江苏省淮安市淮阴中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

江苏省淮安市淮阴中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

江苏省淮阴中学2019-2020学年度高二上学期阶段检测 高二数学试题 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1.椭圆的焦距为（）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的标准方程求得，由，求得的值，进而求得焦距的值.‎ ‎【详解】根据椭圆方程得，由解得，故焦距.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查已知椭圆方程求，考查椭圆焦距的求法，属于基础题.‎ ‎2.双曲线渐近线方程为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，化简后求得双曲线渐近线的方程.‎ ‎【详解】依题意，令，即，也即.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查已知双曲线方程求双曲线的渐近线方程，属于基础题.‎ ‎3.若椭圆:的上顶点与右顶点的连线垂直于下顶点与右焦点连线，则椭圆的离心率为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆上下顶点的坐标、焦点坐标求得直线的斜率，利用斜率乘积为列方程，结合求得离心率的值.‎ ‎【详解】椭圆上顶点坐标为，右顶点的坐标为，故直线的斜率为.椭圆下顶点坐标为，右焦点的坐标为，故直线的斜率为.由于，故，即，由于，所以，即，解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的几何性质，考查两直线两直线垂直的表示，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎4.用斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图为（如图），且,则原三角形的面积为.（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据斜二测画法，判断出原三角形为直角三角形，且求得两条直角边的长，进而求得原三角形的面积.‎ ‎【详解】根据斜二测画法可知，原三角形为直角三角形，，且在原图中，故原三角形的面积为.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查斜二测画法的概念，考查已知直观图求原图的面积，属于基础题.‎ ‎5.长方体中，,为中点，则异面直线与所成角为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接，根据，可得异面直线与所成的角为，解三角形求得的大小.‎ ‎【详解】画出长方体如下图所示，连接，由于，所以异面直线与所成的角为，在三角形中，，故三角形是等边三角形，所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间想象能力，属于基础题.‎ ‎6.函数的极大值为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数求得函数的单调区间，进而求得函数极值点，由此求得函数的极大值.‎ ‎【详解】依题意，故函数在上递增，在上递减，所以函数在处取得极大值为.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的极大值，考查函数单调区间的求法，考查乘法的导数运算，属于基础题.‎ ‎7.已知点为椭圆:在第一象限内一点，为椭圆两焦点，且，则的面积为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据判断出是直角三角形，且.根据椭圆焦点三角形面积公式，求得的面积.‎ ‎【详解】由于，故是直角三角形，且.根据椭圆焦点三角形面积公式可知，的面积为，其中.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆焦点三角形面积公式，考查向量数量积为零的几何意义，属于基础题.‎ ‎8.若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用圆心到直线的距离不大于半径列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】依题意可知，圆心为，半径，直线的一般式方程为.由于直线和圆有公共点，圆心到直线的距离小于或等于半径，即，解得.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于基础题.‎ ‎9.抛物线上的点到直线的最短距离为，则正数的值为（）‎ A. B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出抛物线上任意一点的坐标，求得该点到直线的距离，利用距离的最小值为，求得的值.‎ ‎【详解】设抛物线上任意一点的坐标为，由点到直线距离公式得，故当时，距离取得最小值为，解得.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查抛物线上点到直线的距离，考查二次型函数最值有关问题的求解策略，属于中档题.‎ ‎10.下列命题正确的有（）个 ‎（1）平面，则平面；（2）平面，，则;‎ ‎（3）平面，则；（4）平面，，则平面.‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线线、线面有关定理，对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的个数.‎ ‎【详解】对于（1），可能直线在平面内，故（1）错误.‎ 对于（2），直线可能是异面直线，故（2）错误.‎ 对于（3），直线可能在平面内或与平面斜交,或与平面平行，故（3）错误.‎ 对于（4），直线可能在平面内，故（4）错误.‎ 终上所述，正确命题有个.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系判断，属于基础题.‎ ‎11.已知双曲线的左右焦点为,右支上一点与的连线交双曲线左支于点，若,则的面积为（）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的定义列方程，求得,然后求得的面积.‎ ‎【详解】由于，所以三角形是直角三角形，且.根据双曲线的定义可知，即，解得.所以的面积为.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，考查勾股定理，考查数形结合的思想方法，属于基础题.‎ ‎12.已知曲线与x轴交于，两点，点的坐标为．圆过三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则此直线方程为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出圆的一般方程，根据圆过三点化简圆的方程，令求得圆和轴的交点为定点，弦长为定长，由此确定直线方程.‎ ‎【详解】设过过三点的圆的方程为，由题意可得时，与等价，可得，圆的方程即为，由圆过可得，可得，即圆的方程为，令，得，解得或.即有圆与与轴的交点为，则过三点的圆在轴上截得的弦长为定值.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查圆的一般方程的求法，考查圆的弦长有关的计算，属于中档题.‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.函数的递减区间为_______‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得函数的定义域，然后利用导数求得函数的递减区间.‎ ‎【详解】函数的定义域为，，故当时，，也即函数的递减区间为.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查函数定义域的求法，考查导数的运算，属于基础题.‎ ‎14.直线交椭圆于两点，线段中点坐标为，则直线的方程为_______‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出两点的坐标，利用点差法计算出直线的斜率，根据点斜式求得直线的方程.‎ ‎【详解】设，代入椭圆方程得，两式作差并化简得，即，由点斜式得，即.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆中有关弦的中点的问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎15.函数，若恒成立，则实数的取值范围是_______‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将分离常数，然后利用构造函数法，结合导数求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】当时，.当时，由得，构造函数，则，由于 ‎，故在上递减，在上递增，故，所以.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查利用导数研究函数的单调区间和最值，属于中档题.‎ ‎16.扎花灯是中国一门传统手艺，逢年过节时常常在大街小巷看到各式各样的美丽花灯。现有一个花灯，它外围轮廓是由两个形状完全相同的抛物线绕着它们自身的对称轴旋转而来（如图），花灯的下顶点为,上顶点为，米，在它的内部放有一个半径为米的球形灯泡，球心在轴上,且米。若球形灯泡的球心到四周轮廓上的点的最近距离是在下顶点处取到。建立适当的坐标系可得抛物线方程为，则实数的取值范围是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出抛物线上任意一点的坐标，根据两点间间的距离公式求得“球形灯泡的球心到四周轮廓上的点的距离”，根据“最近距离是在下顶点处取到”结合二次函数的性质，求得的取值范围.‎ ‎【详解】画出截面并建立平面直角坐标系如下图所示，其中为坐标原点，抛物线方程为，，设抛物线上任意一点的坐标为，由两点间的距离公式得，令则的开口向上，对称轴为，当对称轴时，在处取得最小值，也即当时，取得最小值为，也即符合“球形灯泡的球心 到四周轮廓上的点的最近距离是在下顶点处取到”.当对称轴时，最小值在对称轴处取得，且最小值小于，不符合题意.故由，解得.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查抛物线上的点与定点距离的最小值有关问题，考查中国传统文化，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 三、解答题（共6大题，满分70分）‎ ‎17.四棱锥中，底面为菱形，‎ ‎（1）求证：平面;‎ ‎（2）求证：。‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用结合线面平行的判定定理，证得结论成立.‎ ‎（2）连接交于，连接，根据菱形的性质得到 ‎，根据等腰三角形的性质得到，由此证得平面，进而证得.‎ ‎【详解】（1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以,‎ 又因为平面，平面,所以平面。‎ ‎（2）连AC交BD与O，连PO.‎ 四边形ABCD为菱形，且 ‎.‎ 因，，，所以平面，所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查通过证明线面垂直来证明线线垂直，属于中档题.‎ ‎18.已知抛物线的顶点为,准线方程为 ‎（1）求抛物线方程；‎ ‎（2）过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，求的面积。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据抛物线的准线方程求得的值，进而求得抛物线方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，写出韦达定理，求得的长，利用三角形面积公式求得的面积.‎ ‎【详解】解（1）的准线，，‎ ‎（2）设直线方程为，则，‎ ‎，‎ ‎=‎ ‎【点睛】本小题主要考查已知抛物线的准线求抛物线方程，考查直线和抛物线相交所得弦长的计算以及与抛物线有关的三角形面积的计算，属于中档题.‎ ‎19.江苏省淮阴中学科技兴趣小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图,航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为．观测点同时跟踪航天器，试问：当航天器在轴上方时，观测点，测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？（变轨指令发出时航天器立即变轨）。‎ ‎【答案】当观测点A，B测得AC，BC的距离分别为2、4时，应向航天器发出变轨指令 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出抛物线的方程，根据点坐标求得抛物线方程.联立抛物线的方程和椭圆方程，求得点坐标，由此求得的距离.‎ ‎【详解】解：设曲线方程为，由题意可知，，∴，‎ ‎∴曲线方程为 解得 解得y＝4或y＝－(不合题意，舍去)，∴y＝4，‎ 将代入（1）得x＝6或x＝－6(不合题意，舍去)．∴C点坐标为(6，4)‎ ‎|AC|＝2，|BC|＝4‎ 答：当观测点A，B测得AC，BC的距离分别为2、4时，应向航天器发出变轨指令，‎ ‎【点睛】本小题主要考查待定系数法求抛物线的方程，考查抛物线和椭圆交点坐标的求法，考查数学在实际生活中的运用，属于中档题.‎ ‎20.已知函数，‎ ‎（1）当时，直线为函数的图象的一条切线，求值；‎ ‎（2）求函数在区间上的最小值的表达式。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，设出切点坐标，根据切点和斜率列方程组，解方程组求得的值.（2）先求得函数的导函数，对分成三种情况，结合函数的单调性，求得最小值的表达式.‎ ‎【详解】解（1），，设切点为，则 ‎，‎ 由（2）（3）代入（1）代入（2）‎ ‎（2）‎ ‎1)当时，，在[1,2]递增，‎ ‎.‎ ‎2)当时，令，，令，，‎ 在[1,a]递减，[a,2]递增，‎ ‎.‎ ‎3）.当时，在[1,2]递减，‎ ‎，‎ 综上：‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数图像的切线方程有关问题，考查利用导数研究函数的最小值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题.‎ ‎21.已知椭圆过点，若点与椭圆左焦点构成的直线的斜率为与右焦点构成的直线的斜率为，且;‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线与椭圆的另一个交点为与轴的交点为，为椭圆的中心，点在椭圆上，且，若,求直线的方程 ‎【答案】（1）（2）当时，直线方程为：，当时，直线方程为：‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用，结合椭圆过点列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，求得点的横坐标；联立直线的方程和椭圆方程，求得，根据列方程，解方程求得的值，进而求得直线的方程.‎ ‎【详解】解：(1)，得①‎ 又因为椭圆过点所以②.‎ 由①、②得所以 ‎(2)设直线方程为 由得：‎ 因为，所以 由题意知直线的方程为，‎ 由得：所以 又因为，所以 即，所以或 所以当时，直线方程为：，‎ 当时，直线方程为：‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆相交交点坐标的求法，考查方程的思想，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎22.已知函数，‎ ‎（1）讨论函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数只有一个零点，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得函数的导函数，利用判别式，对分成三种情况，讨论函数的单调区间.（2）根据（1）的结论，结合零点存在性定理，判断出当时符合题意；利用函数的单调性和零点存在性定理，讨论当或时函数零点的情况，由此求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】解（1），‎ I)时，在R上递增.‎ II)当即或时，令，，解得 在递增，递减，递增 ‎（2）由（1）知①当时在R上递增.‎ ‎，存唯一零点.‎ ‎②当或时 I）当时，，，即，‎ 又，，存在零点.‎ 又在递增，递减，递增 ‎,（*）‎ 又，将代入（*）‎ ‎，且，，解得。‎ II）当时，‎ 当时，‎ ‎，‎ 又在递减，递增在递减，递增，‎ ‎，，‎ 又，‎ 存在唯一零点，符合题意 综上，‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究函数的零点，考查零点存在性定理，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题.‎ ‎ ‎