四川省遂宁市第二中学2020届高三11月半期考试数学（理）试卷

四川省遂宁市第二中学2020届高三11月半期考试数学（理）试卷

数学（理科） （时间：120 分钟 满分：150 分） 第（Ⅰ）卷（选择题，共 60 分） 一．选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题只有一个正确选项. 1．已知 为虚数单位，复数 ，则 （ ） A． B．2 C． D． 2．已知集合 ， ，则 =（ ） A． B． C． D． 3．双曲线 的渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 4．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 .从中随机取一件．其长 度误差落在区间 内的概率为（ ） （附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ， A． B． C． D． 5．已知 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，且 ，则 D．若 ，且 ，则 6．△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，则“ ”是“ ”的 （ ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分与不必要条件 i 2 1 iz i = + | |z = 2 5 2 2 { | ( 1)( 2) 0}A x x x= + − < { || 1| 2}B x x= + < A B ( 3,1)− ( 3,2)− ( 1,1)− ( 1,2)− 2 2 2 2 1 ( 0, 0)x y a ba b − = > > 2y x= ± 5 5 2 5 5 5 2 5 2(1,2 )N (3,5) ξ 2( , )N µ σ ( ) 68.26%P µ σ ξ µ σ− < < + = ( 2 2 ) 95.44%)P µ σ ξ µ σ− < < + = 4.56% 13.59% 27.18% 31.74% m n α β γ / / ,m nα α⊂ / /m n ,α γ β γ⊥ ⊥ / /α β / / , / /m nα α ,m nβ β⊂ ⊂ / /α β ,m nα β⊥ ⊥ α β⊥ m n⊥ cos cosa A b B= A B= 7． 的展开式的常数项是（ ） A． B． C．2 D．4 8．要得到函数 的图象，可将函数 的图象（ ） A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位 C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位 9．对于任意 ，函数 满足 ，且当 时，函数 ，若 ， ， ，则 大小关系是（ ） A． B． C． D． 10．曲线 在 上存在单增区间，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 11．空间四面体 ABCD 中， AB=CD=3，AC=BD=4，AD=BC= ，则四面体 ABCD 的外接 球的表面积为（ ） A． B． C． D． 12．设函数 ，对任意的 ，存在 ，使 成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 第（Ⅱ）卷（选择题，共 60 分） 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡上． 13．已知 与 垂直，则 与 的夹角为 . 14．已知 ，则 = . 15．已知函数 ，若 ，且 ， 则 的取 2 4 2 1( 2)( 1)x x + − 4− 2− ( ) sin(2 )4f x x π= + ( ) cos2g x x= 4 π 8 π 4 π 8 π x ∈ R ( )f x (2 ) ( )f x f x− = 1x ( )f x lnx= 3 2(2 )a f −= 2 1(log )4b f= ( )c f e= , ,a b c c b a> > c a b> > b c a> > b a c> > 2( ) 2 xkf x x e= − (0,2) k ( , )e +∞ [ , )e +∞ 2 ( , )2 e +∞ 2 [ , )2 e +∞ 11 12π 14π 16π 18π 2 2( ) ln , ( )f x x x x g x x ax = − = + + 1 1[ ,2]4x ∈ 2 [2,4]x ∈ 1 2( ) ( ) 1f x g x− < a ( 3, 4ln2)− − 9( , 4ln 2)2 − − 9 7 1( , ln 2)2 4 8 − − + 7 1( 3, ln 2)4 8 − − + 2, 1,= = −a b a b b a b 1cos( ) , (0, )4 3 4 π πα α+ = ∈ cos 2α 2 2 1,( 0)( ) ln ,( 0) x x xf x x x  + +=  >  a b c d< < < ( ) ( ) ( ) ( )f a f b f c f d= = = ab cd+ 值范围为 . 16．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线交于 ， 两点， 为坐标 原点，若 ， ，过点 M，N 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 点 C，D，则 的最小值为 . 三．解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤. 第 17 题～第 21 题为必 考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17．（本题满分 12 分）已知等比数列 的前 项和为 ， ，且 是 和 的等差中项． （1）求数列 的通项公式； （2）当 时，令 ，求数列 的前 项和． 18.（本题满分 12 分）由中央电视台综合频道 和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是 中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和 生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨 论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随 机调查了 、 两个地区的 100 名观众，得到如下的 列联表，已知在被调查的 100 名 观众中随机抽取 1 名，该观众是 地区当中“非常满意”的观众的概率为 0.4． 非常满意 满意 合计 35 10 　　 　　 合计 　　 　　 　　 （1）现从 100 名观众中用分层抽样的方法抽取 20 名进行问卷调查，则应抽取“非常满意” 的 、 地区的人数各是多少． （2）完成上述表格，并根据表格判断是否有 的把握认为观众的满意程度与所在地区有 关系． ( 1)CCTV A B 2 2× B A B x y A B 95% 2 6y x= F F l A B O 1 4OM OB=  1= 4OA ON  CD { }na n nS 7 127S = 8a 216a 514a { }na 2 0a > 2 2logn n nb a a= + { }nb n 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附：参考公式： . （3）若以抽样调查的频率为概率，从 、 两个地区随机抽取 2 人，设抽到的观众“非常 满意”的人数为 ，求 的分布列和期望． 19.（本题满分 12 分）如图，四棱锥中 ，底面 为直角梯 形， ， ，平面 底面 ， ， . （1）求证：平面 与平面 不垂直； （2）若 ， ， ，求二面角 的余弦值. 20. （本小题满分 12 分） 已知动直线 垂直于 轴，与椭圆 交于 两点，点 在直线 上， . （1）求点 的轨迹 的方程； （2）直线 与椭圆 相交于 ，与曲线 相切于点 ， 为坐标原点，求 的取值范围. 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 (其中 , 是自然对数的底数) . (1)若对任意 ,都有 ,求 的取值范围; (2)设 ( )的最小值为 ,当 时,证明: . 2 0( )P K k> 0k A B X X 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d b d a c −= + + + + P ABCD− ABCD //AD BC 90ADC∠ = ° PAD ⊥ ABCD PA PD= 2AD BC= PBC PCD 2PA = 1BC = 3CD = A PB C− − l x 2 2 1 : 14 2 x yC + = ,A B P l 1PA PB⋅ = −  P 2C 1l 1C ,D E 2C M O DE OM⋅ ( ) e ( 1)xf x a x= + + a∈R e x∈R ( ) 0f x ≥ a 3 3( ) ln ( 1)g x x x m x= + - m∈R ( )mϕ 0m < 11 1 331 e e ( ) 03 mm mϕ+ − − − ≤ ≤   B C D A P （二）选考题：共 10 分.请考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，曲线 参数方程为 为参数)，将曲线 上所 有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标变为原来的 ，得到曲线 . （1）求曲线 的普通方程； （2）过点 且倾斜角为 的直线 与曲线 交于 两点，求 取得最小值时 的值. 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （1）当 时，解不等式 ； （2）若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围. xOy 1C 6cos (4sin x y θ θθ =  = 1C 1 3 1 2 2C 2C ( )1,1P α l 2C ,A B AB α 2( ) | 2 |, ( ) 3| | 1f x x g x x m= − = + + 0m = ( )+ ( ) 5f x g x ≤ a∈R ( ) 3 ( )g a f a≤ m 答案解析 （时间：120 分钟 满分：150 分） 一．选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题只有一个正确选项. 1．已知 为虚数单位，复数 ，则 　　 A． B．2 C． D． 答案：A 解析：因为 ，所以 . 2．已知集合 ， ，则 =（ ） A． B． C． D． 答案：C 解析：因为 ， ，所以 = 3．双曲线 的渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 答案：D 解析：由题可知 ，所以 4．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 .从中随机取一件．其长 度误差落在区间 内的概率为（ ） （附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ， A． B． C． D． 答案：B 解 析 ： 设 长 度 误 差 为 随 机 变 量 ， 由 得 ， i 2 1 iz i = + | | (z = ) 2 5 2 2 2 11 iz ii = = ++ 2 2| | 1 1 2z = + = { | ( 1)( 2) 0}A x x x= + − < { || 1| 2}B x x= + < A B ( 3,1)− ( 3,2)− ( 1,1)− ( 1,2)− { | 1 2}A x x= − < < { | 3 1}B x x= − < < A B ( 1,1)− 2 2 2 2 1 ( 0, 0)x y a ba b − = > > 2y x= ± 5 5 2 5 5 5 2 5 2b a = 2 2 2 2 2 2 1+( ) 5c c a b be a a a a += = = = = 2(1,2 )N (3,5) ξ 2( , )N µ σ ( ) 68.26%P µ σ ξ µ σ− < < + = ( 2 2 ) 95.44%)P µ σ ξ µ σ− < < + = 4.56% 13.59% 27.18% 31.74% ξ 2~ (1, 2 )Nξ ( 1 3) 68.26%P ξ− < < = ，所以 5．已知 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题正确的是 　　 A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，且 ，则 D．若 ，且 ，则 答案：D 解析：一条直线平行一个平面，不能得到该直线和平面内任意一条直线平行，所以 A 错； 垂直于同一平面 的两个平面可以相交，可以平行，所以 B 错；当 m 和 n 平行时，不能得到两平面平行，所 以 C 错；D 正确. 6．△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，则“ ”是“ ”的 （ ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分与不必要条件 答案：B 解 析 ： 因 为 ， 由 正 弦 定 理 可 得 ， 所 以 有 ，又因为 A、 B 为三角形内角，所以 或 ，即 或 ，所以“ ” 是“ ” 的必要不充分条件. 7． 的展开式的常数项是 　　 A． B． C．2 D．4 ( 3 5) 95.44%P ξ− < < = ( 3 5) ( 1 3) 95.44% 68.26%(3 5) 13.59%2 2 P PP ξ ξξ − < < − − < < −< < = = = m n α β γ ( ) / / ,m nα α⊂ / /m n ,α γ β γ⊥ ⊥ / /α β / / , / /m nα α ,m nβ β⊂ ⊂ / /α β ,m nα β⊥ ⊥ α β⊥ m n⊥ cos cosa A b B= A B= cos cosa A b B= sin cos sin cosA A B B= sin2 sin2A B= 2 2A B= 2 2A B π+ = A B= 2A B π+ = cos cosa A b B= A B= 2 4 2 1( 2)( 1)x x + − ( ) 4− 2− 答案：B 解析： 的通项为 ，r=3 得 ，r=4 得 ， 所以 展开式的常数项是 . 8．要得到函数 的图象，可将函数 的图象 　　 A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位 C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位 答案：D 解 析 ： ， ， 因 为 ，所以需要将 的图象向右平移 个单位. 9．对于任意 ，函数 满足 ，且当 时，函数 ，若 ， ， 则 ， ， 大小关系是 　　 A． B． C． D． 答案：C 解析：因为 满足 ，所以 的图象关于 x=1 对称.因为 时，函数 ，所以 在 单调递增，由对称性可得 在 单调递减，所以离 x=1 越近的点，纵坐标越大. ，因为 ，所以 . 10．曲线 在 上存在单增区间，则 的取值范围为 　　 A． B． C． D． 答案：A 4 2 1( 1)x − 2 8 1 4 ( 1)r r r rT C x − + = ⋅ − ⋅ 3 3 2 2 3 1 4 ( 1) 4T C x x− − + = ⋅ − ⋅ = − 4 4 0 4 1 4 ( 1) 1T C x+ = ⋅ − ⋅ = 2 4 2 1( 2)( 1)x x + − 2 2( 4 ) 2 1 2x x −⋅ − + × = − ( ) sin(2 )4f x x π= + ( ) cos2g x x= ( ) 4 π 8 π 4 π 8 π ( ) cos2 sin(2 ) sin[2( )]2 4g x x x x π π= = + = + ( ) sin[2( )]8f x x π= + ( ) ( )8 4 8x x π π π+ = + − ( )g x 8 π x R∈ ( )f x (2 ) ( )f x f x− = 1x ( )f x lnx= 3 2(2 )a f −= 2 1(log )4b f= ( )c f e= a b c ( ) c b a> > c a b> > b c a> > b a c> > ( )f x (2 ) ( )f x f x− = ( )f x 1x ( )f x lnx= ( )f x (1, )+∞ ( )f x ( ,1)−∞ 2 3 2 3 2 1 2 1,log 242 42 − = = =− 2 1 1 2 14 e− < − < − − b c a> > 2( ) 2 xkf x x e= − (0,2) k ( ) ( , )e +∞ [ , )e +∞ 2 ( , )2 e +∞ 2 [ , )2 e +∞ 解析：因为曲线 在 上存在单增区间，所以 在 上 有解，所以 在 上有解，所以 .令 ，则 ，所以 在 单调递减，在 单调递增，所以 ，所以 . 11．空间四面体 ABCD 中， AB=CD=3，AC=BD=4，AD=BC= ，则四面体 ABCD 的外接 球的表面积为（ ） A． B． C． D． 答案：D 解析：因为空间四面体 ABCD 中， AB=CD，AC=BD，AD=BC，于是可以将该四 面体放入长方体中，设长方体的长、宽、高分别为 x、y、z，则有： ，于是 ，由于该四面体的外接球和长方体外接球 为同一球，所以外接球的直径等于长方体的体对角线，所以 , 所以球的表面积 . 12．设函数 ，对任意的 ，存在 ，使 成立，则实数 的取值范围是 　　 A． B． C． D． 答案：B 解析：由 可得 ，因为对任意的 ，存在 ，都有 ， 所 以 . 当 时 ， . 2( ) 2 xkf x x e= − (0,2) '( ) 0xf x kx e− >= (0,2) x k e x > (0,2) min x k e x  >     ( ) x g x e x = 2 ('( ) 1)x g e x xx −= ( )g x (0,1) (1,2) min( ) (1)g g ex = = k e> 11 12π 14π 16π 18π 2 2 2 2 2 2 16 9 11 x y x z y z  + =  + =  + = 2 2 2 18x y z+ + = 2 2 22 3 2R x y z= + + = 24 18S Rπ π= = 2 2( ) ln , ( )f x x x x g x x ax = − = + + 1 1[ , 2]4x ∈ 2 [2,4]x ∈ 1 2( ) ( ) 1f x g x− < a ( ) ( 3, 4ln2)− − 9( , 4ln 2)2 − − 9 7 1( , ln 2)2 4 8 − − + 7 1( 3, ln 2)4 8 − − + 1 2( ) ( ) 1f x g x− < 2 1 2( ) 1 ( ) ( ) 1g x f x g x− < < + 1 1[ , 2]4x ∈ 2 [2,4]x ∈ 2 1 2( ) 1 ( ) ( ) 1g x f x g x− < < + max max min min ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 f x g x f x g x < +  > − [2,4]x∈ min max 9( ) 3 , ( ) 2g x a g x a= + = + z y x D B C A ， ， 在 单 调 递 减 ， ，所以 在 单调递减，由于 ，所以 在 单调递增， 单调递减， ， 因 为 ， ， 于是 ，所以 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知 与 垂直，则 与 的夹角为 . 答案： 解 析 ： 由 题 可 得 ， 所 以 ，所 以 与 的夹角为 . 14．已知 ，则 = . 答案： 解析：因为 ，所以 ，所以 = . 15．已知函数 ，若 ，且 ， 则 的范 围为 . 答案： 解析：作出 f(x)的图象可得 ， ， '( ) 1 lnf x x x x= − − ''( ) 2ln 3f x x= − − ''( )f x 1[ ,2]4 1 1''( ) ''( ) 2 ln 3 4 ln 2 3 04 4f x f≤ = − − = − < '( )f x 1[ ,2]4 '(1) 0f = ( )f x 1[ ,1)4 (1,2] max( ) (1) 1f x f= = 1 1 1( ) ln 2, (2) 2 4 ln 24 4 8f f= + = − 1 33 7 33ln 2 14( ) (2) ln 2 04 8 4 8f f −− = − = > min( ) 2 4ln 2f x = − 91 12 2 4ln 2 3 1 a a  < + +  − > + − 9( , 4 ln 2)2a ∈ − − 2, 1,= = −a b a b b a b 3 π 2 2( ) | || | cos , | | 2cos , 1 0a b b a b b a b a b b a b− ⋅ = ⋅ − = < > − = < > − =             1cos , 2a b< >=  a b 3 π 1cos( ) , (0, )4 3 4 π πα α+ = co s 2α 4 2 9 1cos( ) , (0, )4 3 4 π πα α+ = 2 2sin( )4 3 πα + = cos 2 cos[2( ) ] sin 2( )4 2 4 π π πα α α= + − = + 2 2 1 4 22 sin( ) cos( ) 24 4 3 3 9 π πα α+ + = × × = 2 2 1,( 0)( ) ln ,( 0) x x xf x x x  + +=  >  a b c d< < < ( ) ( ) ( ) ( )f a f b f c f d= = = a b c d+ [1,2) 2 1 0, 2a b a b− ≤ < − < ≤ + = − 1 1c d ee ≤ < < ≤ 所以 ，所以 ，即 ，所以 所以 ，因为 ，所以 范围 为 16．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线交于 ， 两点， 为坐标原 点，若 ， ，过点 M，N 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点 C，D，则 的最小值为 . 答案：6 解析：设直线 的方程为： ， ， ， ， ， 由 ，因为 ， ， 所以 ， ，即 ， ，令 ， 则 ，故 的最小值为 （当且仅当 时取等号）. 三．解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤. 第 17 题～第 21 题为必 考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17．【解析】（1）由 是 和 的等差中项，得 2 = + ，即 a1q7 = 8a1q + 7a1q4， 所以 q6－7q3－8 = 0，即 ，解得公比 或 ． ………2 分 当 时，由 ，所以 ； 当 时 ， 由 ， 所 以 ( ) | ln | ln , ( ) | ln | lnf c c c f d d d= = − = = ln lnc d− = ln + ln = ln 0c d c d = 1c d = 2 2( 2) 1 2 1 ( 1) 2ab cd b b b b b+ = − − ⋅ + = − − + = − + + 1 0b− < ≤ a b c d+ [1,2) 2 6y x= F F l A B O 1 4OM OB=  1= 4OA ON  CD l 3 2x ty= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )3 3,M x y ( )4 4,N x y 2 2 1 2 6 6 9 0 93 2 y x y ty y y x ty  = ⇒ − − = ⇒ = − = + 1 4OM OB=  1= 4OA ON  ( ) ( )3 3 2 2 1, ,4x y x y= ( ) ( )1 1 4 4 1, ,4x y x y= 3 2 1 4y y= 4 14y y= 1 0y > 3 4 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 14 4 2 4 2 64 4 4CD y y y y y y y y y y= + = + = − + ≥ − ⋅ = − = CD 6 1 2 3 , 124y y= = − 8a 216a 514a 8a 216a 514a 3 3( 8)( 1) 0q q− + = 2q = 1q = − 2q = 7 1 7 1 (1 ) 127 11 a qS aq −= = ⇒ =− 12n na −= 1q = − 7 1 7 1 (1 ) 127 1271 a qS aq −= = ⇒ =− ；……………6 分 （2）当 时，知 ， ， 所 以 数 列 的 前 项 和 为 ． …………………12 分 18. 【解析】（1）由题意，得： ，解得 ， 地抽取 人， 地抽取 人． ……………2 分 （2）完成表格如下： 非常满意 满意 合计 35 10 45 40 15 55 合计 75 25 100 ， ……………7 分 没有 的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系． （3）从 、B 两地区随机抽取 1 人，抽到的观众“非常满意”的概率为 ， 随机抽取 2 人， 的可能取值为 0，1，2， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 ． ……………12 分 A∴ B A B ∴ 95% A X X∴ X P 1127 ( 1)n na −= ⋅ − 2 0a > -12n na = 2 1 2log 4 1n n n nb a a n−= + = + − }{ nb n (1 4 ) ( 1) 4 1 ( 1) 1 4 2 3 2 n n n n n n nT − − − −= + = +− 0.4100 x = 40x = 2035 7100 × = 2040 8100 × = 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d b d a c −= + + + + 2100(35 15 40 10) 100 3.84175 25 55 45 297 × − ×= = <× × × 3 4 21 1(X 0) ( )4 16P = = = 1 2 3 1 3(X 1) ( )( )4 4 8P C= = = 23 9(X 2) ( )4 16P = = = 1 16 3 8 9 16 1 3 9 3(X) 0 1 216 8 16 2E = × + × + × = B C D A P19、【解析】 (1)证明如下：作 于点 ，假设平面 平面 ， 则 平面 ， ∴ 在直角梯形 中， ， ，∴ ， ∴ 平面 ，∴ ∵ 平面 底面 ，平面 底面 ∴ 平面 ， ∴ 在 中，不可能有两个直角，所以假设不成立. ……………….5 分 （2）作 于点 ，∵ ，∴ 为 中点，连接 . ∵ 平面 底面 ∴ 底面 在直角梯形 中， ， ，∴ 以 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如图所示空间直角坐标系 ∵ ， ， ∴ ， ， ， ， ， ， 设平面 的法向量为 由 ， 取 同理可得平面 的法向量 ……………….10 分 ∴ . ……………….11 分 由 图 形 可 知 ， 所 求 二 面 角 为 钝 角 ， ∴ 二 面 角 的 余 弦 值 . ……………….12 分 BQ PC⊥ Q PBC ⊥ PCD BQ ⊥ PCD BQ ⊥ CD ABCD 90ADC∠ = ° //AD BC BC CD⊥ BQ BC B= CD⊥ PBC CD PC⊥ PAD⊥ ABCD PAD ABCD AD= CD⊥ PAD CD⊥ PD PCD∆ PO AD⊥ O PA PD= O AD OB PAD⊥ ABCD PO⊥ ABCD ABCD 90ADC∠ = ° 2AD BC= OB AD⊥ OA OB OP x y z O xyz− 2PA= 1BC = 3CD = (1,0,0)A (0, 3,0)B ( 1, 3,0)C − (0,0, 3)P ( 1,0, 3)AP = − ( 1, 3,0)AB = − (0, 3, 3)BP = − ( 1,0,0)BC = − PBA 1 ( , , )n x y z= 1 1 3 0 3 0 n AP x z n AB x y  ⋅ = − + = ⋅ = − + =     1 ( 3,1,1)n = PBC 2 (0,1,1)n = 1 2 1 2 1 2 2 10cos , 55 2| | | | n nn n n n ⋅< >= = = ⋅⋅      A PB C− − 10 5 − 20. 【解析】(Ι)设 ，则由题知 ， ， , ， 由 在椭圆 上，得 ，所以 ， 故点 的轨迹 的方程为 ； ……………5 分 （II）当直线 的斜率不存在时， ； 当直线 的斜率存在时，设其方程为 , ， ，………7 分 ，所以 ， ……………8 分 ， ……10 分 令 ， ， ， 所以，当 时，即 时， 取最大值 ，当 时，即 时， 取最小值 ；综上： 的取值范围为 . ……………12 分 21.【解析】(1) 的定义域为 , , (i)若 时,当 时, , 在 上递增,且 时, ,所以 不恒成立,故 不符合条件;(1 分) 1 1( , ), ( , )P x y A x y 1 1( , )B x y− 1x x= 1 1(0, ), (0, )PA y y PB y y= − = − −  2 2 1 1 1( )( ) 1 1PA PB y y y y y y⋅ = − − − = − ⇒ − =  1 1( , )A x y 2 2 1 : 14 2 x yC + = 2 2 1 1 14 2 x y+ = 2 2 1 14 2 x y ++ = P 2C 2 2 12 x y+ = 1l 2 2DE OM⋅ = 1l 1 1 2 2 0 0, ( , ), ( , ), ( , )y kx m D x y E x y M x y= + 2 2 22 2 (2 1) 4 2 2 0 12 y kx m k x kmx mx y = + ⇒ + + + − = + = 2 20 2 1k m∆ = ⇒ + = 0 02 2 2 1 2 1 km kx yk m m − −= = ⇒ =+ 2 1( , )kM m m − 1 2 2 2 2 22 2 2 1 2 2 2 4 4 2 1(2 1) 4 2 4 0 2 4 41 24 2 2 1 km ky kx m x x k mk x kmx mx y mx x k m − −= + + = =   +⇒ + + + − = ⇒  −+ =  = = −  + 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 41 1 ( ) 4 1 1 4 1 1 42 2 2 2 2 1 k kDE OM k x x k x x x xm m k k k k m k + +⋅ = + − ⋅ = + + − + + + += = + 22 1 1k t+ = ≥ 2 2 2 2 (2 1)( 1)1 1 4 1 12 2 2 2 ( ) 22 1 t tk kDE OM k t t t − ++ +⋅ = = = − + ++ 1 (0,1]t ∈ 1 1 2t = 2 1 2k = DE OM⋅ 3 1 1t = 0k = DE OM⋅ 2 2 DE OM⋅ [2 2,3] ( )f x ( , )- ¥ +¥ ( ) xf x e a¢ = + 0a> x RÎ ( ) 0f x¢ > ( )f x ( , )- ¥ +¥ x ® - ¥ ( )f x ® - ¥ ( ) 0f x ³ 0a> (ii)若 时, ,所以 符合条件;(2 分) (iii)若 时,令 ,得 ,当 时, , 在 上递减;当 时, , 在 上递增, 所以 ,即 ,得 ,(4 分) 综上, 的取值范围是 .(5 分) (2) 的定义域为 , ,得 ,于 是 当 时, , 递减;当 时, , 递增, 所以 (7 分), ,得 ,当 时, , 递增;当 时, , 递减,所以 ,(9 分) ,等价于 ,等价于 , 由(1)知 时,得 ,在 时,得 ,用 替代 ,得 ,用 替 代 ,得 (当且仅当 时取等号), 取 ，显然 成立 (11 分) 综上知, .(12 分) （二）选考题：共 10 分.请考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 【解析】(1)将曲线 参数方程 为参数)的参数消去，得到直角坐标方程为 ，设 上任意一点为 ，经过伸缩变换后的坐标为 ，由题意得： ，故 的直角坐标方程 ； ………5 分 0a= ( ) 0xf x e= > 0a= 0a< ( ) 0f x¢ = ( )lnx a= - ( ,ln( ))x aÎ -¥ - ( ) 0f x¢ < ( )f x ( ,ln( ))a-¥ - (ln( ), )x aÎ - +¥ ( ) 0f x¢ > ( )f x (ln( ), )a- +¥ ln( ) min( ) (ln( )) [ln( ) 1] [ln( ) 1] 0af x f a e a a a a a-= - = + - + =- + - + ³ ln( ) 0a- £ 1a³ - a [ 1,0]- ( )g x (0, )+¥ ( ) 2 2 23 ln 3g x x x x mx¢ = + + 2 (3ln 1 3 ) 0x x m= + + = 1 3m x e- - = 1 30, m x e- -æ öç ÷Î ç ÷è ø ( ) 0g x¢ < ( )g x 1 3 ,m x e- -æ öç ÷Î +¥ç ÷è ø ( ) 0g x¢ > ( )g x 1 3( ) m m g ej - -æ öç ÷= =ç ÷è ø 3 1 3 1 3 13 1 1( 1)3 3 m m mm e m e m e- - - - - -+= - + - = - - 3 1( ) 1 0mm ej - -¢ = - = 1 3m = - 1, 3m æ öç ÷Î - ¥ -ç ÷è ø ( ) 0mj ¢ > ( )mj 1,03m æ öç ÷Î -ç ÷è ø ( ) 0mj ¢ < ( )mj max 1( ) 03mj j æ öç ÷= - =ç ÷è ø ( ) 11 3 131 3 mmm e ej + - -æ öç ÷- -ç ÷è ø 11 31 03 mm e + =- - ³ 11 33 mm e + - ³ 1ln( 3 ) 1 3m m- ³ - - 1a =- 1xe x³ + 1x>- ln( 1)x x+ £ 1x- x ln 1x x£ - 1 x x 11 ln 1x xx- £ £ - 1x = 3x m=- 1ln( 3 ) 1 3m m- ³ - - 11 3 131 ( ) 03 mme e mj+ - -æ öç ÷- £ £ç ÷è ø 1C 6cos (4sin x y θ θθ =  = 2 2 136 16 x y+ = 1C 0 0( , )x y ( , )x y′ ′ 0 0 0 0 1 33 21 2 x x x x y yy y  ′ = ′= ⇒  ′= ′ = 2C 2 2 4x y+ = （2）过点 倾斜角为 的直线 的参数方程为： 为参数)，带入 的 方程 得： ， 记 对于的参数分别为 ， ， ………8 分 ， 故当 时， . ………10 分 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 【解析】（1）由题知 ，当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 ；当 时， ，不等式无解； 综上，不等式的解集为 . ………5 分 （ 2 ） 由 题 知 ， 存 在 ， 成 立 ， 即 ， ，所以 ， . ………10 分 ( )1,1P α l 1 cos (1 sin x t y t α αα = +  = + 2C 2 2 4x y+ = 2 2(cos sin ) 2 0t tα α+ + − = ,A B 1 2,t t ( )1 2 1 2 2 cos sin 2 t t t t α α + = − + = − 2 1 2 4(cos sin ) 8 2 3 sin2AB t t α α α= − = + + = + 3 4 α π= min 2 2AB = 2 +3 4x x− ≤ 0x≤ 2 3 4x x− − ≤ 1 02 x− ≤ ≤ 0 2x< < 2 +3 4x x− ≤ 0 1x< ≤ 2x≥ 2+3 4x x− ≤ 1{ | 1}2x x− ≤ ≤ a∈R 2 12 3 ma a +− ≥ + 2 max 1 ( 2 )3 m a a + ≤ − − 2 ( 2) 2a a a a− − ≤ − − = 2 1 23 m + ≤ [ 5, 5]m∈ −