2018-2019学年新疆乌鲁木齐八一中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年新疆乌鲁木齐八一中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年新疆乌鲁木齐八一中学高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知数列満足: ,，则=( )‎ A．0 B．1 C．2 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，可得，以此类推，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，，所以，‎ 以此类推可得，，，.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查数列的递推公式，由题意逐步计算即可，属于基础题型.‎ ‎2．一个三角形的三个内角的度数成等差数列，则的度数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】结合等差数列的等差中项的性质，以及三角形内角和，即可求出角.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，又，则，解得，故选.‎ ‎【点睛】‎ 主要考查了等差中项的性质，以及三角形内角和，属于基础题.‎ ‎3．设正项等比数列的前项和为，若，，则公比（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】将，进行转化，然后将得到的式子进行化简，求得值.‎ ‎【详解】‎ 因为，，所以，两个方程左右两边分别相除，得，又所以.‎ 故选A项.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的简单性质，属于基础题.‎ ‎4．在中，已知，，，则的度数为（ )‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】A ‎【解析】由题，利用正弦定理可直接求得答案.‎ ‎【详解】‎ 由题，因为中，已知，，，‎ 由正弦定理可得 ‎ 又因为在三角形中，，所以 ‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题考察了正弦定理得应用，熟悉公式是解题的关键，属于基础题.‎ ‎5．已知数列满足, ,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】列举出数列的前项，找到数列的周期，由此求得表达式的结果.‎ ‎【详解】‎ 依题意，，，所以，所以数列是周期为的数列，且每项的积为，故 ，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查数列的周期性，考查合情推理，属于基础题.‎ ‎6．在数列中，，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】把通项公式进行配方，求出最大值，要注意.‎ ‎【详解】‎ ‎，当或时，最大，‎ 所以，故本题选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列的最大项问题.‎ ‎7．在等差数列中，已知与的等差中项是，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题得的方程组求解即可，得的通项公式，则可求 ‎【详解】‎ 由题得,解得, 则 故答案为:A ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式，熟记公式，准确计算是关键，是基础题 ‎8．已知数列的前项和满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】已知递推公式再递推一步，得到两个递推公式，相减，对这个式子分类讨论，求出需要的项，然后求值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 当时，（2），‎ ‎（1）-（2）得; ,‎ 当为偶数时，，当时，，‎ 当为奇数时，，时， ‎ ‎。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列的递推公式,重点考查了分类讨论思想。‎ ‎9．已知的三个内角依次成等差数列，边上的中线，,则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据三个内角，，依次成等差数列求得角的大小，利用余弦定理求得，进而求得的值，由此求得三角形的面积.‎ ‎【详解】‎ 由于的三个内角，，依次成等差数列，即,由于,故.设在三角形中，由余弦定理得，解得 故，所以三角形的面积为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查等差中项的性质，考查三角形内角和定理，属于基础题.‎ ‎10．等比数列中，，，则数列前3项和（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用等比数列通项公式求出公比为-4，由此利用等比数列前n项和公式，即可求出前3项和，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，等比数列{an}中，，∴，解得，‎ ‎∴数列{an}前3项和．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎11．在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（ ）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】根据正弦定理化角，再根据角的关系确定三角形形状.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以 或，选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎12．若为等差数列，是其前项和，且，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由,即可求出 进而求出答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵ ，∴，，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质以及等差数列前项和性质即可，属于基础题型.‎ 二、填空题 ‎13．已知等差数列的前项和为，若，则_______.‎ ‎【答案】63‎ ‎【解析】由等差数列的前项和公式可得，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的前项和，以及等差数列的性质，熟记公式即可，属于基础题型.‎ ‎14．在中，三内角对应的边分别为,且,.则 ‎_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】把题设中的边角关系化为，利用正弦定理和两角和的正弦公式可得，从该方程中可得.‎ ‎【详解】‎ 因为，故，‎ 由正弦定理可以得到，‎ 故，因，所以，‎ 故，因，故，填.‎ ‎【点睛】‎ 在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.‎ ‎15．中，，，，为边上的中点，则与的外接圆的面积之比为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据正弦定理求三角形外接圆直径，即可得外接圆的面积之比.‎ ‎【详解】‎ 因为，，，所以△为直角三角形，因此,从而△与 △的外接圆的直径分别为，因此面积之比为 ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理，考查基本转化与求解能力，属基础题.‎ ‎16．已知数列为等差数列，为数列的前项和，若，，则的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据等差数列的通项公式列不等式组，将表示为的线性和的形式，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 依题意，设，‎ 由解得 ‎ ，两式相加得，即的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查等差数列的通项公式，考查等差数列前项和公式，考查取值范围的求法，属于中档题.‎ ‎17．记为数列的前项和，若，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对和分类讨论，结合，，计算得出数列是等比数列，并写出通项公式，得到，即可得出.‎ ‎【详解】‎ 当时，‎ 当时 所以数列是首项为，公比为2的等比数列 则 即 故 ‎【点睛】‎ 形如，常用构造等比数列：‎ 对变形得（其中），则是公比为的等比数列，利用它可求出。‎ ‎18．已知的内角所对的边分别为，，，点为内的一点，且，，，则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题，易知在中，，利用正弦定理求得，再在 中，利用余弦定理求得，可得，即可求得.‎ ‎【详解】‎ 由题可知在中，，，，‎ 所以，由正弦定理，得.‎ 又在中，，，‎ 由余弦定理，得，‎ 即，解得，‎ 又因为，‎ 所以，所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用正余弦定理解三角形，合理运用正余弦定理是解题的关键，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎19．各项均为正数的等比数列满足，.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设，数列的前 项和为，证明：.‎ ‎【答案】(1) (2)见证明 ‎【解析】（1）列方程解出公比与首项，再代入等比数列通项公式得结果，（2）先化简，再利用裂项相消法求和，即证得结果.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设等比数列的公比为，‎ 由得，‎ 解得或. ‎ 因为数列为正项数列，所以， ‎ 所以，首项， ‎ 故其通项公式为.‎ ‎（2）由（Ⅰ）得 所以， ‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎20．已知等差数列的前n项和为，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由题，等差数列的前n项和为，，，求得，可求得通项公式；‎ ‎（2）先利用求和公式，求得，即可求得最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题，因为等差数列，，所以 ‎ 又，所以 解得 ‎ 所以 ‎ ‎（2）由（1）可得：‎ 可得当n=25时，取最大值为625‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列，熟悉等差数列的通项和求和公式是解题的关键，熟记基础题.‎ ‎21．的内角的对边分别为，且．‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若，点D在边上，，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】（1）由正弦定理、三角函数恒等变换化简已知可得：，结合范围，可得，进而可求A的值．‎ ‎（2）在△ADC中，由正弦定理可得，可得，利用三角形内角和定理可求，即可求得，再利用三角形的面积公式即可计算得解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴由正弦定理可得：，‎ ‎∴可得：，可得：，‎ ‎∵，‎ ‎∴，可得：，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，可得：．‎ ‎（2）∵，点D在边上，，‎ ‎∴在中，由正弦定理，可得：，可得：，‎ ‎∴，可得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理、三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化能力，属于中档题．‎ ‎22．已知数列是等差数列，且满足：，.数列满足：.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据等差数列的定义构成方程组，即可求{an}的通项公式；‎ ‎（2）将代入中，利用分组求和法结合等差、等比数列的求和公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，，‎ ‎∴，∴解出，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的通项公式的求解，考查了等差、等比数列的求和公式的应用及分组求和法，考查计算能力．‎ ‎23．等比数列中，．‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)记为的前项和．若，求．‎ ‎【答案】(Ⅰ)或(Ⅱ)12‎ ‎【解析】(Ⅰ)根据等比数列的通项公式即可求出；(Ⅱ)根据等比数列的前项和公式，建立方程即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 解：(Ⅰ)设数列的公比为，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴或，‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知或，‎ ‎∴或(舍去)，‎ 解得．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的性质和通项公式以及前项和公式，考查学生的计算能力，注意要进行分类讨论．‎