辽宁省丹东市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

辽宁省丹东市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

丹东市 2018-2019 学年度下学期期末教学质量监测高一数学 一、选择题：本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.实数数列 为等比数列，则 （ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由等比数列的性质计算，注意项与项之间的关系即可． 【详解】由题意 ， ，又 与 同号，∴ ． 故选 B． 【点睛】本题考查等比数列的性质，解题时要注意等比数列中奇数项同号，偶数项同号． 2.已知 ，向量 ，则向量 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由向量减法法则计算． 【详解】 ． 故选 A． 【点睛】本题考查向量的减法法则，属于基础题． 3.为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上的所有的点（ ） A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位 【答案】D 21, ,4,a b a = 2± 2 2± 2 1 4 4a = × = 2a = ± a 2b 2a = (3,1)AB = ( 4, 3)AC = − − BC = ( 7, 4)− − (7,4) ( 1, 2)− − (1,2) ( 4, 3) (3,1) ( 7, 4)BC AC AB= − = − − − = − −   sin(2 )5y x π= − sin 2y x= 5 π 5 π 10 π 10 π 【解析】 【分析】 把系数 2 提取出来，即 即可得结论． 【详解】 ，因此要把 图象向右平移 个单位． 故选 D． 【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换．要注意平移变换是 加减平移单位，即 向右平移 个单位得图象的解析式为 而不是 ． 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 把角及函数名称变换为可用公式的形式． 【 详 解 】 ． 故选 C． 【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式，解题关键是把函数名称和角变换成所用公式的形 式．不同的变换所用公式可能不同． 5.在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 2 张，若事件“2 张全是移动卡” 的概率是 ，那么概率是 的事件是（ ） A. 2 张恰有一张是移动卡 B. 2 张至多有一张是移动卡 C. 2 张都不是移动卡 D. 2 张至少有一张是移动卡 【答案】B sin(2 ) sin[2( )]5 10y x x π π= − = − sin(2 ) sin[2( )]5 10y x x π π= − = − sin 2y x= 10 π x siny xω= ϕ sin ( )y xω ϕ= − sin( )y xω ϕ= − sin54 sin 66 cos126 sin 24+ =    3 2 − 1 2 − 1 2 3 2 sin54 sin 66 cos126 sin 24+ =    sin54 cos24 cos54 sin 24 sin((54 24 )° °− ° ° = °− ° 1sin30 2 = ° = 3 10 7 10 【解析】 【分析】 概率 的事件可以认为是概率为 的对立事件． 【详解】事件“2 张全是移动卡”的概率是 ，它的对立事件的概率是 ，事件为“2 张不 全是移动卡”，也即为“2 张至多有一张是移动卡”． 故选 B． 【点睛】本题考查对立事件，解题关键是掌握对立事件的概率性质：即对立事件的概率和为 1． 6.已知 是非零向量，若 ，且 ，则 与 的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由 得 ，这样可把 且 表示出来． 【详解】∵ ，∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 故选 D． 【点睛】本题考查向量的数量积，掌握数量积的定义是解题关键． 7.已知 在角 终边上，若 ，则 （ ） A. B. -2 C. 2 D. 【答案】C 7 10 3 10 3 10 7 10 ,a b  3 2a b=  ( )a b b+ ⊥   a b 30 60 120 150 ( )a b b+ ⊥   ( ) 0a b b+ ⋅ =   a b⋅  b ( )a b b+ ⊥   22 ( ) 0a b b a b b a b b+ ⋅ = ⋅ + = ⋅ + =         2 a b b⋅ = −   2 3cos , 2 2 3 ba ba b a b b b −⋅< >= = = − ⋅        , 150a b< >= °  ( 1, )P t− α 2 5sin 5 α = t = 1 2 2± 【解析】 【分析】 由正弦函数的定义求解． 【详解】 ，显然 ，∴ ． 故选 C． 【点睛】本题考查正弦函数的定义，属于基础题．解题时注意 的符号． 8.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和 数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以 歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排 来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子 年龄为（ ） A. 8 岁 B. 11 岁 C. 20 岁 D. 35 岁 【答案】B 【解析】 【分析】 九个儿子的年龄成等差数列，公差为 3． 【详解】由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为 3．记最小的儿子年龄为 ，则 ，解得 ． 故选 B． 【点睛】本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解． 9.在 中， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 2 2 5sin 51 t t α = = + 0t > 2t = t 1a 9 1 9 89 3 2072S a ×= + × = 1 11a = ABC∆ 1cos 3A = 3AC AB= sinC = 1 3 3 3 6 3 2 2 3 求出 ，由余弦定理求得 与 的关系，再用正弦定理求解． 【详解】∵ ，∴ ． 又 ， ， 又 ，∴ ． 故选 A． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，解题关键 正确选用公式，要确定先用哪个公式，再 用哪个公式． 10.已知 ， ， ，则 （ ） A. B. C. -7 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】 把已知等式平方后可求得 ． 【详解】∵ ， ∴ ，即 ， ，∵ ，∴ ，∴ ， ， ∴ ． 故选 C． 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角和的正切公式，解题关键是把已知等式 平方，并把 1 用 代替，以求得 ． 二、多项选择填（每题 4 分，满分 12 分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题 是 sin A BC AB 1cos 3A = 2 2sin 3A = 2 2 2 2 2 212 cos 9 2 3 83BC AB AC AB AC A AB AB AB AB AB= + − ⋅ = + − ⋅ ⋅ = 2 2BC AB= sin sin BC AB A C = 1 2 2 1sin sin 3 32 2 ABC ABC = ⋅ = × = (0, )α π∈ 4 πα ≠ sin 2cos 2α α+ = tan( )4 πα + = 1 7 − 1 7 tanα sin 2cos 2α α+ = 2(sin 2cos ) 4α α+ = 2 2 2 2sin 4sin cos 4cos 4sin 4cosα α α α α α+ + = + 23sin 4sin cosα α α= (0, )α π∈ sin 0α ≠ 3sin α 4cosα= 4tan 3 α = 4 1tan tan 34tan( ) 744 1 tan tan 14 3 παπα πα ++ + = = = − − − 2 2sin cosα α+ tanα 目要求的） 11.某赛季甲乙两名篮球运动员各 6 场比赛得分情况如下表： 场次 1 2 3 4 5 6 甲得分 31 16 24 34 18 9 乙得分 23 21 32 11 35 10 则下列说法正确的是（ ） A. 甲运动员得分的极差小于乙运动员得分的极差 B. 甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数 C. 甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值 D. 甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 【答案】BD 【解析】 【分析】 按所给数据计算两人的极差，中位数，平均值，和方差． 【详解】由题意甲的极差为 34－9＝25，中位数是 21，均值为 22，方差为 ， 同样乙的极差为 35－10＝25，中位数是 22，均值为 22，方差为 ＝ ． 比较知 BD 都正确， 故答案为 BD． 【点睛】本题考查样本的数据特征，掌握极差、中位数、均值、方差等概念是解题基础，本 题属于基础题． 12.已知数列 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 2 75s = 2s乙 189 3 { }na 1{ } na 2 2log ( )na 1{ }n na a ++ 1 2{ }n n na a a+ ++ + 【解析】 【分析】 主要分析数列中的项是否可能为 0，如果可能为 0，则不能是等比数列，在不为 0 时，根据等 比数列的定义确定． 【详解】 时， ，数列 不一定是等比数列， 时， ，数列 不一定是等比数列， 由等比数列的定义知 和 都是等比数列． 故选 AD． 【点睛】本题考查等比数列的定义，掌握等比数列的定义是解题基础．特别注意只要数列中 有一项为 0，则数列不可能是等比数列． 13.已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的值域为 C. 在区间 上单调递增 D. 的图象关于 中心对称 【答案】CD 【解析】 【分析】 根据三角函数的性质进行判断．A 根据周期的定义判断；B 可求出值域，也可说明 1 或－1 取 不到；C 化简函数 ，结合正弦函数的单调性判断；D 根据对称性证明． 【详解】 ， 不是函数的周期，A 错； 当 时， ，当 时， ，因为 ，∴ ， ∴ 的值域为 ，B 错； 当 时， ，单调递增，C 正确； 1na = 2 2log ( ) 0na = 2 2{log ( ) }na 1q = − 1 0n na a ++ = 1{ }n na a ++ 1{ } na 1 2{ }n n na a a+ ++ + ( ) tan cosf x x x= ( )f x π ( )f x [ 1,1]− ( )f x ( , )2 π π ( )f x ( ,0)2 π ( )f x ( ) tan( ) cos( ) tan cosf x x x x xπ π π+ = + + = − π tan 0x ≥ ( ) sinf x x= tan 0x < ( ) sinf x x= − cos 0x ≠ sin 1x ≠ ± ( )f x ( 1,1)− ( , )2x π π∈ ( ) sinf x x= − ( ) tan( ) cos( ) tan[ ( )] cos[ ( )]2 2 2 2 2f x x x x x π π π π ππ π− = − − = − − − − − − ，∴函数 的图象关于点 成中心对称．D 正确， 故选 CD． 【点睛】本题考查三角函数的性质，考查周期性，对称性，单调性．需对每一个命题进行判 断才能得出正确结论．本题有一定的难度．函数图象的对称的结论：若 满足 ，则函数 图象关于直线 对称，若 ， 则函数 图象关于点 成中心对称． 三、填空题（每题 4 分，满分 16 分，将答案填在答题纸上） 14.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 0.3，甲获胜的概率是 0.2，则乙获胜的概率为 __________；乙不输的概率为__________． 【答案】 (1). 0.5 (2). 0.8 【解析】 【分析】 甲获胜，乙获胜，两人和棋是三个互斥事件，它们的和是一个必然事件． 【详解】由于一局棋要么甲获胜，要么乙获胜，要么两人和棋， 因此乙获胜的概率为 ，乙不输的概率为 （或 ） 故答案为 0.5；0.8． 【点睛】本题考查互斥事件的概率，属于基础题． 15.如图，已知函数 的部分图象，则 __________； __________． tan( ) cos( ) ( )2 2 2x x f x π π π= − + + = − + ( )f x ( ,0)2 π ( )f x ( ) ( )f a x f b x+ = − ( )f x 2 a bx += ( ) ( )f a x f b x+ = − − ( )f x ( ,0)2 a b+ 1 0.3 0.2 0.5− − = 0.5 0.3 0.8+ = 1 0.2− ( ) 2sin( )( 0)f x xω ϕ ω= + > ω = (0)f = 【答案】 (1). 2 (2). 【解析】 【分析】 由图象确定周期，然后求出 ，再代入点的坐标可求得 ． 【详解】由题意周期为 ，∴ ， 又 ，取 ，即 ， ∴ ． 故答案为 2； ． 【点睛】本题考查三角函数 的图象与性质．由图象确定解析式，可由最 大值和最小值确定 ，由“五点法”确定周期，从而可确定 ，最后由特殊值确定 ． 16.数列 中， ， ，则 __________； __________. 【答案】 (1). 120 (2). 【解析】 【分析】 由递推公式归纳出通项公式 ，用裂项相消法求数列 的和． 【详解】∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 3 ω ϕ 74 ( )12 3T π π π= × − = 2 2T πω = = 72sin(2 ) 212 π ϕ× + = − 3 πϕ = ( ) 2sin(2 )3f x x π= + (0) 2sin 33f π= = 3 ( ) sin( )f x A xω ϕ= + A ω ϕ { }na 1 1a = 1 1n na a n+ = + + 15a = 1 2 3 15 1 1 1 1 a a a a + + + + = 15 8 na 1{ } na 1 1a = 1 1n na a n+ = + + 1 2 ( 1)( 1) 1 2 2n n n n na a n a n n n− − += + = + − + = = + + + =  15 15 16 1202a ×= = 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 3 ( 1)na a a n n + + + = + + +× × +  1 1 1 1 12[(1 ) ( ) ( )]2 2 3 1n n = − + − + + − + 1 22(1 )1 1 n n n = − =+ + ∴ ． 故答案为 120； ． 【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式，考查裂项相消法求．解题时由递推式进行 迭代后可得数列通项形式，从而由等差数列前 和公式求得 ． 17.如图，在 中， ， 是 的平分线，若 ， ，则 __________； __________. 【答案】 (1). (2). 15 【解析】 【分析】 先求 的余弦值，然后由诱导公式求得 ，再在直角 中求得 ，然后 求得 ． 【详解】记 ，则由 得 ， ，∴ ， ∴ ， 又 ，∴ ，即 ， ， 又 ， ． 故答案为 ；15． 【点睛】本题考查二倍角公式，考查解直角三角形．本题关键是利用直角三角形得出要求 只要求 ，这样结合二倍角公式得解法． 1 2 15 1 1 1 2 15 15 16 8a a a ×+ + + = = 15 8 n na ABC∆ 90C = ∠ AD BAC∠ 7sin 18B = 7AD = sin ADB∠ = AB = 5 6 BAD∠ sin ADB∠ ADC∆ AC AB BAD∠ =α 90C∠ = ° 7cos2 sin 18Bα = = 2 7cos2 2cos 1 18 α α= − = 5cos 6 α = 5sin sin cos cos 6ADB ADC DAC α∠ = ∠ = ∠ = = 7AD = sin ACADC AD ∠ = 5 7 6 AC = 35 6AC = sin ACB AB = 35 18 15sin 6 7 ACAB B = = × = 5 6 sin ADB∠ cos DAC∠ 四、解答题：共 82 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.在直角坐标系 中， ， ，点 在直线 上. （1）若 三点共线，求点 的坐标； （2）若 ，求点 的坐标. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1） 三点共线，则有 与 共线，由向量共线的坐标运算可得 点坐标； （2） ，则 ，由向量数量积的坐标运算可得 【详解】设 ，则 ， （1）因为 三点共线，所以 与 共线， 所以 ， ，点 的坐标为 . （2）因为 ， 所以 ，即 ， ，点 的坐标为 . 【点睛】本题考查向量共线和向量垂直的坐标运算，属于基础题． 19.记 为等差数列 的前 项和，已知 ， . （1）求 的通项公式； （2）求 ，并求 的最小值. 【答案】（1） ；（2） ， . 【解析】 【分析】 （1）先求出公差 和首项 ，可得通项公式； xOy ( 1,4)A − ( 4,1)B − C 1x = , ,A B C C 90BAC∠ =  C (1,6) (1,2) , ,A B C AB AC C 90BAC∠ =  0AB AC⋅ =  (1, )C y ( 3, 3)AB = − − (2, 4)AC y= − , ,A B C AB AC ( 3) 2 ( 3) ( 4)y− × = − × − 6y = C (1,6) 90BAC∠ =  0AB AC⋅ =  ( 3) 2 ( 3) ( 4) 0y− × + − × − = 2y = C (1,2) nS { }na n 3 6a = − 7 28S = − { }na nS nS 2 12na n= − 2 2 12111 ( 5.5) 4nS n n n= − = − − 30− d 1a （2）由（1）可得前 项和 ，由二次函数性质可得最小值（只要注意 取正整数）． 【详解】（1）设 的公差为 ， 由题意得 ， ， 解得 ， . 所以 的通项公式为 . （2）由（1）得 因为 所以当 或 时， 取得最小值，最小值为-30. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前 项和公式，方法叫基本量法． 20. 内角 的对边分别为 ，已知 . （1）求 ； （2）若 ， ，求 的面积. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）应用正弦的二倍角公式结合正弦定理可得 ，从而得 ． （2）用余弦定理求得 ，再由三角形面积公式可得三角形面积． 【详解】（1）因为 ， 由正弦定理 ， 因为 ， ， 所以 . 因为 ， 所以 . n nS n { }na d 1 2 6a d+ = − 17( 3 ) 28a d+ = − 1 10a = − 2d = { }na 2 12na n= − 2 2( 10 2 12) 12111 ( 5.5)2 4n n nS n n n − + −= = − = − − *n N∈ 5n = 6n = nS n ABC∆ , ,A B C , ,a b c 3 sin sin 2a C c A⋅ = ⋅ A 7a = 2 3b = ABC∆ 6 π 5 3 2 cos A A c 3 sin sin 2a C c A⋅ = ⋅ 3sin sin sin sin 2A C C A⋅ = ⋅ sin 2 2sin cosA A A= sin sin 0A C ≠ 3cos 2A = 0 A π< < 6A π= （2）因为 ， ， ， 由余弦定理 得 ， 解得 或 ，均适合题. 当 时， 的面积为 . 当 时， 的面积为 . 【点睛】本题考查二倍角公式，正弦定理，余弦定理，考查三角形面积公式．三角形中可用 公式很多，关键是确定先用哪个公式，再用哪个公式，象本题第（2）小题选用余弦定理求出 ，然后可直接求出三角形面积，解法简捷． 21.设函数 . （1）已知 图象的相邻两条对称轴的距离为 ，求正数 的值； （2）已知函数 在区间 上是增函数，求正数 的最大值. 【答案】（1）1；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由二倍角公式可化函数 为 ，结合正弦函数的性质可得； （2）先求得 的增区间 ，其中 ，此区间应包含 ，这样可得 之间的不等关系，利用 ＞0，得 的范围，从而得 ，最终 可得 的最大值． 详解】解法 1： （1） 【 7a = 2 3b = 6A π= 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 6 5 0c c− + = 1c = 5c = 1c = ABC∆ 1 3sin2 2S bc A= = 5c = ABC∆ 1 5 3sin2 2S bc A= = c 2( ) 4sin ( )sin cos24 2 xf x x x π ω ω ω= + + ( )f x π ω ( )f x 2[ , ]4 3 π π− ω 3 4 ( )f x 2sin 1xω + ( )f x 2 2,2 2 k kπ π π π ω ω ω ω  − +   k Z∈ 2[ , ]4 3 π π− ,k ω ω k 0k = ω 1 cos( )2( ) 4 sin cos22 x f x x x π ω ω ω − + = × × + 22sin 2sin cos2x x xω ω ω= + + 2sin 1xω= + 因为 图象的相邻两条对称轴的距离为 ， 所以 的最小正周期为 ，所以正数 . （2）因为 ，所以由 得 单调递增区间为 ，其中 . 由题设 ，于是 ，得 因为 ，所以 ， ，因为 ，所以 ，所以 ， 正数 的最大值为 . 解法 2： （1）同解法 1. （2）当 时， 因为 在 单调递增，因为 ，所以 于是 ，解得 ，故正数 的最大值为 . 【点睛】本题考查二倍角公式，考查三角函数的性质．解题关键是化函数为一个角的一个三 角函数形式，即 形式，然后结合正弦函数的性质求解． 22.某“双一流 A 类”大学就业部从该校 2018 年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了 100 人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币 1.65 ( )f x π ( )f x 2π 1ω = 0>ω 2 22 2k x k π ππ ω π− ≤ ≤ + ( )f x 2 2,2 2 k kπ π π π ω ω ω ω  − +   k Z∈ 2 2 2, ,2 2 4 3 k kπ π π π π π ω ω ω ω    − + ⊇ −       2 2 4 2 2 2 3 k k π π π ω ω π π π ω ω  − ≤ −  + ≥ 8 2 33 4 k k ω ω ≤ − + ≤ + 0>ω 8 2 0 33 04 k k − + > + > 1 1 4 4k− < < k Z∈ 0k = 30 4 ω< ≤ ω 3 4 2,4 3x π π ∈ −   2,4 3x ωπ ωπω  ∈ −   2sin 1y x= + ,2 2 π π −   0>ω 2, ,4 3 2 2 ωπ ωπ π π   − ⊆ −       4 2 2 3 2 0 ωπ π ωπ π ω − ≥ −  ≤  >  30 4 ω< ≤ ω 3 4 ( ) sin( )f x A x mω ϕ= + + 万元到 2.35 万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图： （1）为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层抽样的方法从样本的前两组中抽出 6 人，各赠送一份礼品，并从这 6 人中再抽取 2 人，各赠送某款智能手机 1 部，求获赠智能手 机的 2 人月薪都不低于 1.75 万元的概率； （2）同一组数据用该区间的中点值作代表. （i）求这 100 人月薪收入的样本平均数 和样本方差 ； （ii）该校在某地区就业的 2018 届本科毕业生共 50 人，决定于 2019 国庆长假期间举办一次 同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案： 方案一：设 ，月薪落在区间 左侧的每人收取 400 元，月薪 落在区间 内的每人收到 600 元，月薪落在区间 右侧的每人收取 800 元. 方案二：按每人一个月薪水的 3%收取；用该校就业部统计的这 100 人月薪收入的样本频率进 行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？ 参考数据： . 【答案】（1） ；（2）（i）2， ；（ii）方案一. 【解析】 【分析】 （1）根据频率分布直方图求出前 2 组中的人数，由分层抽样得抽取的人数，然后把 6 人编号， 可写出任取 2 人的所有组合，也可得出获赠智能手机的 2 人月薪都不低于 1.75 万元的所有组 合，从而可计算出概率． （2）根据频率分布直方图计算出均值和方差，然后求出区间 ，结合频率分布直方图可计算 x 2s [ 0.018, 0.018)x s x sΩ = − − + + Ω Ω Ω 174 13.2≈ 2 3 0.0174 Ω 出两方案收取的费用． 【详解】（1）第一组有 人，第二组有 人. 按照分层抽样抽 6 人时，第一组抽 1 人，记 ，第二组抽 5 人，记为 ， ， ， ， . 从这 6 人中抽 2 人共有 15 种： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 获赠智能手机的 2 人月薪都不低于 1.75 万元的 10 种： ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 于是获赠智能手机的 2 人月薪都超过 1.75 万元的概率 . （2）（i）这 100 人月薪收入的样本平均数 和样本方差 分别是 ； （ii）方案一： 月薪落在区间 左侧收活动费用约为 （万元）； 月薪落在区间 收活动费用约为 （万元）； 月薪落在区间 右侧收活动费用约为 （万元）；、 因此方案一，这 50 人共收活动费用约为 3.01（万元）. 方案二：这 50 人共收活动费用约为 （万元）. 故方案一能收到更多 费用. 【点睛】本题考查频率分布直方图，考查分层抽样，考查古典概型．属于基础题．这类问题 在计算均值、方差时可用各组数据区间的中点处的值作为这组数据的估计值参与计算． 23.数列 的前 项和 . 为 的 0.2 0.1 100 2× × = 1.0 0.1 100 10× × = A B C D E F ( , )A B (A,C) ( , )A D ( , )A E ( , )A F ( , )B C ( , )B D ( , )B E ( , )B F ( , )C D ( , )C E ( , )C F ( , )D E ( , )D F ( , )E F ( , )B C ( , )B D ( , )B E ( , )B F ( , )C D ( , )C E ( , )C F ( , )D E ( , )D F ( , )E F 10 2 15 3P = = x 2s 0.02 1.7 0.10 1.8 0.24 1.9 0.31 2 0.2 2.1 0.09 2.2 0.04 2.3 2x = × + × + × + × + × + × + × = 2 2 2 2 2 2 2 20.02 (1.7 2) 0.10 (1.8 2) 0.24 (1.9 2) 0.31 (2 2) 0.2 (2.1 2) 0.09 (2.2 2) 0.04 (2.3 2)s = × − + × − + × − + × − + × − + × − + × − 0.0174= 1740.0174 0.132, [1.85, 2.15)100s = = = Ω = Ω (0.02 0.10) 400 50 10000 0.24+ × × ÷ = Ω (0.24 0.31 0.20) 600 50 10000 2.25+ + × × ÷ = Ω (0.09 0.04) 800 50 10000 0.52+ × × ÷ = 50 0.03 3x× ⋅ = { }na n 11 3n nS a= + （1）求 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 ，并求使 成立的实数 最小值. 【答案】（1） ；（2） ， . 【解析】 【分析】 （1）由已知可先求得首项 ，然后由 ，得 ，两式相减后可得数 列 递推式，结合 得数列 是等比数列，从而易得通项公式； （2）对数列 可用错位相减法求其和．不等式 恒成立，可转化为先求 的最大 值． 【详解】（1）由 得 . 由 ，可知 ， 可得 ，即 . 因为 ，所以 ，故 因此 是首项为 ，公比为 的等比数列， 故 . （2）由（1）知 . 所以 ① 两边同乘以 得 ② ①②相减得 的 { }na n nb na= { }nb n nT nT m≤ m 13 1 2 2 n na − = ⋅ −   2 2 1 3 3 2 n nT n  = − + −     3 2 1a 11 3n nS a= + 1 1 11 3n nS a+ += + 1a { }na { }nb nT m≤ nT 1 1 1 11 3a S a= = + 1 3 2a = 11 3n nS a= + 1 1 11 3n nS a+ += + 1 1 1 1 3 3n n na a a+ += − 12 n na a+ = − 1 0a ≠ 0na ≠ 1 1 2 n n a a + = − { }na 3 2 1 2 − 13 1 2 2 n na − = ⋅ −   13 1 2 2 n n nb − = ⋅ −   0 1 2 13 1 1 3 2 1 3 3 1 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 n n nT −× × ×       = − + − + − + + ⋅ −               1 2 − 1 2 31 3 1 1 3 2 1 3 3 1 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n n nT × × ×         − = − + − + − + + ⋅ −                   从而 于是 ， 当 是奇数时， ， 因为 ， 所以 . 当 是偶数时， 因此 . 因为 ， 所以 ， 的最小值为 . 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，前 项和公式，考查错位相减法求和．适用错位相减 法求和的数列一般是 ，其中 是等差数列， 是等比数列． 1 2 3 11 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 11 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n nT −           + = + − + − + − + + ⋅ − − ⋅ −                       13 3 1 1 3 3 12 2 2 2 12 2 21 2 n n n nT −   − ⋅ − −        = − ⋅ −  + 2 2 1 3 3 2 n nT n  = − + −     n 2 2 1 3 3 2 n nT n  = + +     2 2 13 02 n n nT T n + +  − = − <   1 3 2nT T≤ = n 2 2 1 2( )( )3 3 2 3 n nT n= − + < 3 2nT ≤ nT m≤ 3 2m ≥ m 3 2 n { }n na b { }na { }nb