2018-2019学年黑龙江省大庆实验中学高二下学期第二次月考数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省大庆实验中学高二下学期第二次月考数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省大庆实验中学高二下学期第二次月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若复数满足，则的共轭复数的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ 则z的共轭复数的虚部为1．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎2．命题“”的否定是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．‎ ‎【详解】‎ 因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“，”的否定是：，．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．‎ ‎3．曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求出函数的导数，可得切线的斜率，利用点斜式可求得切线方程.‎ ‎【详解】‎ 由曲线，可得，‎ 可得在点（1，2）处的切线的斜率为k=2-1=1，‎ 故切线的方程为：y-2=x-1，即:y=x+1，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，难度不大.‎ ‎4．已知函数，且，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先对函数求导，代入即可解出 ‎【详解】‎ 解：因为 所以 又因为 所以 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考察复合函数的求导法则。复合函数求导不要忘记对内层函数求导并相乘，对复合函数求导不熟的同学建议先将函数展开化简再求导 ‎5．若命题；命题则下列命题为真命题的（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先单独判断出命题、的真假性，再结合逻辑连接词“且或非”的真假性关系判断各选项的真假性 ‎【详解】‎ 解：因为恒成立 所以命题为真命题，为假命题 又因为当时，恒成立 所以命题为假命题，为真命题 选项A：为假命题；选项B：为真命题；选项C：为假命题；选项D：为假命题 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考察了全称与特称命题的真假性判断和复合命题真假性的判断。与的真假性一定相反；命题满足“全真则真，有假则假”‎ ‎6．已知，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：或,所以是的必要非充分条件.故选B.‎ ‎【考点】充分必要条件 ‎7．直线与曲线相切于点，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求出函数的导数，再由导数的几何意义、把切点坐标代入曲线和切线方程，列出方程组进行求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意得，y′=3x2+a，‎ ‎∴k=3+a ①‎ ‎∵切点为A（1，3），‎ ‎∴3=k+1 ②‎ ‎3=1+a+b ③‎ 由①②③解得，a=﹣1，b=3，‎ ‎∴2a+b=1，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的几何意义，即一点处的切线斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．‎ ‎8．函数的单调递增区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出的导函数，令导函数大于0列出关于的不等式，求出不等式的解集可得到的范围，即为函数的单调增区间.‎ ‎【详解】‎ 因为函数，‎ 所以，‎ 由，可得，‎ 故函数的单调递增区间为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数求函数的单调区间，是一道中档题.求函数单调区间的步骤是：求出，在定义域内，令求得的范围，可得函数增区间，由求得的范围，可得函数的减区间.‎ ‎9．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求，根据题意可知在上恒成立，可设，法一：讨论的取值，从而判断是否在上恒成立：时，容易求出，显然满足；时，得到关于m的不等式组，这样求出m的范围，和前面求出的m范围求并集即可，法二：分离参数，求出m的范围即可．‎ ‎【详解】‎ ‎；‎ 由已知条件知时，恒成立；‎ 设，则在上恒成立；‎ 法一：若，即，满足在上恒成立；‎ 若，即，或，‎ 则需：解得；‎ ‎，‎ 综上得，‎ 实数m的取值范围是；‎ 法二：问题转化为在恒成立，‎ 而函数，‎ 故；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 考查函数单调性和函数导数符号的关系，熟练掌握二次函数的图象，以及判别式的取值情况和二次函数取值的关系．‎ ‎10．在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中揪出真正的嫌疑人，现有四条明确的信息：‎ ‎（1）此案是两人共同作案；‎ ‎（2）若甲参与此案，则丙一定没参加；‎ ‎（3）若乙参与此案，则丁一定参与；‎ ‎（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与.‎ 据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是（ ）‎ A．甲、乙 B．乙、丙 C．丙、丁 D．甲、丁 ‎【答案】C ‎【解析】分析：对四个选项逐一分析、排除可得答案．‎ 详解：①若甲、乙参与此案，则与信息（2），（3），（4）矛盾，故A不正确．‎ ‎②若乙、丙参与此案，则与信息（1），（3）矛盾，故B不正确．‎ ‎③若丙、丁参与此案，则信息全部符合，故C正确．‎ ‎④若甲、丁参与此案，则与信息（1），（4）矛盾，故D不正确．‎ 故选C．‎ 点睛：本题主要考查推理的应用，此类问题的解法主要是根据反证法的思想，对给出的每一选项要逐一分析，看是否与题意符合，然后通过排除得到答案．‎ ‎11．函数在上的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可，结合函数的单调性求出的最大值即可．‎ ‎【详解】‎ 函数的导数．‎ 令可得，‎ 可得在上单调递增，在单调递减，‎ 函数在上的最大值是．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性、最值问题，是一道中档题．‎ ‎12．已知的定义域为 ，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先由坐标结构特点想到构造函数并得到其单调性，再对两边同乘，得到，结合单调性可得不等式，解出答案 ‎【详解】‎ 解：构造函数 则 所以在上单调递减 又因为 所以 所以 解得或（舍）‎ 所以不等式的解集是 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考察利用抽象函数单调性解函数不等式，观察条件结构特点巧妙构造函数是解决本题的关键 二、填空题 ‎13．已知复数满足，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由条件解出复数并运算化简，然后求出 ‎【详解】‎ 解：因为 所以 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考察复数的四则运算和复数的模长，复数的除法运算需分子分母同乘分母的共轭复数 ‎14．若存在，使得不等式成立，则实数的最小值为______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】先采用参变分离将等价转化为，结合题意应该是左边函数的最小值小于等于m，利用导数求出其最小值即可 ‎【详解】‎ 解：因为 所以 记 由题意知 因为 所以当时，；当时，‎ 所以在单调递减，在单调递增 所以当时，‎ 所以 所以实数的最小值为4‎ 故答案为：4‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考察函数的能成立问题，区间能成立或恒成立问题经常采用参变分离法转化为函数的最值问题，复杂函数最值可利用导数求解 ‎15．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由函数有两个极值点分析出其导数必然有两个零点，即方程必有两解，然后将其转化为函数与函数图像有两个交点，结合函数图像，找到临界情况相切，求出相切时直线的斜率，直线要与曲线由两个交点直线需更平一点从而求出a的范围 ‎【详解】‎ 解：因为函数有两个极值点 所以必有两解 显然 所以有两解 所以函数与函数图像有两个交点 又因为函数图像为一条直线l且过定点函数 如图，当l与相切时，设切点P(x0,lnx0)‎ 得 解得 因为l与有两个交点 所以 所以实数的取值范围为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考察用导数研究函数的极值，函数的极值点出现在导数等于0或不存在处，所以可将极值点个数问题转化为导数的零点个数问题，零点问题不好解决时常转化为两函数交点问题，利用函数图像进行求解 ‎16．设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：设,由题设可知存在唯一的整数，使得在直线的下方.因为,故当时,,函数单调递减; 当时,,函数单调递增;故,而当时,,故当且,解之得,应填答案.‎ ‎【考点】函数的图象和性质及导数知识的综合运用．‎ ‎【易错点晴】本题以函数存在唯一的整数零点，使得为背景,设置了一道求函数解析式中的参数的取值范围问题,目的是考查函数的图象和性质及导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用.同时也综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用等价转化得到数学思想将问题等价转化为存在唯一的整数，使得在直线的下方.然后再借助导数的知识求出函数的最小值,依据题设建立不等式组求出解之得.‎ 三、解答题 ‎17．直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；‎ ‎（2）已知直线与曲线和曲线分别交于异于点的、两点，求线段的长.‎ ‎【答案】（1）的普通方程为，的极坐标方程为；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据参数方程和极坐标方程化普通方程的公式得到结果；（2）设，，将点M，N代入极坐标方程得到极径，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为曲线的参数方程为（其中为参数），‎ 所以的普通方程为①‎ 在极坐标系中，将代入①得，‎ 化简得，的极坐标方程为②‎ ‎（2）因为直线的极坐标方程为，且直线与曲线和曲线分别交于，，则可设，，‎ 将代入②得，‎ 将代入曲线：得.‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了极坐标和参数方程与普通方程的互化，考查了极坐标下两点间的距离的计算.极坐标下，极径代表了距离，两点间距离可以转化为极径的差与和.‎ ‎18．为了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，某部门从年龄在岁到岁的人群中随机调查了人，并得到如图所示的频率分布直方图，在这人中不支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结果如表所示：‎ 年龄 不支持“延迟退休年龄政策”的人数 ‎15‎ ‎5‎ ‎15‎ ‎23‎ ‎17‎ ‎（1）由频率分布直方图，估计这人年龄的平均数；（写出必要的表达式）‎ ‎（2）根据以上统计数据补全下面的列联表，据此表，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为以岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度存在差异？‎ 岁以下 岁以上 总计 不支持 支持 总计 附：临界值表、公式（公式在右上）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）42；（2）详见解析.‎ ‎【解析】（1）在频率分布直方图中，平均数为各小组底边中点坐标与对应频率乘积之和。‎ ‎（2）根据条件，完成联表，计算出，再和参考数据比较，即可得结论。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）估计这人年龄的平均数为 ‎ （岁）‎ ‎（2）由频率分布直方图可知，岁以下共有人，岁以上共有人.‎ 列联表如下：‎ 岁以下 岁以上 总计 不支持 支持 总计 ‎ ，‎ 不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为以岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度存在差异.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图中平均数的求法，及的计算，属基础题。‎ ‎19．直角坐标系中，以坐标原点为极点，‎ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.‎ ‎（1）求出曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设过点且倾斜角为的直线和曲线交于两点，求的值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】(1)根据极坐标化为直角坐标的公式得到结果；（2）联立直线和椭圆方程得到关于t的二次方程，根据t的几何意义得到 根据韦达定理求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得，将代入得，‎ 即为曲线的直角坐标方程.‎ ‎(2)依题意得直线（为参数），与椭圆联立得 ‎ . ‎ 即，可得，，‎ ‎ .‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，以及直线参数方程中参数的几何意义的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎20．若函数，当时，函数有极值．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）先对函数求导，利用函数有极值可解出 ‎（2）有三个零点，等价与有三解，等价于与有三个交点 接下来只需利用导数研究函数的单调性，结合函数简图解出的取值范围 ‎【详解】‎ ‎（1）由 所以，解得，‎ 所求的解析式为 ‎（2）由（1）可得 令，得 当变化时，变化如下表：‎ 由有三个零点，则与图像有三个交点，‎ 由三次函数图像可知，，即 ‎【点睛】‎ 本题主要考察利用导数研究函数的极值与零点问题，函数的极值点问题可转化为导数的零点问题，函数的零点问题常采用数形结合法转化为图像的交点问题，画函数的图像关键在于研究函数的单调性 ‎21．在直角坐标系中， 椭圆的中心在坐标原点，其右焦点为，且点 在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆的左、右顶点分别为，是椭圆上异于的任意一点，直线交椭圆于另一点，直线交直线于点， 求证：三点在同一条直线上 ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】（1）（法一）由题意，求得椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义，求得，进而求得的值，即可得到椭圆的标准方程；‎ ‎（法二）设椭圆的方程为（），列出方程组，求得的值，得到椭圆的标准方程。‎ ‎（2）设，，直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系和向量的运算，即可证得三点共线。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）（法一）设椭圆的方程为，‎ ‎∵一个焦点坐标为，∴另一个焦点坐标为，‎ ‎∴由椭圆定义可知，‎ ‎∴，∴，∴椭圆的方程为.‎ ‎（法二）不妨设椭圆的方程为（），‎ ‎∵一个焦点坐标为，∴，①‎ 又∵点在椭圆上，∴，②‎ 联立方程①，②，解得，，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）设，，直线的方程为，‎ 由方程组消去，并整理得：，‎ ‎∵，∴，，‎ ‎∵直线的方程可表示为，‎ 将此方程与直线联立，可求得点的坐标为，‎ ‎∴，‎ ‎∵ ‎ ‎ ，所以，‎ 又向量和有公共点，故，，三点在同一条直线上.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。‎ ‎22．设函数 ‎（Ⅰ）若a=，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若当≥0时≥0，求a的取值范围 ‎【答案】在，单调增加，在（-1，0）单调减少,‎ ‎【解析】试题分析：（I）‎ ‎ 6分 ‎（II）‎ 令 若 若a>1，则当为减函数，而 从而当 综合得a的取值范围为12分 ‎【考点】本小题主要考查利用导数考查函数的单调性和单调性的应用.‎ 点评：导数是研究函数性质是有力工具，利用导数研究函数单调性的前提是要注意函数的定义域，而且解决此类问题一般离不开分类讨论，讨论时要做到不重不漏.‎