高考文科数学专题复习练习1平面向量的概念及线性运算
第五章平面向量
5.1平面向量的概念及线性运算
65
平面向量的线性运算及几何意义
15.(2015甘肃张掖一模,文15,平面向量的线性运算及集合意义,填空题)设a0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a=|a|·a0;②若a0与a平行,则a=|a|·a0;③若a0与a平行且|a|=1,则a=a0.上述命题中,假命题个数是 .
解析:对于①,向量是既有大小又有方向的量,a=|a|·a0的模相同,但方向不一定相同,所以①是假命题;
对于②,若a0与a平行时,a0与a方向有两种情况,一是同向,二是反向,反向时a=-|a|·a0,所以②是假命题;
对于③,若a0与a平行且|a|=1时,a0与a方向有两种情况,一是同向,二是反向,反向时a=-a0,所以③是假命题.
综上,上述命题中,假命题的个数是3.
答案:3
66
向量共线定理及应用
5.(2015江西上饶二模,文5,向量共线定理及应用,选择题)已知直线2x+y-c=0与圆x2+y2=R2交于A,B两点,则与OA+OB(O为坐标原点)共线的向量是( )
A.(2,-1) B.(-2,-4)
C.(4,2) D.(-1,2)
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),
则OA+OB=(x1+x2,y1+y2).
由直线方程得y=-2x+c,代入圆的方程得5x2-4xc+c2-R2=0,
则x1,x2为方程两根,x1+x2=4c5,
代入y=-2x+c得y1+y2=-8c5+2c=25c.
则OA+OB=4c5,2c5.
设所求向量为(x,y),则4cy5=2cx5,所以2y=x.
答案:C
5.2平面向量基本定理及坐标表示
67
平面向量基本定理的应用
1.(2015吉林省实验中学二模,文7,平面向量基本定理的应用,选择题)已知向量e1,e2是两个不共线的向量,若a=2e1-e2与b=e1+λe2共线,则λ=( )
A.2 B.-2
C.-12 D.12
解析:∵a=2e1-e2与b=e1+λe2共线,∴ka=b,k≠0.
∴k(2e1-e2)=e1+λe2.
∵向量e1,e2是两个不共线的向量,
∴2k=1,-k=λ,解得λ=-12.
答案:C
15.(2015江西鹰潭一模,文15,平面向量基本定理的应用,填空题)在△ABC中,|AB|=3,|AC|=4,|BC|=5,O为△ABC的内心,且AO=λAB+μBC,则λ+μ= .
解析:∵在△ABC中,|AB|=3,|AC|=4,|BC|=5,
由题意得三角形的内切圆的半径为r=12×(3+4-5)=1,
AO=13AB+14AC=13AB+14(AB+BC)
=712AB+14BC.
∴λ=712,μ=14.
∴λ+μ=56.
答案:56
12.(2015江西上饶重点中学二模,文12,平面向量基本定理的应用,选择题)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-4,0),B(0,4),C(1,0),动点D满足|CD|=1,则|OA+OB+OD|的最大值为( )
A.29 B.42 C.6 D.5
解析:由题意可得,点D在以C(1,0)为圆心的单位圆上,设点D的坐标为(1+cos θ,sin θ),
则|OA+OB+OD|
=16+16+(1+cosθ)2+sin2θ
=34+2cosθ≤6,
所以|OA+OB+OD|的最大值是6.
答案:C
68
平面向量的坐标运算
6.(2015黑龙江大庆一模,文6,平面向量的坐标运算,选择题)已知两个非零向量a与b,定义|a×b|=|a||b|sin θ,其中θ为a与b的夹角.若a=(-3,4),b=(0,2),则|a×b|的值为( )
A.-8 B.-6 C.6 D.8
解析:由a=(-3,4),b=(0,2),
所以|a|=(-3)2+42=5,|b|=02+22=2,
cos θ=a·b|a||b|=-3×0+4×25×2=45,
因为θ∈[0,π],
所以sin θ=1-cos2θ=1-452=35,
所以|a×b|=|a||b|sin θ=5×2×35=6.
答案:C
13.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文13,平面向量的坐标运算,填空题)设a与b的夹角为θ,a=(3,3),2b-a=(-1,1),则cos θ= .
解析:设b=(x,y),
故2b-a=(2x-3,2y-3)=(-1,1),解得x=1,y=2,
即b=(1,2),则a·b=(3,3)·(1,2)=9,|a|=32,|b|=5,
故cos θ=a·b|a|·|b|=31010.
答案:31010
13.(2015甘肃兰州二诊,文13,平面向量坐标的运算,填空题)已知向量a=(x2-1,2+x),b=(x,1),若a∥b,则x= .
解析:∵a=(x2-1,2+x),b=(x,1),由a∥b,
得(x2-1)-x·(2+x)=0解得x=-12.
答案:-12
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平面向量共线的坐标表示
13.(2015江西吉安一模,文13,平面向量共线的坐标表示,填空题)若向量a=(2cos α,-1),b=(3,tan α),且a∥b,则sin α= .
解析:∵向量a=(2cos α,-1),b=(3,tan α),且a∥b,
∴2cos α·tan α-(-1)·3=0.
∴2cos α·sinαcosα=-3.
∴sin α=-32.
答案:-32
13.(2015山西四校联考三模,文13,平面向量共线的坐标表示,填空题)已知向量a=(1,x),b=(x-1,2),若a∥b,则x= .
解析:因为a∥b,所以1×2=x(x-1),解得x=2或-1.
答案:2或-1
3.(2015山西太原五中二模,文3,平面向量共线的坐标表示,选择题)已知向量a=(cos α,-2),b=(sin α,1),且a∥b,则tanα-π4等于( )
A.3 B.-3 C.13 D.-13
解析:∵a∥b,∴cos α+2sin α=0.
∴tan α=-12.
∴tanα-π4=tanα-11+tanα=-3.
答案:B
5.3平面向量的数量积的运算
70
平面向量数量积的运算
1.(2015吉林实验中学二模,文8,平面向量数量积的运算,选择题)在△ABC中,点D是BC中点,若∠A=60°,AB·AC=12,则|AD|的最小值是( )
A.32 B.22 C.34 D.32
解析:如图所示,
∵∠A=60°,AB·AC=12,
∴|AB|·|AC|cos 60°=12.
∴cb=1.
在△ABC中,点D是BC中点,
∴2AD=AB+AC,
∴4AD2=AB2+AC2+2AB·AC=c2+b2+1≥2bc+1=3,
当且仅当b=c=1时取等号.
∴|AD|≥32.∴|AD|的最小值是32.
答案:A
2.(2015吉林实验中学二模,文13,平面向量数量积的运算,填空题)已知m∈R,向量a=(m,1),b=(2,-6),且a⊥b,则|a-b|= .
解析:∵向量a=(m,1),b=(2,-6),且a⊥b,
∴2m-6=0,解得m=3,
∴a-b=(3,1)-(2,-6)=(1,7),
∴|a-b|=12+72=52.
答案:52
3.(2015山西太原一模,文13,平面向量数量积的运算,填空题)已知e1,e2是夹角为45°的两个单位向量,则|2e1-e2|= .
解析:∵两个单位向量e1,e2的夹角为45°,
∴|2e1-e2|2=(2e1-e2)·(2e1-e2)
=2e12+e22-22e1·e2
=2+1-22×cos 45°=1.
答案:1
4.(2015广西玉林、贵港4月模拟,文14,平面向量数量积的运算,填空题)设向量a,b满足|a|=1,|a-b|=3,a·(a-b)=0,则|2a+b|= .
解析:由a·(a-b)=0,可得a·b=a2=1,
由|a-b|=3,可得(a-b)2=3,即a2-2a·b+b2=3,解得b2=4,
故(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=12,故|2a+b|=23.
答案:23
5.(2015广西桂林、防城港联合调研,文13,平面向量数量积的运算,填空题)已知非零向量a,b的夹角为60°,且|a|=|a-b|=2,则|b|= .
解析:由已知非零向量a,b的夹角为60°,
且|a|=|a-b|=2,
所以|a|2=|a-b|2=4,
整理得|a|=2,|a|2-2|a||b|cos 60°+|b|2=4,所以|b|=2.
答案:2
6.(2015广西柳州一模,文8,平面向量数量积的运算,选择题)已知a与b是两个互相垂直的单位向量,若c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值为( )
A.2 B.2 C.3 D.3
解析:如图,设OA=a,OB=b,OC=c.
∵(a-c)·(b-c)=0,∴a-c⊥b-c.
∴AC⊥BC.
∴点C在以AB为直径的圆上.
∴OC为该圆直径时|OC|最大,即|c|最大.
∴|c|最大为2.
答案:B
7.(2015广西柳州一中一模,文3,平面向量数量积的运算,选择题)设a=12,cosθ与b=(-1,2cos θ)垂直,则cos 2θ的值等于( )
A.-22 B.-12 C.0 D.-1
解析:∵a=12,cosθ与b=(-1,2cos θ)垂直,
∴2cos2θ-12=0.
∴1+cos 2θ-12=0.
∴cos 2θ=-12.
答案:B
8.(2015甘肃张掖4月模拟,文14,平面向量数量积的运算,填空题)在△ABC中,|AB|=2,|AC|=3,AB·BC=1,则|BC|= .
解析:如图,AB·BC=AB·(AC-AB)
=AB·AC-AB2=AB·AC-4=1.
∴AB·AC=6cos∠BAC=5.
∴cos∠BAC=56.
∴在△ABC中由余弦定理得
|BC|2=|AB|2+|AC|2-2|AB||AC|cos∠BAC=4+9-12×56=3.
∴|BC|=3.
答案:3
3.(2015山西太原二模,文3,平面向量数量积的运算,选择题)已知a=(1,-2),b=(x,2),且a∥b,则|b|=( )
A.25 B.5 C.10 D.5
解析:因为a=(1,-2),b=(x,2),且a∥b,
所以-2x+2=0,解得x=1.
所以b=(1,2),则|b|=12+22=5.
答案:B
13.(2015江西九江一模,文13,平面向量数量积的运算,填空题)已知a=(1,0),b=(2,3),则(2a-b)·(a+b)= .
解析:∵a=(1,0),b=(2,3),
∴2a-b=(0,-3),a+b=(3,3).
∴(2a-b)·(a+b)=-9.
答案:-9
3.(2015黑龙江绥化重点中学二模,文3,平面向量数量积的运算,选择题)已知|a|=1,|b|=2,且a⊥b,则|a+b|为( )
A.2 B.3 C.2 D.22
解析:∵a⊥b,∴a·b=0.
∴|a+b|=(a+b)2=3.
答案:B
13.(2015江西红色六校一模,文13,平面向量数量积的运算,填空题)已知向量a=(sin α,cos 2α),b=(1-2sin α,-1),α∈π2,3π2,若a·b=-85,则tan α的值为 .
解析:∵向量a=(sin α,cos 2α),b=(1-2sin α,-1),α∈π2,3π2,
若a·b=-85,
则a·b=-85=sin α-2sin2α-cos 2α=sin α-1,
解得sin α=-35,sin α∈(-1,1).
∴tan α=34.
答案:34
4.(2015江西六校联考二模,文4,平面向量数量积的运算,选择题)在△ABC中,已知|AB|=4,|AC|=1,S△ABC=3,则AB·AC的值为( )
A.-2 B.2 C.±4 D.±2
解析:∵S△ABC=3=12|AB||AC|sin A,
∴sin A=32.∴cos A=±12.
∴AB·AC=|AB|×|AC|×cos A=4×1×±12=±2.
答案:D
14.(2015江西六校联考二模,文14,平面向量数量积的运算,填空题)已知向量AB与AC的夹角为60°,|AB|=3,|AC|=2,若AP=λAB+AC,且AP⊥BC,则实数λ的值为 .
解析:∵向量AB与AC的夹角为60°,|AB|=3,|AC|=2,
∴AB·AC=|AB||AC|cos 60°=3×2×12=3.
∵AP⊥BC,∴AP·BC=0.
∵AP=λAB+AC,
∴AP·BC=(λAB+AC)·BC=0.
又BC=AC-AB,
∴(λAB+AC)·(AC-AB)=λAB·AC-λAB2+AC2-AC·AB=(λ-1)AB·AC-λAB2+AC2=0,
∴3(λ-1)-9λ+4=0,解得λ=16.
答案:16
14.(2015江西景德镇二模,文14,平面向量数量积的运算,填空题)已知a=(3,4),b=(-1,2m),c=(m,-4),满足c⊥(a+b),则m= .
解析:∵a=(3,4),b=(-1,2m),c=(m,-4),
∴a+b=(2,2m+4).
又∵c⊥(a+b),
∴2m+(-4)×(2m+4)=0,解得m=-83.
答案:-83
11.(2015贵州贵阳二模,文11,平面向量数量积的运算,选择题)A,B是半径为2的圆O上的两点,M是弦AB上的动点,若△AOB为直角三角形,则OM·AM的最小值为( )
A.-1 B.-12 C.0 D.2
解析:如图,根据条件知OA⊥OB,∠OAB=45°,
∴OM·AM=(OA+AM)·AM=OA·AM+AM2
=2|AM|+|AM|2,
∴|AM|=0时,OM·AM取最小值0.
答案:C
13.(2015江西上饶三模,文13,平面向量数量积的运算,填空题)若非零向量(a-b)·(a+b)=0,|a+b|=3|a|,则a,b的夹角为 .
解析:非零向量(a-b)·(a+b)=0,|a+b|=3|a|,
所以|a|=|b|.
所以a2+2a·b+b2=3a2,2|a||b|cos
=|a|2.
所以cos=12.所以a,b的夹角为π3.
答案:π3
13.(2015贵州贵阳一模,文13,平面向量数量积的运算,填空题)已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|b|=32,则|2a-b|= .
解析:根据题意,得:
|2a-b|=(2a-b)2=4a2-4a·b+b2
=4×12-4×1×32×cos45°+(32)2
=10.
答案:10
6.(2015江西重点中学协作体一模,文6,平面向量数量积的运算,选择题)在等腰△ABC中,BC=4,AB=AC,则BA·BC=( )
A.-4 B.4 C.-8 D.8
解析:在等腰△ABC中,BC=4,AB=AC,
则BA·BC=|BA|·|BC|cos B=12 |BC|2=8.
答案:D
9.(2015江西红色六校二模,文9,平面向量数量积的运算,选择题)在△ABC中,AB=4,∠ABC=30°,D是边BC上的一点,且AD·AB=AD·AC,则AD·AB的值为( )
A.0 B.4 C.8 D.-4
解析:因为AD·AB=AD·AC,所以AD·(AB-AC)=0,即AD·CB=0.
所以AD⊥BC.
又∠ABC=30°,
所以∠BAD=60°,AD=ABcos∠BAD=2.
所以AD·AB=2×4×cos 60°=4.
答案:B
4.(2015广西防城港、桂林一模,文4,平面向量数量积的运算,选择题)已知向量a=(1,3),向量b满足a·b=5,且|a+b|=35,则|b|=( )
A.5 B.10 C.5 D.15
解析:向量a=(1,3),|a|=10,向量b满足a·b=5,且|a+b|=35,
∴a2+2a·b+b2=45,即10+10+b2=45.
则|b|=5.
答案:C
14.(2015江西宜春高安四校一模,文14,平面向量数量积的运算,填空题)已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=2,则|c|的取值范围是 .
解析:由a,b是单位向量,a·b=0.
设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y).
因为向量c满足|c-a-b|=2可得(x-1)2+(y-1)2=4,其圆心C(1,1),半径r=2.
因为|OC|-r≤|c|=x2+y2≤|OC|+r,
所以|OC|=2.
所以2-2≤|c|=x2+y2≤2+2.
所以|c|的取值范围是[2-2,2+2].
答案:[2-2,2+2]
14.(2015甘肃兰州一中模拟,文14,平面向量数量积的运算,填空题)在△ABC中,∠A=90°,AB=1,BC=5,点M,N满足AM=λAB,AN=(1-λ)AC,λ∈R,若BN·CM=-2,则λ= .
解析:由题意可得AB·AC=0,
∵AM=λAB,AN=(1-λ)AC,λ∈R,
由于BN·CM=(AN-AB)·(AM-AC)
=[(1-λ)AC-AB]·[λAB-AC]
=λ(1-λ)AB·AC-(1-λ)|AC|2-λ|AB|2+AB·AC=-4(1-λ)-λ=-2,解得λ=23.
答案:23
4.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文4,平面向量数量积的运算,选择题)已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=10,则|b|=( )
A.32 B.22 C.2 D.1
解析:因为a,b的夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=10,
所以4a2-4a·b+b2=10,即|b|2-22|b|-6=0,
解得|b|=32或|b|=-2(舍).
答案:A
15.(2015吉林长春实验中学三模,文15,平面向量数量积的运算,填空题)已知向量AB与AC的夹角为120°,且|AB|=2,|AC|=3,若AP=λAB+AC,且AP⊥BC,则实数λ的值为 .
解析:∵向量AB与AC的夹角为120°,且|AB|=2,|AC|=3,
∴AB·AC=|AB|·|AC|cos 120°=2×3×-12=-3,
∵AP=λAB+AC,且AP⊥BC,
∴AP·BC=(λAB+AC)·BC=(λAB+AC)·(AC-AB)=0,
即λAB·AC-AB·AC+|AC|2-λ|AB|2=0,
∴-3λ+9+3-4λ=0,解得λ=127.
答案:127
11.(2015甘肃河西五地二模,文11,平面向量数量积的运算,选择题)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcos C=3acos B-ccos B,BA·BC=2,则△ABC的面积为( )
A.2 B.32 C.22 D.42
解析:在△ABC中,∵bcos C=3acos B-ccos B,
利用正弦定理可得sin Bcos C=3sin Acos B-sin Ccos B,
即sin(B+C)=3sin Acos B,
即sin A=3sin Acos B,求得cos B=13.
再根据BA·BC=ac·cos B=ac3=2,可得ac=6,
∴△ABC的面积为12ac·sin B=12×6×223=22.
答案:C
3.(2015甘肃兰州一模,文3,平面向量数量积的运算,选择题)已知向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|a-b|=( )
A.0 B.1 C.2 D.5
解析:∵向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,
∴|a-b|=a2+b2-2a·b=1+22-0=5.
答案:D
16.(2015甘肃兰州一模,文16,平面向量数量积的运算,填空题)若函数f(x)=2sinπ8x+π4(-2=0,
解得cos=-12.所以a,b夹角为2π3.
答案:C
10.(2015江西上饶一模,文10,平面向量数量积的应用,选择题)已知向量a=(-4,3),点A(-1,1)和B(0,-1)在a上的射影分别为A1和B1,若A1B1=λa,则λ的值是( )
A.25 B.-25 C.2 D.-2
解析:因为点A(-1,1)和B(0,-1)在a上的射影分别为A1和B1,
所以AB=(1,-2),|A1B1|=AB·a|a|=2,
又A1B1与向量a方向相反,由A1B1=λa得λ=-25.
答案:B
14.(2015江西上饶一模,文14,平面向量数量积的运算,填空题)如图,在圆O中,O为圆心,AB为圆的一条弦,AB=4,则AO·AB= .
解析:如图,过O作OD⊥AB于D,根据垂径定理得D是AB的中点,
∴AB=2AD,得AO·AB=2AO·AD
=2|AO|·|AD|cos∠A.
∵Rt△ADO中,cos A=|AD||AO|,
∴AO·AD=|AD|2=4,可得AO·AB=2AO·AD=8.
答案:8
13.(2015山西太原山大附中高三月考,文13,平面向量数量积的应用,填空题)已知向量a=(4,3),b=(-2,1),如果向量a+λb与b垂直,则|2a-λb|的值为 .
解析:∵向量a=(4,3),b=(-2,1),
∴a+λb=(4-2λ,3+λ).
∵向量a+λb与b垂直,
∴-2(4-2λ)+1×(3+λ)=0,解得λ=1.
∴2a-λb=(8,6)-(-2,1)=(10,5),
则|2a-λb|=100+25=55.
答案:55
15.(2015甘肃兰州一中三模,文15,平面向量数量积的应用,填空题)设a=(4,3),a在b上的投影为22,b在x轴上的投影为1,则b= .
解析:由题意可知b的终点在直线x=1上,可设b=(1,y),
则a·b|b|=22,4+3y12+y2=22,
17y2+48y+31=0,∴y=-1或y=-3117.
∴b=(1,-1)或1,-3117.
答案:(1,-1)或1,-3117
13.(2015黑龙江哈尔滨九中三模,文13,平面向量数量积的应用,填空题)若向量a,b是两个互相垂直的单位向量,则向量a-3b在向量b方向上的投影为 .
解析:∵向量a,b是两个互相垂直的单位向量,
∴a·b=0.
∴|a-3b|
=(a-3b)2
=1+3-0=2.
如图所示:设OA=a,OC=3b,CA=a-3b,
显然,向量a-3b和向量b的夹角为150°,
故a-3b在向量b方向上的投影为2·cos 150°=-3.
答案:-3
16.(2015黑龙江哈尔滨三中四模,文16,平面向量数量积的应用,填空题)向量AB=(1,1),CD=(1-x,x+3),f(x)=AB·CD,函数f(x)的最大值为 .
解析:f(x)=AB·CD=1-x+x+3=y(-3≤x≤1),
∴y2=4+-(x+1)2+4≤4+2=6,当x=-1时取等号.
∴-6≤y≤6,∴函数f(x)的最大值为6.
答案:6
14.(2015山西太原外国语学校4月模拟,文14,平面向量数量积的应用,填空题)若非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|b|,则a+b与a-b的夹角是 .
解析:如图所示,|a+b|=|a-b|,得到平行四边形对角线相等,即四边形ABCD为矩形,
∵|a+b|=|a-b|=2|b|,得到对角线是矩形一边长的2倍,
则|a+b|与|a-b|的夹角是60°.
答案:60°
15.(2015黑龙江绥化一模,文15,平面向量数量积的应用,填空题)已知向量AB与AC的夹角为120°,且|AB|=3,|AC|=2.若AP=λAB+AC,且AP⊥BC,则实数λ= .
解析:由题意可知:BC=AC-AB,
因为AP⊥BC,所以AP·BC=0.
所以AP·BC=(λAB+AC)(AC-AB)
=λAB·AC-λAB2+AC2-AC·AB
=λ×3×2×-12-λ×32+22-2×3×-12
=-12λ+7=0,解得λ=712.
答案:712
16.(2015甘肃张掖二模,文16,平面向量数量积的应用,填空题)在边长为2的等边三角形ABC中,D是AB的中点,E为线段AC上一动点,则EB·ED的取值范围为 .
解析:由题意可得AE和AB的夹角为60°,
设|AE|=x,x∈[0,2],
∵EB·ED=(AB-AE)·(AD-AE)
=AB·AD-AB·AE-AD·AE+AE2
=2×1-2xcos 60°-xcos 60°+x2
=x2-32x+2=x-342+2316,
故当x=34时,EB·ED取得最小值为2316,
当x=2时,EB·ED取得最大值为3,
故EB·ED的取值范围为2316,3.
5.4平面向量的应用
73
平面向量在几何中的应用
16.(2015江西赣州兴国一模,文16,平面向量在几何中的应用,填空题)如图,在△OAB中,点P是线段OB及线段AB延长线所围成的阴影区域(含边界)的任意一点,且OP=xOA+yOB,则在直角坐标平面内,实数对(x,y)所表示的区域在直线y=4的下侧部分的面积是 .
解析:一般问题特殊化,考虑△OAB为特殊三角形,OA=OB=1,OA⊥OB,以OA所在的直线为x轴,以OB所在的直线为y轴建立直角坐标系,
则有OA=(1,0),OB=(0,1),直线AB的方程为:x+y=1.
OP=xOA+yOB=(x,0)+(0,y)=(x,y).
实数对(x,y)所表示的区域在直线y=4的下侧部分为直角边为3的等腰直角三角形面积S=12×3×3=92.
答案:92
8.(2015山西太原五中二模,文8,平面向量在几何中的应用,选择题)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则OA+OB+OC+OD等于( )
A.OM B.2OM C.3OM D.4OM
解析:∵O为任意一点,不妨把A点看成O点,
则OA+OB+OC+OD=0+AB+AC+AD,
∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点,
∴0+AB+AC+AD=2AC=4OM.
答案:D
75
平面向量在三角函数中的应用
1.(10分)(2015江西上饶重点中学一模,文17,平面向量在三角函数中的应用,解答题)已知向量a=(cos ωx,-1),b=(3sin ωx,1)(ω>0),函数f(x)=(a-b)·b+3图象的一条对称轴与其最近的一个对称中心的距离为π4.
(1)求f(x)的解析式;
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,b=3,S△ABC=32,且fC2+π6=3-12,求边c的值.
解:(1)向量a=(cos ωx,-1),b=(3sin ωx,1)(ω>0),
函数f(x)=(a-b)·b+3
=(cos ωx-3sin ωx,-2)·(3sin ωx,1)+3
=3sin2ωx+π3-12.
由于函数f(x)=(a-b)·b+3图象的一条对称轴与其最近的一个对称中心的距离为π4.
所以函数的最小正周期为π.
所以T=2π2ω=π,解得ω=1.
所以函数的解析式为f(x)=3sin2x+π3-12.
(2)由(1)得f(x)=3sin2x+π3-12,
所以fC2+π6=3-12,
整理得3sinC+2π3-12=3-12.
所以sinC+2π3=12.
由于0c.已知BA·BC=2,tan B=22,b=3.
(1)求a,c的值;
(2)求cos(B-C)的值.
解:(1)由tan B=22得:cos B=11+tan2B=13,
由BA·BC=2得accos B=2,
所以ac=6.
由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,
即a2+c2-23ac=9,
∵a>c,∴a=3,c=2.
(2)∵sin B=1-cos2B=223,
由正弦定理得sin C=csinBb=429,
∴cos C=79.
∴cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=2327.
8.(2015甘肃河西五地二模,文8,平面向量在三角函数中的应用,选择题)已知向量a=(3,1),b=(sin α,cos α),且a∥b,则tan 2α=( )
A.35 B.-35 C.34 D.-34
解析:∵a=(3,1),b=(sin α,cos α),且a∥b,
∴sin α=3cos α,即tan α=3.
∴tan 2α=2tanα1-tan2α=2×31-32=-34.
答案:D
76
平面向量在解析几何中的应用
11.(2015黑龙江绥化重点中学二模,文11,平面向量在解析几何中的应用,选择题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=3(x-1)与C交于A,B(A在x轴上方)两点,若AF=mFB,则m的值为( )
A.3 B.32 C.2 D.3
解析:如图,
联立y=3(x-1),y2=4x,解得x1=3,x2=13,
∵A在x轴上方,∴xA=3,xB=13.
则|AF|=xA+1=4,|BF|=xB+1=13+1=43,
由AF=mFB,得m=|AF||BF|=443=3.
答案:D
20.(2015江西南昌零模,文20,平面向量在解析几何中的应用,解答题)已知点P是圆x2+y2=4上的任意一点,点M,N依次为点P在x轴、y轴上的投影,若OQ=32OM+12ON,点Q的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点P作都有斜率的直线l1,l2,使得l1,l2与曲线C都只有一个公共点,试判断l1,l2是否垂直?并说明理由.
解:(1)设Q(x,y),P(x0,y0),
则OM=(x0,0),ON=(0,y0),
由OQ=32OM+12ON得x=32x0,y=12y0,∴x0=23x,y0=2y.
代入x02+y02=4,得23x2+(2y)2=4,即x23+y2=1,
∴曲线C的方程为x23+y2=1.
(2)设点P为(x0,y0),则x02+y02=4,
已知直线l1,l2都有斜率,设经过点P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y=k(x-x0)+y0,
由y=kx+(y0-kx0),x23+y2=1,消去y得(1+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3(y0-kx0)2-3=0,
由Δ=0化简整理得(3-x02)k2+2x0y0k+1-y02=0.
把x02+y02=4代入上式得(3-x02)k2+2x0y0k+(x02-3)=0.
设l1,l2的斜率分别为k1,k2,
已知l1,l2与曲线C都只有一个公共点,则k1,k2是关于k的方程(3-x02)k2+2x0y0k+(x02-3)=0的两个实根.
故k1·k2=-1,即l1⊥l2.
