2017-2018学年河北省任丘一中高二下学期第一次阶段考试数学（文）试题 解析版

2017-2018学年河北省任丘一中高二下学期第一次阶段考试数学（文）试题 解析版

任丘一中2017—2018学年第二学期第一次阶段考试 高二数学(文)试题 考试时间：3月30日 考试范围：1-2第2-4章，选修4-4，导数 满分：150分 时间：120分钟 命题人：董健全 审题人： 闫颖 第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）‎ 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．复数的共轭复数对应的点在复平面内位于(　　)‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎2．有一段演绎推理是这样的：“指数函数都是增函数；已知是指数函数；则是增函数”的结论显然是错误的，这是因为(　　)‎ A. 小前提错误 B.大前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误 ‎3．曲线(θ为参数)的焦点坐标是（ ）‎ A.(0,±3) B. (±4,0) C. (0,±4) D. (±3,0)‎ ‎4．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为(　　)‎ A. ρcosθ＝2 B. ρsinθ＝2 C. ρ＝4sin(θ＋) D. ρ＝4sin(θ－)‎ ‎5．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换后，曲线变为曲线，则曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．已知为曲线（为参数）上的动点，设为原点，则的最大值是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎7．直线（为参数）和圆交于两点，则线段的中点坐标为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．极坐标方程ρcosθ＝2sin 2θ表示的图象为(　　)‎ A. 一条射线和一个圆 B. 两条直线 C. 一条直线和一个圆 D. 一个圆 ‎9．已知圆锥曲线的参数方程为：（为参数），则的离心率为( )‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎10．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎11．函数不存在极值点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知定义在上的奇函数可导，导函数为，当时，恒有，令，则满足的实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.‎ ‎13．如图所示的程序框图中，输出的的值为__________．‎ ‎14．直线（为参数）的斜率为______.‎ n=n+2‎ ‎15．“开心辞典”中有这样一个问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数。现给出一组数：…，则第8个数可以是__________．‎ ‎16．已知函数，其中，若过原点且斜率为的直线与曲线相切，则的值为________.‎ 第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知复数()，且为纯虚数.‎ ‎（1）求复数； （2）若，求复数的模.‎ ‎18．若都是正实数，且.求证：与中至少有一个成立.‎ ‎19．在平面直角坐标系中，已知曲线： （为参数），在以原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）过点且与直线平行的直线交于,两点，求线段的距离．‎ ‎20．在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数），将上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和倍后得到曲线．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线：．‎ ‎（1）试写出曲线的极坐标方程与曲线的参数方程；‎ ‎（2）在曲线上求一点，使点到直线的距离最小，并求此最小值．‎ ‎21．已知函数 .‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）函数在上是减函数，求实数的取值范围.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）若，求曲线在点处的切线方程及的极值； ‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎2017-2018高二第二学期文数阶段考一 选择题答案:DBCAA DBCAB CD ‎1．D ‎【解析】复数z＝＝＝＝＋i，则复数z的共轭复数为＝－i，所以复数z的共轭复数对应的点的坐标是，该点位于第四象限，选D.‎ ‎2．A ‎【解析】“指数函数都是增函数”是错误的,即大前提错误,故选A.‎ ‎3．A ‎【解析】消去参数可得曲线的直角坐标方程为 ，‎ 据此可得曲线的焦点坐标是(0,±4) .‎ 本题选择A选项.‎ ‎4．A ‎【解析】圆ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，直线ρcosθ＝2的直角坐标方程为x＝2，圆x2＋(y－2)2＝4与直线x＝2显然相切．‎ ‎5．A ‎【解析】把代入曲线，可得，化为，即为曲线的方程，故选A.‎ ‎6．D ‎【解析】从曲线的参数方程中消去，则有，故曲线为圆，而，故的最大值为，选D．‎ ‎7．D ‎【解析】将直线参数方程代入圆方程得 ，所以线段的中点对应参数为 ，坐标为 ，选D.‎ ‎8．C ‎【解析】由ρcosθ＝4sin θcosθ，得cosθ＝0或ρ＝4sin θ.即θ＝kπ＋或x2＋y2＝4y，所以方程表示的是一条直线和一个圆．‎ ‎9．A ‎【解析】 两式相减消去参数得，它是等轴双曲线，故离心率为，选A ‎10．B ‎【解析】从平面图形到空间图形的类比，三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是猜想.‎ 考点：类比推理.‎ ‎11．D ‎【解析】函数的定义域为,函数不存在极值点，即在没有实数根, ,故选D.‎ ‎12．D ‎【解析】因为，所以当时， ，所以在单调递减，又为奇函数，所以为偶函数，因此由得 ，选D.‎ 点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等 ‎13．‎ ‎【解析】第一次运行，可得 ：‎ 第二次运行，可得 第三次运行，可得 退出循环，即输出 ‎14．‎ ‎【解析】直线的参数方程为为参数）消去参数得，则直线的斜率为，故答案为.‎ ‎15．‎ ‎【解析】这几个数是，这样规律比较明显了，即，所以，故填：.‎ ‎16．‎ ‎【解析】因为，所以，设过原点且斜率为的直线与曲线相切于点，则切线方程为，因为该切线过原点，所以，解得，即，即.‎ 点睛：本题考查导数的几何意义；在利用导数的几何意义求曲线的切线时，要注意“曲线在某点处的切线”和“过某点的切线”的区别，“在某点处的切线”，即该点就是切点，且在曲线上，但“过某点的切线”，则该点不一定在曲线上，且也不一定是切点. ‎ ‎17．(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）化为标准形式，根据纯虚数概念确定复数z；（2）先化简，然后求模即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1) ‎ ‎∵为纯虚数，∴ ‎ ‎∴，所以 ‎ ‎ (2), ‎ ‎∴. ‎ 点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：‎ ‎①复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．‎ ‎②复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．‎ ‎ ③利用复数相等求参数．．‎ ‎18．证明详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：对于直接难以证明或含否定词或含至多至少的命题的证明，通常考虑使用反证法证明.本题中含有“至少”，所以本题的证明采用反证法证明较好.先假设原命题的结论不正确即原命题结论的反面成立即同时成立，因为，进而可得，再由同向不等式的可加性得到，这与已知矛盾，进而可得假设不正确，从而肯定原命题的结论成立.‎ 证明：假设与都不成立，则有同时成立 因为，所以 两式相加，可得即，这与已知条件矛盾 因此假设不成立，所以与中至少有一个成立.‎ 考点：反证法.‎ ‎19．【答案】（1）， ；（2）‎ 试题解析：（1）曲线化为普通方程为，‎ 由，得，‎ 所以直线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）直线的参数方程为（为参数），‎ 代入化简得，‎ 设， 两点所对应的参数分别为， ，则，‎ ‎∴．‎ ‎20．（1）参考解析；（2），‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由曲线：（为参数），写出相应的直坐标方程，在转化为极坐标方程.由上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和倍后得到曲线.得到直角坐标方程，在转化为参数方程.‎ ‎（2）将直线：，化为直角坐标方程. 点在曲线 上.用点P的参数方程的形式带入，点到直线的距离公式，通过求三角函数的最值即可得到结论.‎ ‎（1）由已知得曲线的直角坐标方程是，所以曲线的极坐标方程是，‎ 因为曲线的直角坐标方程是，所以根据已知的伸缩变换得曲线的直角坐标方程是，所以曲线的参数方程是（是参数）． 5分 ‎（2）设.由已知得直线的直角坐标方程是，即.所以点P到直线的距离.当即时. .此时点P的坐标是.所以曲线上的一点到直线的距离最小，最小值是.‎ 考点：1.极坐标知识.2.参数方程知识.3.几种方程间的互化.4.函数的最值问题.‎ ‎21．(1)减区间为（0，），（1，+∞），增区间为（，1）；(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）求导得，得到减区间为（0，），（1，+∞），增区间为（，1）；（2），在x∈（2，4）上恒成立，等价于上恒成立，所以实数a的取值范围 试题解析：‎ ‎（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 函数的定义域为（0，+∞），在区间（0，），（1，+∞）上f ′（x）＜0. 函数为减函数；在区间（，1）上f ′（x）＞0. 函数为增函数.‎ ‎（2）函数在（2，4）上是减函数，则，在x∈（2，4）上恒成立. ‎ 实数a的取值范围 ‎ 点睛：本题考查导数的综合应用。导数的基本应用就是判断函数的单调性，，单调递增，，单调递减。当函数含参时，则一般采取分离参数法，转化为已知函数的最值问题，利用导数求解。‎ ‎22．（1），；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由导数的几何意义得到，又,∴，既而求出切线方程，再对函数求导研究单调性，根据极值定义得到极值；（2）恒成立，研究函数的单调性，分情况谈论函数的单调性和最值，使得最大值小于0即可.‎ 解析：‎ ‎（1）∵,∴‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴曲线在点处的切线方程为 当时，，∴在上递增；‎ 当时，，∴在上递减；‎ ‎∴在处取得极大值，且极大值为.‎ ‎（2）当时，，符合题意 当时，，令得（负根舍去）‎ 令，得，令，得，‎ ‎∴在上递增，在上递减 ‎∴，‎ ‎∵，∴‎ ‎∴，∴‎ 综上，的取值范围为.‎ 点睛：导数问题经常会遇见恒成立求参的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为 ‎（需在同一处取得最值）.‎