【数学】2020届一轮复习人教版（理）第6章第2讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题学案
第2讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
[考纲解读] 1.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．(重点)
2.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考必考内容．预测2020年的考查，主要命题方向为：在约束条件下求目标函数的最值或根据最值情况求参数，同时能用线性规划解决实际问题．试题以客观题形式呈现，属中档题型.
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
2．线性规划相关概念
3．重要结论
(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；
特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．
(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：
对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有
①当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；
②当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．
(3)最优解和可行解的关系
最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解有时唯一，有时有多个．
4．利用线性规划求最值，用图解法求解的步骤
(1)作可行域；
(2)将目标函数进行变形；
(3)确定最优解；
(4)求最值．
1．概念辨析
(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )
(2)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )
(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )
(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．小题热身
(1)不等式组表示的平面区域是( )
答案 B
解析 x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其下方部分，x－y＋2＜0表示直线x－y＋2＝0上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.故选B.
(2)已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围为( )
A．(－7,24)
B．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
C．(－24,7)
D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
答案 A
解析 由题意可知(－9＋2－a)(12＋12－a)<0，所以(a＋7)(a－24)<0，所以－7
0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )
A. B. C．1 D．2
答案 A
解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)．
当直线z＝2x＋y过交点A时，z取最小值，
由
得
∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝.
角度3 非线性目标函数的最值问题
3．已知求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(2)z＝的范围．
解 作出可行域，如图阴影部分所示．
通过联立方程，解得A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．
(1)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内点(x，y)到点M(0,5)的距离的平方．
过点M作AC的垂线，垂足为点N，
故|MN|＝＝，|MN|2＝2＝.
故z的最小值为.
(2)z＝2·表示可行域内点(x，y)与定点Q连线斜率的2倍．
因为kQA＝，kQB＝，所以z的范围是.
求线性目标函数最值问题及线性规划应用题的解题策略
(1)求线性目标函数的最值．线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以我们可以直接解出可行域的顶点，然后代入目标函数以确定目标函数的最值．
(2)由目标函数的最值求参数的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．
(3)求非线性目标函数最值问题的解题策略
解决此类问题时需充分把握好目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义有：
①对形如z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目标函数均可化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)间距离的平方的最值问题．如举例说明3.
②对形如z＝(ac≠0)型的目标函数，可先变形为 z＝·的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)与点连线的斜率的倍的取值范围、最值等．如举例说明3.
③对形如z＝|Ax＋By＋C|型的目标，可先变形为z＝·的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍的最值．
1．(2018·北京高考)若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是________．
答案 3
解析 x＋1≤y≤2x，等价于不等式组画出可行域如图，令z＝2y－x，化为斜截式得
y＝x＋z，直线斜率为，在y轴上的截距为z，直线越往下，z越小，z越小，由
得最优解为(1,2)，所以z＝2y－x的最小值为3.
2．(2018·安徽皖江最后一卷)已知x，y满足条件则点(0,0)到点(x，y)的距离的最小值是________．
答案
解析 ∵z＝，∴如图所示，原点到点P(1,1)的距离最小，且为 ＝.
3．(2018·福州五校二联)已知实数x，y满足
若目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数多个，则z＝x＋ay的最大值为________．
答案
解析 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得A(3,2)，B(1,4)，C.
当a＞0时，y＝－x＋z，作直线l0：y＝－x，平移l0，易知当直线y＝－x＋z与4x＋y－8＝0重合时，z取得最小值的最优解有无数多个，此时a＝，当直线过点A时，z取得最大值，且zmax＝3＋＝；当a≤0时，数形结合知，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解不可能有无数多个．综上所述zmax＝.
题型 线性规划的实际应用
(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
答案 216000
解析 设生产产品A x件，产品B y件，依题意，
得
设生产产品A，产品B的利润之和为E元，则E＝2100x＋900y.画出可行域(如图)，易知最优解为则Emax＝216000.
线性规划解决实际问题的一般步骤
(1)能建立线性规划模型的实际问题
①给定一定量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收益最大；
②给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少．
(2)解决线性规划实际问题的一般步骤
①转化：设元，写出线性约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题；
②求解：解决这个纯数学的线性规划问题；
③作答：根据实际问题，得到实际问题的解，据此作出回答．
某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )
A．31200元 B．36000元 C．36800元 D．38400元
答案 C
解析 设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金为z，则线性约束条件为
目标函数为z＝1600x＋2400y.
画出可行域如图中阴影部分所示，
可知目标函数过点N时，取得最小值，
由
解得故N(5,12)，
故zmin＝1600×5＋2400×12＝36800(元)．
高频考点 线性规划问题
考点分析 线性规划是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有三类：①目标函数是线性的；②目标函数是非线性的；③已知最优解求参数，处理时要注意搞清是哪种类型，利用数形结合解决问题．
[典例1] (2018·吉林省实验中学模拟)已知x，y满足若z＝x＋2y有最大值4，则实数m的值为( )
A．－4 B．－2 C．－1 D．1
答案 B
解析 依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x＋2y＝4，如图所示，
结合图形可知，当且仅当直线2x－y＝m过直线x＋2y＝4与x＋y＝2的交点(0,2)时，才满足题意，于是有2×0－2＝m，即m＝－2，选B.
[典例2] (2018·全国卷Ⅲ)若变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是________．
答案 3
解析 作出可行域如图阴影部分．
由图可知目标函数在直线x－2y＋4＝0与x＝2的交点(2,3)处取得最大值3.
