2018届二轮复习三角函数的图象与性质学案（江苏专用）

2018届二轮复习三角函数的图象与性质学案（江苏专用）

专题5：三角函数的图象与性质(两课时)‎ 班级 姓名 ‎ 一、前测训练 ‎1．（1）若tana＝，a∈(π，π)，则sina＝ ，cosa＝ ．‎ 答案：－；－；‎ ‎（2）已知tana＝2，则＝ ，sin2a－2sinacosa＋2＝ ．‎ 答案：；2；‎ ‎（3）已知sina＋cosa＝，a∈(0，π)，则cosa－sina＝ ，tana＝ ．‎ 答案：；－；‎ ‎2．（1） 函数y＝的定义域为 ． ‎ 答案：[kπ＋ ，kπ＋](k∈Z)；‎ ‎（2） 函数y＝sin(2x＋)，x∈[0，]的值域为 ．‎ 答案：[－ ，1]；‎ ‎（3） 函数y＝2cos(3x－)单调减区间为 ．‎ 答案：[＋，＋](k∈Z)；‎ ‎ (4)函数y＝sin(2x＋) 的对称轴为 ；中心对称点为 ． ‎ 答案：x＝＋(k∈Z)；(－，0)(k∈Z)；‎ ‎3．（1）函数y＝2sin2x＋sinxcosx＋3cos2x的值域为 ．‎ 答案：[，]；‎ ‎（2）函数y＝4sin2x－12cosx－1，x Î[－，]的值域为 ．‎ 答案：[－13，8]；‎ ‎（3）函数y＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2，x∈[0，π]的值域为 ．‎ 答案：[，3＋]；‎ ‎（4）函数y＝的值域为 ．‎ 答案：[0，＋∞)；‎ 提示：方法一：看作斜率，数形结合处理；‎ ‎ 方法二：导数法处理． ‎ ‎4．（1）已知函数y＝Asin(2x＋φ)的对称轴为x＝，则φ的值为 ．‎ 答案：kπ＋(k∈Z)；‎ ‎（2）已知函数y＝cos(2x＋φ)为奇函数，求φ的值为 ．‎ 答案：kπ＋(k∈Z)；‎ ‎5．已知函数f(x)＝Asin(wx＋j)(A＞0，w＞0，|j|＜)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M(，－2)，则f(x)的解析式为f(x)＝ ．‎ 答案：2sin(2x＋)；‎ 二、方法联想 ‎1．三角函数求值 ‎(1) 知一求其余三角函数值；‎ ‎(2)关于sinα与cosα的齐次式，同除cosa或cos2a，如果不是齐次，借助1＝sin2α＋cos2α构造齐次．‎ ‎(3)sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα间关系式 sinα＋cosα sinα－cosα sinαcosα sinα和cosα tanα sin2α 注意 根据角的范围确定三角函数值正负．无法确定正负时可根据三角函数值的正负(或与特殊角的三角函数值)缩小角的范围．‎ 变式1：已知θ是第三象限角，且sinθ－2cosθ＝－，则sinθ＋cosθ＝ ．‎ ‎(答案：－，考查构造方程组求解sinθ，cosθ)‎ 变式2：若tanα＝ ，则cosα＋2sin2α＝________‎ ‎(答案：，考查已知三角函数正切值，求二次齐次式值）‎ ‎2．三角函数的定义域 ‎ 方法：根据式子有意义的条件，列不等式组，解不等式求定义域．‎ ‎3．三角函数的值域 ‎ 方法1：转化为y＝Asin(ωx＋φ)形式，先求ωx＋φ的范围，再根据正弦函数的图象求出值域 如y＝asin2ωx＋bsinωxcosωx＋ccos2ωx的形式，先利用降幂公式化为一次形式，将用辅助角公式化为y＝Asin(2ωx＋φ)形式求值域．‎ 方法2：利用换元法转化为二次函数值域问题．‎ 如①含有 sin2x，cosx(或sinx)和cos2x，sinx(或cosx)形式；②含有sinx±cosx，sinxcosx：‎ 形如分子、分母含有sinx，cosx的一次形式：‎ 方法1：化为sin(ωx＋φ)＝M形式，再得用三角函数的有界性(|sinx|≤1，|cosx|≤1)求值域．‎ 方法2：导数法 ‎4．三角函数对称问题 方法：对于函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)‎ ‎①若x＝x0为对称轴Ûf(x0)＝±A．‎ ‎②若(x0，0)为中心对称点Ûf(x0)＝0．‎ 推论：对于函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)‎ ‎①若函数y＝f(x)为偶函数Ûf(0)＝±A．‎ ‎②若函数y＝f(x)为奇函数Ûf(0)＝0．‎ ‎5．求f(x)＝Asin(wx＋j)＋B(A＞0)的解析式 方法：待定系数法 步骤：（1）由周期T＝得w；（2）由得， ‎（3）将点代入求j(尽量代入最高点或最低点)．‎ 变式1：设函数f(x)＝3sin(x＋)，若存在实数x1，x2，使得对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，‎ 则|x1－x2|的最小值为 ．‎ ‎(答案：2，考查三角函数的最值与周期)‎ 三、例题分析 例1. 设函数f(x)＝sin(x－)－2cos2x＋1．‎ ‎（1）求f(x)的最小正周期； ‎ ‎（2）若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈[0，]时y＝g(x)的最大值．‎ 答案：（1） f(x)的最小正周期为8； （2）最大值为．　　‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1）主要问题归类与方法： ‎ ‎1．求三角函数周期问题，必须先将解析式化为y＝A sin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式．‎ ‎2．求三角函数的最值(值域)问题．‎ 因为函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以问题可以转化为求f(x)＝Asin(ωx＋φ)在区间[，2]上的最值．‎ ‎（2）方法选择与优化建议：‎ ‎1．采用展开、降幂等方法“化一”．将f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)形式，再使用周期公式．‎ ‎ 2．求三角函数的最值(值域)问题．‎ 三角函数的最值既是高考中的一个重点，也是一个难点，其类型丰富，解决的方法比较多.但是归纳起来常见的有下面三种类型：‎ ‎①化为只含有一个一次的三角函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式，根据题中x的范围求出ωx＋φ的范围，再确定sin(ωx＋φ)或cos(ωx＋φ)的最值(值域)；‎ ‎②借助公式将函数先化为y＝f(sinx)型，通过换元法，即令t＝sinx，构造关于t的函数，并根据x的范围确定t的取值范围，再求f(t)的最值(值域)；‎ ‎③函数表达形式中同时出现sinx＋cosx (sinx－cosx)与sinxcosx时，可以利用(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx或(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx的关系进行换元，即令t＝sinx±cosx＝sin(x±)，转化为关于t的函数，再求f(t)的最值(值域).‎ 例2. 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数．‎ ‎（1）求φ的值；（2）求ω的值．‎ 答案：(1)φ＝；(2)ω＝或2.‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1）主要问题归类与方法： ‎ ‎1．三角函数图象轴对称问题.‎ 函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，说明f(x)的图象关于y 轴对称．‎ ‎2．三角函数图象中心对称问题．‎ 函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)图象关于点M对称．‎ 方法选择与优化建议：‎ ‎1．从f(x)为偶函数很容易得到f(0)＝sinφ＝±1，从而有φ＝kπ＋(k∈Z)．‎ 常用的结论有：‎ ‎①若y＝A sin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数则有φ＝kπ (k∈Z)；‎ ‎②若y＝A cos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ (k∈Z)；若为奇函数则有φ＝kπ＋(k∈Z)；‎ ‎③若y＝A tan(ωx＋φ)为奇函数则有φ＝kπ (k∈Z).‎ 这个结论要让学生理解并推理，不需要记忆．‎ ‎2．从f＝0，可以得到cos＝0，于是＝kπ＋，ω＝k＋(k∈Z)．再结合函数的单调性推导出ω的值；‎ ‎3.对于y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系；‎ y＝A sin(ωx＋φ)的图象有无穷多条对称轴，可由方程ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解出；它还有无穷多个 对称中心，它们是图象与x轴的交点，可由ωx＋φ＝kπ (k∈Z)解出．‎ ‎4.对于y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)来说，相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为，函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．‎ 例3.已知向量a＝(2sin(wx＋)，2)，b＝(2coswx，0)(w＞0)，函数f(x)＝a·b的图象与直线y＝－2＋的相邻两个交点之间的距离为p． ‎ ‎（1）求函数f(x)在[0，2p]上的单调递增区间；‎ ‎（2）将函数f(x)的图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象．若y＝g(x)在[0，b]上至少含有10个零点，求正数b的最小值．‎ 答案：（1）f(x)＝2cos(2x＋)＋，单调递增区间为[，]和[，]；‎ ‎（2）g(x)＝2cos2x＋，令g(x)＝0，得x＝kp＋或x＝kp＋(k∈Z)，则g(x)在每个周期上有两个零点，所以b不小于第10个零点的横坐标即可，即，b的最小值为4p＋ ‎＝.‎ ‎【教学建议】‎ ‎（1）主要问题归类与方法： ‎ ‎1．求三角函数单调区间问题，先将解析式化为y＝A sin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式，具体步骤为：①将ω化为正；②将ωx＋φ成一个整体，由三角函数的单调性求解．‎ ‎2．三角函数的周期与零点问题，先求出g(x)在每个周期上的零点个数，再确定区间端点的最小值.‎ ‎（2）方法选择与优化建议：‎ ‎1．解决三角函数单调性问题时务必注意避免以下错误：‎ ‎①ω没有化为正数；‎ ‎②存在多个单调区间时错用“∪”联结；‎ ‎③遗漏“k∈Z”；‎ ‎④求解三角函数的单调区间时忘记考虑函数自身的定义域．‎ ‎2．首先要注意到函数的最小正周期为p，确定函数在每个周期内的的零点个数，这里容易将b的最小值错求为第五个周期的终点.‎ 例4.已知 A、B两地相距2R，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧AC、弧BC的中点，在三角形AMC、三角形BNC上种花，其余是空地．设花坛的面积为S1，草坪的面积为S2，取∠ABC＝q．‎ A B N C M ‎（1）用q 及R表示S1和S2；（2）求的最小值．‎ 答案：（1）S1＝R2(sinθ＋cosθ－2sinθcosθ)；‎ ‎ S2＝R2sin2θ．‎ ‎（2） －1．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1）主要问题归类与方法：‎ ‎1．几何图形中的数学建模问题.‎ ‎2．求三角函数的最值问题.‎ ‎（2）方法选择与优化建议：‎ ‎1．表示两个三角形的面积关键在于三角形的底和高与q 的关系，要注意到图中三角形的形状.‎ ‎2．这里的函数表达形式中同时出现了sinx＋cosx与sinxcosx，应注意选择换元法，同时注意t的取值范围.‎ 本题也可不换元直接利用导数知识求最值.‎ 四、反馈练习 ‎1.函数y＝|sinx|，(x∈[p，2p])的单调递增区间是 .‎ 答案：[p，]；(考查三角函数的图像和性质).‎ ‎2.函数f(x)＝cosxcos(x－1)的最小正周期为 ．‎ ‎ 答案：2；(考查三角函数的周期性).‎ ‎3.函数y＝2sin(x－)(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为　　　　　.‎ ‎ 答案：2＋；(考查三角函数的最值).‎ ‎4.若函数f(x)＝sin(x＋θ)(0＜θ＜)的图象关于直线x＝对称，则θ＝ ．‎ ‎ 答案：；(考查三角函数的对称性)．‎ ‎5. 已知函数f(x)＝2sin (2x＋φ)(|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f(0)＝________.‎ 答案：－1； (考查三角函数的图象)．‎ ‎6. 若将函数f(x)＝sin的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，‎ 则φ的最小正值是________.‎ 答案：　； (考查三角函数图象变换，三角函数的奇偶性).‎ ‎7.若动直线x＝a(a∈R)与函数f(x)＝sin(x＋)，g(x)＝cos(x＋)的图象分别交于M，N两点，‎ 则|MN|的最大值为 ．‎ 答案：2；(考查两角和差的正余弦公式，三角函数的最值).‎ ‎8.将函数f(x)＝2sin(2x－)的图象向左平移m个单位(m＞0)，若所得的图象关于直线x＝对称，则m的最小值为 .‎ ‎ 答案：；(考查三角函数的图象与对称性).‎ ‎9.将函数f(x)＝2sin(ωx－)(w＞0)的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若g(x)在[0，]上为增函数，则w的最大值为 　　　‎ 答案：2；(考查三角函数的图象与单调性).‎ ‎10.若函数y＝cos2x＋sin2x＋a在[0，]上有两个不同的零点，则实数的取值范围为____________.‎ ‎ 答案：(－2，－1]；(考查两角和差的三角函数关系式，三角函数的零点).‎ ‎11. 设函数f(x)＝sin＋sin2x－cos2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程；‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间上的值域.‎ 答案：(1)周期为π；对称轴方程为x＝＋(k∈Z)，‎ ‎(2)值域是.‎ ‎ (考查三角变换，三角函数图象的平移，三角函数的值域)．‎ ‎12.已知函数f(x)＝acosx＋bsinx＋c的图象经过点(0，1)，(，1)，当x∈[0，]时，恒有| f(x)|≤2，‎ 求实数a的取值范围.‎ 答案：[－3(＋1)，＋1]；‎ ‎(考查待定系数法求函数关系式，三角不等式恒成立问题).‎ ‎13.已知向量m＝(cos2x，a)，n＝(a，2＋sin2x)，a∈R，且a≠0，函数f(x)＝m·n－5. ‎ ‎（1）当函数f(x)在[0，]上的最大值为3时，求a的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若对任意的t∈R，函数y＝f(x)，x∈(t，t＋b]的图象与直线y＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定b的值，并求函数y＝f(x)在(0，b]上的单调递减区间.‎ ‎ 答案：（1）a＝2；（2）[，]；‎ ‎(考查平面向量的数量积，三角函数的值域问题，三角函数的单调性，数形结合的思想方法).‎ ‎14.已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－(ω＞0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为.‎ ‎（1）求f(x)的表达式；‎ ‎（2）将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间[0，]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．‎ 答案：(1) f(x)＝sin；‎ ‎(2)－

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