‎ ‎（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关：‎ 受教育水平良好 受教育水平不好 总计 绝对贫困户 相对贫困户 总计 ‎（2）上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于的贫困户中，随机选取两户，用表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求的分布列和数学期望.‎ 附：，其中.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可知，绝对贫困户有（户），可得出如列联表：‎ 受教育水平 良好 受教育水平 不好 总计 绝对贫困户 相对贫困户 总计 ‎．‎ 故有的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关．‎ ‎（2）贫困指标在的贫困户共有（户），‎ ‎“亟待帮助户”共有（户），‎ 依题意的可能值为，，， ‎ ‎，，‎ ‎，‎ 则的分布列为 故．‎ ‎20．已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）试探究的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知，的坐标分别是由于的面积为，‎ ‎，又由得，‎ 解得：，或（舍去），‎ 椭圆方程为；‎ ‎（2）设直线的方程为，的坐标分别为 则直线的方程为，令，得点的横坐标 直线的方程为，令，得点的横坐标 把直线代入椭圆得 由韦达定理得,‎ ‎∴，是定值．‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）设，当时，对任意，存在，使得，求实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数的定义域为，‎ ‎，‎ 由，得或.‎ 当即时，由得，‎ 由得或；‎ 当即时，当时都有；‎ 当时，单调减区间是，单调增区间是，；‎ 当时，单调增区间是，没有单调减区间.‎ ‎（2）当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，‎ 从而在上的最小值为.‎ 对任意，存在，使得，‎ 即存在，使的值不超过在区间上的最小值. ‎ 由，.‎ 令，则当时，.‎ ‎，‎ 当时；当时，，.‎ 故在上单调递减，‎ 从而，‎ 从而.‎ ‎22．在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与圆交于两点，定点，求的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）将代入，得：，‎ 即圆的直角坐标方程为；‎ ‎（2）设点对应的参数为，‎ 把直线l的参数方程代入，‎ 得：‎ 化简得，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知实数正数x, y满足．‎ ‎（1）解关于x的不等式； ‎ ‎（2）证明：‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 解得，所以不等式的解集为 ‎ ‎（2）解法1： 且， ‎ ‎ . ‎ 当且仅当时，等号成立. ‎ 解法2： 且，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当时，等号成立.‎