2020届二轮复习　数列的综合应用

2020届二轮复习　数列的综合应用

考点一　数列求和 1.公式法 (1)直接用等差、等比数列的求和公式求解. (2)掌握一些常见的数列的前 n 项和公式: 1+2+3+ … + n =①             ; 2+4+6+ … +2 n =②      n 2 + n      ; 1+3+5+ … +(2 n -1)= n 2 ; 1 2 +2 2 +3 2 + … + n 2 =   ; 1 3 +2 3 +3 3 + … + n 3 =   . 知识清单 2.倒序相加法 如果一个数列{ a n },与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一 常数,那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法. 3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积 构成的,那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求. 4.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从 而求得其和. 常见的拆项公式: (1)   =   -   ; (2)   =     ; (3)   =   -   . 5.分组求和法 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开, 可分为几个等差、等比或常见的数列,即先分别求和,再合并,形如: (1){ a n + b n },其中   (2) a n =   考点二　数列的综合应用 1.解答数列应用题的基本步骤 (1)审题——仔细阅读材料,认真理解题意; (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学 问题,弄清该数列的特征以及要求什么; (3)求解——求出该问题的数学解; (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中. 2.数列应用题常见模型 (1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定值,那么该模型是等差 模型,增加(或减少)的量就是公差.其一般形式是 a n +1 - a n = d (常数). (2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数,那么该模 型是等比模型,这个固定的数就是公比.其一般形式是   = q ( q 为常数, 且 q ≠ 0). (3)混合模型:在一个问题中同时涉及等比数列和等差数列的模型. (4)生长模型:如果某一个量,每一期以一个固定的百分数增加(或减少), 同时又以一个固定的具体量增加(或减少),称该模型为生长模型,如分期 付款问题,树木的生长与砍伐问题等.如设贷款总额为 a ,年利率为 r ,等额 还款数为 b ,分 n 期还完,则 b =   a . (5)递推模型:如果容易推导该数列任意一项 a n 与它的前一项 a n -1 (或前 n 项)间的递推关系式,那么我们可以用递推数列的知识求解问题. 1.一般地,如果数列{ a n }是等差数列,{ b n }是等比数列,求数列{ a n · b n }的前 n 项和时,可采用错位相减法. 2.用错位相减法求和时,应注意: (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形. (2)在写出“ S n ”与“ qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对 齐”,以便于下一步准确地写出“ S n - qS n ”的表达式. (3)应用等比数列求和公式必须注意公比 q ≠ 1这一前提条件,如果不能 确定公比 q 是否为1,应分两种情况进行讨论,这在以前的高考中经常考 查. 错位相减法求和 方法 1 方法技巧 例1    (2017广东惠州4月模拟,17)已知等差数列{ a n }满足( a 1 + a 2 )+( a 2 + a 3 )+ … +( a n + a n +1 )=2 n ( n +1)( n ∈N * ). (1)求数列{ a n }的通项公式; (2)求数列   的前 n 项和 S n . 解题导引 解析　 (1) 设等差数列 { a n } 的公差为 d , 由已知得     (2 分 ) 即   所以   解得     (4 分 ) 所以 a n =2 n -1.   (6 分 ) (2) 由 (1) 得   =   , 所以 S n =1+   +   + … +   +   ,①   S n =   +   +   + … +   +   ,②   (8 分 ) ①-② 得   S n =1+1+   +   + … +   -   =3-   ,   (10 分 ) 所以 S n =6-   .   (12 分 ) 1.对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列,在求和时常用“裂项 法”,分式数列的求和多用此法. 2.利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后 一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.将通项裂项后,有时需要调整 前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等. 例2    (2017江西赣州信丰中学高考适应性测试,17)已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且 a 2 =8, S n =   - n -1. (1)求数列{ a n }的通项公式; (2)求数列   的前 n 项和 T n . 裂项相消法求和 方法 2 解题导引 解析　 (1)∵ a 2 =8, S n =   - n -1, ∴ a 1 = S 1 =   -2=2, ∴ n ≥ 2 时 , a n = S n - S n -1 =   - n -1-   , 即 a n +1 =3 a n +2, ∴ a n +1 +1=3( a n +1), 又∵ a 2 +1=9,3( a 1 +1)=3 × 3=9, ∴ 数列 { a n +1} 是等比数列 , 且 a 1 +1=3, 公比为 3, ∴ a n +1=3 × 3 n -1 =3 n ,∴ a n =3 n -1. (2)   =   =   -   . ∴ 数列   的前 n 项和 T n =   +   + … +   =   -   .