云南省曲靖市第二中学2020届高三第一次模拟考试数学（理）试题

云南省曲靖市第二中学2020届高三第一次模拟考试数学（理）试题

曲靖市第二中学2020届高三第一次模拟考试 数学（理科）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）‎ ‎1.设（为虚数单位），则(　 )‎ A. B. C. D. 2‎ ‎2.已知集合，集合，则(　 )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知平面αβ＝l，m是α内不同于l的直线，下列命题错误的是(　 )‎ A.若m∥β，则m∥l B.若m∥l，则m∥β C.若m⊥l，则m⊥β D.若m⊥β，则m⊥l ‎4.已知数列的前项和为，且，若平面内的三个不共线的非零向量满足，，，三点共线且该直线不过点，则等于(　 )‎ ‎ A.1005 B‎.1006 C.2010 D.2012‎ ‎5.如图所示的程序框图,令y=,若>1,则a的取值范围是( )‎ A.(-∞,2)∪(2,5] B.(-∞,-1)∪(1,+∞)‎ C.(-∞,2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,5]‎ ‎6.已知，“函数有零点”是“函数在 上为减函数”的(　 )‎ ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7.已知某班学生的数学成绩（单位：分）与物理成绩 ‎（单位：分）具有线性相关关系，在 一次考试中，从该班随机抽取5名学生的成绩，经计算：，设其线性回归方程为：＝0.4x＋ .若该班某学生的数学成绩为105，据此估计其物理成绩为(　 )‎ A.66　　　 B‎.68 C.70 D.72‎ ‎8.等比数列的前项和为，若则＝(　 )‎ A.-22 B.‎-14 C.10 D.18‎ ‎9.函数，的图像大致是(　)‎ ‎10.已知直线与圆交于两点.是坐标原点，满足条件 ‎ ，则实数的值为(　 )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知是双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为.若双曲线的右支上存在点，满足，且，则双曲线的离心率=(　 )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.定义在上的可导函数满足，且，当时，不等式的解集为(　 )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.）‎ ‎13.已知展开式所有项的系数之和为，则展开式中的系数为_________.‎ ‎14.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是_________.‎ ‎15.某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中选出3人代表本班参加“学生对教师满意程度调查”的座谈会，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率是___________.‎ ‎16.如图，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为___________.‎ 三、 解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每 道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）‎ ‎(一)必考题：共60分.‎ ‎17.（本题满分12分）已知向量．‎ ‎(1)求的单调递增区间；‎ ‎(2)在中，角的对边分别为.若，‎ 求的周长.‎ ‎18.（本题满分12分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2020年春节前夕，某市质检部门随机抽取了100包某品牌的速冻水 饺，检测某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示.‎ ‎(1)求所抽取的100包水饺该项质量指标值的样本平均数.‎ ‎(2)由直方图可以认为，水饺的该项质量指标值Z服从正 态分布，其中近似为样本平均数，经计算得 ‎，求Z落在内的概率.‎ ‎(3)将频率视为概率，若某人买了3包该品牌水饺，记这3包水饺中质量指标值位于 内的包数为，求的分布列和数学期望.‎ 附：若～，则：P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)＝0.997 4.‎ ‎19.（本题满分12分）如图，直三棱柱中，，，是上一点，且平面.‎ ‎(1)求证：⊥平面；‎ ‎(2)在棱上是否存在一点，使平面与平面的 夹角等于？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.‎ ‎20.（本题满分12分）已知是圆上任意一点，，线段 的垂直平分线与半径交于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.‎ ‎(1)求曲线的方程；‎ ‎(2)过点的直线与(1)中曲线相交于两点，为坐标原点，求面积 的最大值及此时直线的方程.‎ ‎21.(本题满分12分)已知函数 ‎(1)求函数的单调区间；‎ ‎(2)令的两个零点为证明：‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本题满分10分）‎ 在直角坐标系中，已知圆 (为参数)，点在直线 上，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．‎ ‎(1)求圆和直线的极坐标方程；‎ ‎(2)射线交圆于点，点在射线上，且满足，求点轨 迹的极坐标方程．‎ ‎23.【选修4—5：不等式选讲】（本题满分10分）‎ 已知函数．‎ ‎(1)若不等式有解，求实数的最大值；‎ ‎(2)在(1)的条件下，若正实数满足，证明：．‎ 曲靖市第二中学2020届高三第一次模拟考试 数学（理科）参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C C A D B B A D C D A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. -80 14. (-4,2) ‎ ‎15. 16. ‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分）‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 解：(1)‎ ‎. .……2分 ‎ 由 ‎ 得: ‎ ‎ ‎ 的单调递增区间是． ..……6分 ‎ ，.‎ 又，. ..……8分 ‎ ，由正弦定理得：,又.‎ ‎ 在中，由余弦定理得：‎ ‎,的周长为 ..……12分 ‎18.（本题满分12分）‎ ‎ 解：(1)所抽取的100包水饺该项质量指标值的样本平均数为：‎ ‎ . ..……3分 ‎ (2) 服从正态分布，且，，‎ Z落在内的概率为0.6826. ..……6分 ‎(3)根据题意得：，‎ ‎；；‎ ‎ ； ...……10分 ‎ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的分布列为：‎ ‎=. ...……12分 ‎19.（本题满分12分）‎ 解：(1)‎ 是直三棱柱，平面，‎ 且平面，所以.‎ ‎，平面，平面，‎ 平面. ..……4分 ‎(2)平面，且平面，‎ ‎，以O为坐标原点,‎ 所在的直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系. ..……5分 是等腰直角三角形，且斜边，，则：‎ A(,0,0),B(0,0,0),C(0,,0),设满足条件的点E(0,0,). ..……6分 由（1）知平面的法向量为=(0,,0). ...……7分 设=(a,b,c)为平面AEC的一个法向量,则 由，‎ 令,则得，∴=, ...……9分 平面与平面的夹角等于，‎ ‎，解得： ....……11分 当点为棱的中点时，平面与平面的夹角等于. ....……12分 ‎20.（本题满分12分）‎ 解：(1)由线段的垂直平分线与半径交于点，得：， ..……2分 点的轨迹为以焦点，长轴长为的椭圆， ‎ 故 ， ， . ‎ ‎ 曲线的方程为 ..……5分 (2) 设直线的方程为与椭圆交于点，，‎ 联立直线与椭圆的方程消去可得：‎ ‎，即，. ..……7分 面积为:‎ 令，则，上式可化为， ..……10分 当且仅当，即时等号成立，因此面积的最大值为，‎ 此时直线的方程为. ..……12分 ‎21.（本题满分12分）‎ 解：(1)由题可知，在（0，+）上单调递增，且，‎ 当时，，当时，；‎ 因此在上单调递减，在上单调递增. ..……4分 ‎(2)有两个零点，定义域为 且，在上单调递增，且，‎ 当时，，当时，；‎ 即的最小值为， ..……7分 当时，，‎ 可知在上存在一个零点. ..……9分 又当时，，可知在上也存在一个零点.‎ 又 ..……11分 因此，即 ..……12分 ‎22.（本题满分10分）‎ 解：（1）圆的极坐标方程， ………3分 直线的极坐标方程＝. ………5分 ‎ (2)设的极坐标分别为，‎ ‎ ………6分 ‎ 又，即 ………9分 ‎ ‎， ………10分 ‎23.（本题满分10分）‎ 解:(1)若不等式有解，只需的最大值．‎ ‎，，解得，‎ 实数的最大值． ·········5分 ‎(2)根据(1)知正实数，满足，‎ 由柯西不等式可知，.‎ ‎，均为正实数，(当且仅当时取“=”)． ………10分