河北省衡水中学2020届高三年级小二调考试数学理科试卷

河北省衡水中学2020届高三年级小二调考试数学理科试卷

‎2019-2020学年度学高三年级小二调考试数学（理科）试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对集合进行化简，然后根据集合的交集运算，得到的值.‎ ‎【详解】集合，‎ 集合 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.‎ ‎2.设函数满足，则的图像可能是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据题意，确定函数的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．‎ 由得是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，可知B，D符合；由得 是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B．‎ ‎3.若函数在处的切线方程为，则，的值为( )‎ A. 2,1 B. -2，‎-1 ‎C. 3,1 D. -3，-1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入切线方程得到切点，将切点代入到解析式中，得到，利用导数的几何意义，对函数求导，代入，得到切线斜率，得的值.‎ ‎【详解】将代入切线，‎ 得到切点坐标为，‎ 将代入到函数解析式中，得到，‎ 所以，‎ 求导得，‎ 代入得，‎ 所以，得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，根据导数的切线求参数的值，属于简单题.‎ ‎4.已知命题：使，命题：，，则命题成立是命题成立的( )条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据命题和命题，分别得到的范围，从而得到答案.‎ ‎【详解】命题：使，‎ 则，‎ ‎，所以设，‎ 则，在上单调递增，‎ 所以，‎ 命题：，，‎ 可得 所以命题成立是命题成立的充要条件.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数相关的复合函数的值域，判断充分必要条件，属于简单题.‎ ‎5.已知，则与的交点个数为( )‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，得，分和进行讨论，利用零点存在定理，得到零点个数，从而得到答案.‎ ‎【详解】要求与的交点，则令，‎ 设，即求的零点个数，‎ 所以，‎ 当时，，解得，（舍），‎ 所以时，有且仅有一个零点；‎ 当，，‎ ‎，所以在上单调递增，‎ 而，，‎ 由零点存在定理可知在上有且仅有一个零点；‎ 综上所述，有且仅有两个零点，‎ 所以与的交点个数为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的性质，函数图像交点与零点的转化，根据零点存在定理求零点的个数，属于中档题.‎ ‎6.已知函数，则定积分的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据积分定义，将积分区间分为两段分别求：左段可根据微积分基本定理求得积分值，右段根据几何意义求得积分值，两个部分求和即可．‎ ‎【详解】因为 所以 ‎ 的几何意义为以为圆心，以为半径的圆，在x轴上方的部分 因而 ‎ 所以 所以选A ‎【点睛】本题考查了积分的求法，微积分基本定理的应用及利用几何法求积分值，属于中档题．‎ ‎7.已知函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，这样原不等式可以转化为，构造新函数，求导，并结合已知条件，可以判断出的单调性，利用单调性，从而可以解得，也就可以求解出，得到答案.‎ ‎【详解】解:令，则，‎ 令，则，‎ 在上单调递增，‎ ‎，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了利用转化法、构造函数法、求导法解决不等式解集问题，考查了数学运算能力和推理论证能力.‎ ‎8.若函数为偶函数，且时，则不等式的解集为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得到关于成轴对称，得到再利用导数，得到时的单调性，从而得到不等式的解集.‎ ‎【详解】因为函数函数为偶函数，‎ 所以可得关于成轴对称，‎ 所以，‎ 当时，，‎ 所以 设，则，‎ 当，，单调递减，‎ ‎，‎ 即，所以在上单调递减，‎ 在上单调递增，‎ 所以不等式的解集为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性，根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题.‎ ‎9.设，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由比较，的大小，利用中间量比较,，从而得解.‎ ‎【详解】∵，，∴.‎ ‎∵，∴，∴.‎ 又，∴，即.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性比较大小，解题的关键是找到合适的中间量进行比较大小，属于难题.‎ ‎10.已知函数，若有且只有两个整数，使得，且，则a的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，可得，原问题转化为直线有且只有两个整数点处的函数值大于函数的值，利用导函数研究函数的单调性得到关于a的不等式组，求解不等式组即可确定a的取值范围.‎ ‎【详解】令，则：，，‎ 设，，‎ 故，由可得，‎ 在上，，为减函数，在上，，为增函数，‎ 的图像恒过点，在同一坐标系中作出，的图像，‎ 如图所示，若有且只有两个整数，使得，且，‎ 则，即，‎ 解得：.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，直线恒过定点问题，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎11.设定义在上的奇函数满足：对任意的，总有，且当时，．则函数在区间上的零点个数是 （ ）‎ A. 6 B. ‎9 ‎C. 12 D. 13‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为函数为上的奇函数，所以必有f（0）=0．‎ 由 ，易得： ，故函数周期为8，‎ ‎∴f（0）=f（-8）=f（8）=0‎ 当时，，有唯一零点.‎ 又函数为奇函数且周期为8，易得：f（）=f（- ）=f(-8)=f(+8)=f(- +8)=f(- +16)‎ 当x=-4时，由 知 ，又f（x）为奇函数，可得f(4)=0,从而可知f(4)=f（-4）=f（12）.‎ 所以共有12个零点．‎ 故选C ．‎ 点睛：本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.注意定义在上的奇函数，必有f（0）=0；定义在上的奇函数且周期为T，则有f（）=0.‎ ‎12.“互倒函数”的定义如下：对于定义域内每一个，都有成立，若现在已知函数是定义域在的“互倒函数”，且当时，成立.若函数（）都恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据是“互倒函数”，得到解析式，从而画出的图像，将问题等价于等价于有两个不等的实根，分为，，，，几种情况讨论，设，先研究的解，再研究的解，从而得到的范围.‎ ‎【详解】函数是定义域在的“互倒函数”‎ 当，则，‎ 因为，且当时，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 函数都恰有两个不同的零点，‎ 等价于有两个不等的实根，‎ 作出的大致图像，如图所示，‎ 可得，，‎ ‎，.‎ 设，则 ‎①当时，有两个解，，‎ 其中，，‎ 无解，有两个解，符合题意；‎ ‎②当时，由得，，‎ 由图可知此时有四个解，不符合题意；‎ ‎③当时，有两个解，，‎ 其中，，‎ 由图可知此时有四个解，不符合题意；‎ ‎④当时，由，得，‎ 由图可知有两个解，符合题意；‎ ‎⑤当时，由，得无解，不符合题意.‎ 综上所述，或符合题意，‎ 而，所以解得或.‎ 即实数的取值范围为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查符合函数的值域，函数与方程，根据函数的零点求参数的范围，考查了逻辑思维能力和运算能力，分类讨论的思想，属于难题.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知指数函数在上为减函数；，.则使“且”为真命题的实数的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由指数函数的单调性和一元二次不等式有解得出命题和，然后取交集即可.‎ ‎【详解】解：由函数在上为减函数，故，即 所以命题 由，，得有解，故，即 所以命题 因为“且”为真命题 所以、都是真命题 所以 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了指数函数的单调性，一元二次不等式能成立问题，复合命题的真假性，属于基础题.‎ ‎14.数学老师给出一个函数，甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质：甲：在 上函数单调递减；乙：在上函数单调递增；丙：在定义域R上函数的图象关于直线对称；丁：不是函数的最小值．老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确．那么，你认为____说的是错误的．‎ ‎【答案】乙 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据四位同学的回答，不妨假设其中的任何三个同学回答正确，然后推出另一位同学的回答是否正确来分析，体现了反证法的思想.‎ ‎【详解】如果甲、乙两个同学回答正确，‎ 因为在上函数单调递增，‎ 所以丙说：在定义域R上函数的图象关于直线对称是错误的，‎ 此时是函数的最小值，所以丁的回答也是错误的，与四个同学中恰好有三个人说的正确矛盾，‎ 所以应该是甲、乙两个同学有一个回答错误，‎ 此时丙正确，则乙就是错误的.‎ 故答案为乙.‎ ‎【点睛】本题利用函数的性质考查逻辑推理能力和反证法思想，考查数形结合思想的运用.‎ ‎15.已知定义域为的函数，，若存在唯一实数，使得，则实数的值是__________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过导数，分别研究和的单调性和最值，得到，，从而得到，得到，，从而得到的值.‎ ‎【详解】，，‎ 所以时，，单调递减；‎ 时，，单调递增；‎ 所以.‎ ‎，，‎ 所以时，，单调递减；‎ 时，，单调递增；‎ 所以.‎ 所以，当且仅当时，等号成立.‎ 而存在唯一实数，使得，‎ 所以可得，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，根据函数的最值求参数的值，属于中档题.‎ ‎16.已知方程恰有四个不同的实数根，当函数时，实数的取值范围是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数的导数，研究函数的单调性和极值，作出函数的图象，设，将方程根的个数转化为一元二次方程根的分布进行求解即可．‎ ‎【详解】函数，‎ 由得，得或，此时为增函数，‎ 由得，得，此时为减函数，‎ 即当时，函数取得极小值，极小值为，‎ 当时，函数取得极大值，极大值为，‎ 当，，且，‎ 作出函数的图象如图：‎ 设，则当时 方程有3个根，当时 方程有2个根，‎ 当或时 方程有1个根，‎ 则方程等价为，‎ 若恰有四个不同的实数根，‎ 等价为有两个不同的根，‎ 当，方程不成立，即，‎ 其中或，‎ 设，‎ 则满足，得，‎ 即，即，‎ 即实数的取值范围是，‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次方程根的分布，求出函数的导数研究的单调性和极值是解决本题的关键．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知函数，.‎ ‎(1)若，求曲线在处的切线方程；‎ ‎(2)若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对求导得到，代入，得到切线的斜率，结合切点，得到切线方程；（2）根据题意，得到，然后利用参变分离，得到，设，利用导数得到的最小值，从而得到的范围.‎ ‎【详解】（1）因为，所以函数，‎ 所以，即切点为 所以，‎ 代入，得到，‎ 故所求的切线方程为，‎ 即.‎ ‎（2）对任意的，，恒成立，‎ 可得，对任意的，恒成立，‎ ‎，令得或，‎ 所以时，，单调递减，‎ 时，，单调递增，‎ 而，，所以，‎ 所以，对任意的恒成立，‎ 即对任意的恒成立，‎ 所以，对任意的恒成立，‎ 设，，则 ‎，‎ 设，‎ 因为，所以，所以单调递增，‎ 即单调递增，而，‎ 所以当，，单调递减，‎ 当，,单调递增，‎ 所以时，取得最小值，为，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查根据导数的几何意义求函数在一点的切线，利用导数研究函数的单调性和最值，利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题.‎ ‎18.某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本C（x）万元，当年产量小于7万件时，C（x）=x2+2x（万元）；当年产量不小于7万件时，C（x）=6x+1nx+﹣17（万元）．已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的产M当年全部售完．‎ ‎（1）写出年利润P（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收人﹣固定成本﹣流动成本 ‎（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取e3≈20）‎ ‎【答案】(1) (2) 当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据年利润=销售额-投入的总成本-固定成本，分0＜x＜7和当x≥7两种情况得到P（x）与x的分段函数关系式； （2）当0＜x＜7时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值，当x≥7时，利用导数求P（x）的最大值，最后综合即可．‎ ‎【详解】（1）产品售价为6元，则万件产品销售收入为万元.‎ 依题意得，当时，‎ ‎， ‎ 当时，‎ ‎.‎ ‎∴‎ ‎（2）当时，，‎ ‎∴当时，最大值为（万元）. ‎ 当时，，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，，单调递减，‎ ‎∴当时，取最大值（万元），‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，取得最大值万元，‎ 即当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元.‎ ‎【点睛】本题考查函数式的求法，考查年利润的最大值的求法，考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题 ‎19.若函数，，为常数.‎ ‎(1)求函数的单调区间；‎ ‎(2)若有两个极值点分别为，，不等式恒成立，求的最小值.‎ ‎【答案】(1)①时，的单调增区间为，无单调减区间； ②时，的单调增区间为，，单调递减区间为；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对求导，分和进行讨论，研究的正负情况，从而得到的单调区间；（2）由（1）可得，利用韦达定理，得到，，从而对不等式进行化简，得到，再利用导数得到的范围，从而得到的范围.‎ ‎【详解】（1）的定义域为，‎ ‎①当，，所以，的单调增区间为，无单调减区间； ‎ ‎②当时，，解得，，‎ 所以的单调增区间为，，单调递减区间为 ‎（2）因有两个极值点为，，‎ 不等式恒成立，‎ 所以，且，，‎ ‎，‎ 故 所以，‎ 设函数，，‎ ‎，所以单调递减，‎ 所以，‎ 所以得到，‎ 的最小值为 ‎【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调区间，利用导数研究函数的单调性和最值，利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题.‎ ‎20.若定义在上的函数，.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若，，满足，则称比更接近.当且时，试比较和哪个更接近，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）当时， 单调递增区间为；当时， 单调递增区间为，单调递减区间为；（2）比更接近，理由见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对求导，分和进行讨论，研究的正负情况，从而得到 的单调区间；（2）设，，‎ 利用导数研究出和在的单调性和正负情况，分和进行讨论，得到和的大小关系，从而得到答案.‎ ‎【详解】（1）函数，‎ 求导得到，‎ 当时，，函数在上单调递增；‎ 当时，由，得到，‎ 所以时，，单调递减，‎ 时，，单调递增，‎ 综上所述，当时， 单调递增区间为；当时， 单调递增区间为，单调递减区间为；‎ ‎（2）设，‎ 所以，所以在时单调递减，‎ 又因为 所以当时，当时，.‎ 而，设，则，‎ 所以在上单调递增，即在上单调递增，‎ 而，所以时，，‎ 所以在时单调递增，且，‎ 所以.‎ ‎①当时，‎ 设，则 所以在单调递减，.‎ 又因为，所以，‎ 所以 所以比更接近.‎ ‎②当时，， ，‎ 设，则，‎ 设，，‎ 所以在上单调递减，即在上单调递减，‎ 所以 所以在上单调递减，‎ 所以，即，‎ 所以比更接近.‎ 综上所述，当且时，比更接近.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调区间，利用导数研究函数的单调性和最值，构造函数解决不等式问题，考查了分类讨论的思想，属于中档题.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）若，求实数取值的集合；‎ ‎（2）证明：‎ ‎【答案】（1）.（2）见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）,讨论当和时函数单调性求最小值即可求解；（2）由（1），可知当时，，即在恒成立. 要证，只需证当时，.构造，证明即可 ‎【详解】（1）由已知，有. ‎ 当时，，与条件矛盾；‎ 当时，若，则，单调递减；‎ 若，则，单调递增. ‎ ‎∴在上有最小值 ‎ 由题意，∴.‎ 令.∴.‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减.‎ ‎∴在上有最大值.∴.‎ ‎∴. ‎ ‎∴，∴，‎ 综上，当时，实数取值的集合为. ‎ ‎（2）由（1），可知当时，，即在恒成立.‎ 要证，‎ 只需证当时，.‎ 令.则.‎ 令则.‎ 由，得. ‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增.‎ 即在上单调递减，在上单调递增.‎ 而，，‎ ‎∴，使得. ‎ 当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增. ‎ 又，，‎ ‎∴对，恒成立，即.‎ 综上所述，成立.‎ ‎【点睛】本题考查导数与函数的最值，利用导数证明不等式，转化化归思想，分类讨论，合理利用（1）的结论证明（2）是关键，是中档题 ‎22.已知函数（）.‎ ‎（1）若，证明：当时，；‎ ‎（2）若对于任意的且，都有，求的取值集合.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将问题转化为当时，，利用导数得到的单调性和最值，进行证明；（2）通过函数端值得到，将问题等价于当时，，对进行分类，通过导数得到的单调性，从而得到符合要求的.‎ 详解】（1）当时，，‎ 要证当时，，‎ 即证当时，‎ 令，‎ 当时，，在内单调递减 当时，，在内单调递增，‎ 故.证毕.‎ ‎(2)先分析端值，当时，，，‎ 要使，需有，即；‎ 当时，，，‎ 要使，需有；‎ 故必须有.‎ 由知其分子恒正，‎ 令，‎ 于是问题等价于当时，；‎ 当时，.‎ 注意到.‎ ‎①当时，‎ 此时当时，，在单调递减，‎ 于是，这不符合题意；‎ ‎②当时，，得，.‎ ‎（i）当时，，，在单调递增，‎ 结合可知符合题意；‎ ‎（ii）当时，，此时当时，‎ 于是在在单调递减，‎ 故在内，这不符合题意；‎ ‎（iii）当时，，此时当时，‎ 于是在在单调递减，‎ 故在内，这不符合题意；‎ 综上：符合题意的取值集合为.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数证明不等式恒成立问题，利用导数研究函数的单调性、极值和最值，考查了分类讨论的思想，属于难题.‎