陕西省延安市吴起高级中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

陕西省延安市吴起高级中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

吴起高级中学2019—2020学年第一学期中期考试 高一数学能力卷 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.‎ ‎1.设全集，，，则等于（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由集合的补集的运算，求得，再利用集合间交集的运算，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，集合，，，‎ 则，所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记的集合的运算方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎2.下列函数为偶函数的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数奇偶性的定义和判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，对于A中，函数，满足，可得函数是偶函数，满足题意；‎ 对于B中，函数，满足，所以函数为奇函数；‎ 对于C中，函数，根据指数函数的性质，可得函数是非奇非偶函数；‎ 对于D中，函数的定义域为，可得函数是非奇非偶函数.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的定义及其判定，其中解答中熟记函数奇偶性的定义和判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎3.若幂函数的图像过点，则（ ）‎ A. B. C. -9 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设幂函数，代入点，求得，即可求解.‎ ‎【详解】设幂函数的解析式为，‎ 由幂函数的图像过点，即，解得，即，‎ 所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及其应用，其中解答中熟记幂函数的概念，求得幂函数的解析式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎4.下列选项中，能正确表示集合和的关系的韦恩图是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合，得，，再看集合，可发现集合是的真子集，对照韦恩图即可选出答案．‎ ‎【详解】由，‎ ‎，0，，‎ ‎，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查图表达集合的关系及运算、一元二次方程的解示等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．‎ ‎5.已知函数在上是单调函数，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二次函数的性质，得到函数在单调递增，根据题意，列出不等式，即可求解.‎ ‎【详解】由二次函数的性质，可得函数在单调递增，‎ 要使得函数在上是单调函数，则满足，解得.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，准确的函数的单调区间，列出不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎6.设是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为当时，，所以. 又因为是定义在R上的奇函数，所以. 故应选A.‎ 考点：函数奇偶性的性质.‎ ‎7.设，则的值为（　　）‎ A. 11 B. ‎10 ‎C. 9 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的解析式，结合分段条件，逐次代入计算，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数，‎ 则.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中熟练应用分段函数的解析式，逐次代入计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎8.函数f（x）=‎ A. （-2,-1） B. （-1,0） C. （0,1） D. （1,2）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎，所以零点在区间（0，1）上 考点：零点存在性定理 ‎9.函数的图象是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的图象与性质，得到函数的定义域和图象过原点，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，函数的定义域为，‎ 其中，当时，，所以函数的图象过原点，‎ 只有选项的图象满足题意.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别，以及对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎10.三个数 之间的大小关系是 ( 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数的性质、对数函数的性质确定 所在的区间，从而可得结果.‎ ‎【详解】由对数函数的性质可知，‎ 由指数函数的性质可知，‎ ‎，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.‎ ‎11.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则与故事情节相吻合的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化的情况，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，对于乌龟，其运动过程可分为两端，‎ 从起点到终点乌龟没有停歇，其路程不断增加，‎ 到达终点后等兔子这段时间路程不变，此时图象为水平线段，‎ 对于兔子，其运动过程可分为三段：‎ 开始跑的快，所以路程增加快，中间睡觉时路程不变，图象为水平线段，‎ 醒来时追赶乌龟路程加快，‎ 分析图象，可知只有选项B符合题意.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数图象的识别与应用，其中解答根据题意判断时间关于路程的性质及其图象的特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如： ， ，已知函数，则函数的值域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简函数，根据表示不超过的最大整数，可得结果.‎ ‎【详解】函数，‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 函数的值域是，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查指数的运算、函数的值域以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.‎ 遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.函数的定义域_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的解析式有意义，得到，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，函数有意义，满足，解得或，‎ 即函数的定义域为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎14.设, 用二分法求方程内近似解的过程中, 计算得到则方程的根落在区间 内 ‎【答案】（1.25，1.5）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二分法求区间根的方法只须找到满足f（a）．f（b）＜0，又f（1.5）＞0，f（1.25）＜0可得结论．‎ ‎【详解】解：因为f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，可得方程的根落在区间（1.25，1.5）内．‎ 故答案为 （1.25，1.5）．‎ ‎【点睛】本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．二分法是把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而求零点近似值的方法．‎ ‎15.若函数图像位于x轴下方，则a的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，函数表示一条直线，不满足题意，当当时，结合二次函数的性质，得到且，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数的图像位于x轴下方，‎ 当时，函数表示一条直线，不满足题意，舍去；‎ 当时，要使得函数的图像位于x轴下方 则满足且，解得，‎ 综上可得，实数a的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎16.已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由题设，，‎ 解答得.‎ 考点：函数性质．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。‎ ‎17.计算下列各式的值：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1） ；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据指数幂的运算性质，即可求解，得到答案.‎ ‎（2）根据对数的运算性质，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】（1）根据指数幂的运算性质可得，原式.‎ ‎（2）根据对数运算性质可得，原式.‎ ‎【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质和对数的运算性质的化简、求值，其中解答中熟记指数幂和对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎18.已知集合，．‎ ‎（1）若 时，求，；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当，求得集合，再根据集合的运算，即可求解；‎ ‎（2）由，可得，列出不等式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，当，集合，，‎ 所以，‎ 又由或，所以或.‎ ‎（2）由，可得，‎ 则满足，解得，即实数的取值范围.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合混合运算，以及利用集合的包含关系求参数，其中解答中熟练应用结合的运算方法，以及集合的包含关系列出不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎19.已知是二次函数，且，‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）写出函数的对称轴、顶点坐标及单调区间.‎ ‎【答案】（1）；（2）对称轴，顶点，减区间，增区间 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，利用，列出方程组，求得的值，即可求得函数的解析式；‎ ‎（2）由（1）知，结合二次函数的图象与性质，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，设，‎ 则，‎ 所以，解得，所以.‎ ‎（2）由（1）知，函数，‎ 所以函数的对称轴的方程为，顶点坐标为，‎ 又由二次函数的性质，可得函数在单调递减，在区间.‎ ‎【点睛】本题主要考查了待定系数法求解函数的解析式，以及二次函数的图象与性质，其中解答中合理求得函数的解析式，熟记二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎20.已知函数，，（其中且）‎ ‎（1）求函数定义域； ‎ ‎（2）判断函数的奇偶性，并予以证明.‎ ‎【答案】（1）；（2）奇函数，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由函数，得到，即可求解；‎ ‎（2）根据函数的奇偶性的定义，即可判定得到函数为奇函数，得到答案.‎ ‎【详解】（1）由题意，函数，‎ 使函数有意义,则满足，解得，‎ 所以函数定义域是 ‎（2）设，则函数满足，解得，‎ 即函数的定义域为，关于原点对称.‎ 又由，‎ 即，所以函数是奇函数.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，以及函数的奇偶性的判定，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义以及判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎21.知函数 ‎（1）若时，求的最值；‎ ‎（2）若的定义域和值域均是，求实数a的值.‎ ‎【答案】（1），无最大值；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，化简函数为，即可求得函数的最值.‎ ‎（2）化简函数，求得函数的对称轴的方程为，得到函数在上为单调递减函数，根据题意，得到方程组，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，当时，，‎ 所以当是，函数取得最小值，最小值为，函数无最大值.‎ ‎（2）由，‎ 可得函数的对称轴的方程为，所以函数在上为单调递减函数，‎ 又由的定义域和值域均是，‎ 所以，即，解得.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，合理运算是解答的关键，同时注意二次函数是使用频率很高的函数，要注意灵活掌握，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎22.已知函数f(x)＝1－ (a>0，a≠1)且f(0)＝0.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)若函数g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k有零点，求实数k的取值范围；‎ ‎(3)当x∈(0，1)时，f(x)>m·2x－2恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）a＝2（2）(－∞，1)（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，求得的值；（2）由（1）知，将 的零点转化为函数与有交点，即可求得的取值范围；（3）通过参变分离将不等式转化为恒成立，再通过换元转化为求函数的最小值.‎ ‎【详解】(1)对于函数f(x)＝1－ (a>0，a≠1)，‎ 由f(0)＝1－＝0，得a＝2.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝1－＝1－.‎ 因为g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k＝2x＋1－2＋k＝2x－1＋k有零点，‎ 所以函数y＝2x的图象和直线y＝1－k有交点，所以1－k>0，即k<1.‎ 故实数k的取值范围是(－∞，1)． ‎ ‎(3)因为当x∈(0，1)时，f(x)>m·2x－2恒成立，即1－>m·2x－2恒成立，亦即m<－恒成立．‎ 令t＝2x，则t∈(1，2)，且m<－＝＝＋.‎ 由于y＝＋在t∈(1，2)上单调递减，‎ 所以＋＋＝，所以m≤.‎ 故实数m的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题重点考查了函数零点和不等式恒成立求参数的问题，这两个问题都可以转化为参变分离的形式，利用函数图像解决零点问题，或是利用最值求参数取值范围.‎ ‎ ‎