河南省洛阳市2020届高三上学期尖子生第一次联考数学（文）试题

河南省洛阳市2020届高三上学期尖子生第一次联考数学（文）试题

洛阳市2019——2020学年上学期尖子生第一次联考高三 数学试题（文）‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.全集，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别解出集合A和B，再结合交集的概念和补集的概念得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 故答案为：A.‎ ‎【点睛】这个题目考查了集合的交集和补集的概念，属于基础题.‎ ‎2.已知复数满足，则（ ）‎ A. B. 5 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎,故选.‎ ‎3.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边与直线重合，且，又是角终边上一点，且(为坐标原点)，则 等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，根据，求得的值，即可求解得值，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边与直线重合，‎ 且，所以为第三象限角.‎ 又是角终边上一点，所以，‎ 再根据（为坐标原点），‎ 所以，则，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及其应用，其中解答熟练应用三角函数的定义，列出方程求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎4.已知等比数列中，，等差数列中，，则数列的前项和等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的性质可得，求得，得到，再由等差数列的前n项和，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】在等比数列中，满足，‎ 由等比数列的性质可得，即，所以，‎ 又由，所以 所以数列的前项和，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的性质，以及等差数列的前n项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎5.已知，，直线与函数，的图象都相切，且与图象的切点为，则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用导数求切线斜率,再根据点斜式方程得切线方程,最后根据判别式为零得结果.‎ ‎【详解】，‎ 直线是函数的图象在点处的切线，‎ 其斜率为（1），‎ 直线的方程为．‎ 又因为直线与的图象相切，‎ ‎，消去，可得，‎ 得△不合题意，舍去），‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义,考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识 的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎6.在内任取一个实数，设，则函数的图象与轴有公共点的概率等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 的图象与轴有公共点，或在内取一个实数，函数的图象与轴有公共点的概率等于，故选D.‎ ‎7.已知x，y满足条件(k为常数)，若目标函数z＝x＋3y的最大值为8，则k＝(　　)‎ A. －16 B. －6 C. - D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】由z＝x＋3y得y＝－x＋，先作出的图象，如图所示，‎ 因为目标函数z＝x＋3y的最大值为8，所以x＋3y＝8与直线y＝x的交点为C，解得C(2,2)，代入直线2x＋y＋k＝0，得k＝－6.‎ ‎8.若向量满足，，，的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造，得到四点共圆，结合图形，得到当线段为圆的直径时，此时最大，即可求解.‎ ‎【详解】如图所示，构造，‎ 因为，所以四点共圆，‎ 所以当线段为圆的直径时，此时最大，‎ 由余弦定理可得，‎ 所以，又由正弦定理可得，‎ 即的最大值2，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，正弦定理和余弦定理，以及四点共圆的应用，其中解答中构造出四点共圆，结合图形求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，构造思想的应用，属于中档试题.‎ ‎9.已知函数,若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 画出分段函数图象，原题意等价于函数的图象与有三个不同的交点。由图可解，注意y=1是一条渐近线。‎ ‎【详解】函数，作出函数图象，‎ 如图所示，方程有三个不同实数根，‎ 等价于函数的图象与有三个不同的交点，‎ 根据图象可知，当时，函数的图象与有三个不同的交点，‎ 方程有三个不同的实数根，的取值范围是，故选A．‎ ‎【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎10.已知数列的首项，前项和为，，，设，数列的前项和的范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过求解出通项公式，然后根据求解出通项公式，最后求解的前项和的范围.‎ ‎【详解】因为，所以，所以，即，且，所以且时符合，所以；‎ 因为，所以，所以，，‎ 所以，‎ 所以，令，‎ 所以，所以，‎ 所以是递减的，所以，所以，‎ 综上：，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项和求和的应用，难度较难.判断求和的结果的取值范围时，可以借助函数的思想，利用单调性去分析.‎ ‎11.已知函数是定义在上的偶函数，设函数的导函数为，若对任意都有成立，则（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设 在 上是增函数，易得 是偶函数，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性、函数与方程、函数与不等式、导数的应用，涉及函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先 在 上是增函数，易得 是偶函数，故选A.‎ ‎12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，是圆与位于轴上方的两个交点，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 连接,由双曲线的定义可得:, ,由,可得,在中,可得,在中,可得,由，可得,即有,可得,化为,得,解得 ,负值舍去,故选C. ‎ 点睛:本题考查双曲线的定义与离心率,属于中档题目.解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题,其关键是确立一个关于的方程或者不等式,再根据的等量关系消掉得到的关系式即可,建立方程或者不等式,要充分利用椭圆或双曲线的几何性质,点的坐标的范围等.‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知样本的平均数和方差分别是1和4，若的平均数和方差也是1和4，则__________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平均数与方差的线性变换先去计算的值，然后计算的值.‎ ‎【详解】因为的平均数为，所以的平均数为；因为的方差为，所以的方差为；所以，解得：或，所以.‎ ‎【点睛】本题考查平均数与方差的线性变换，难度一般.已知的平均数与方差为：，那么的平均数与方差为：.‎ ‎14.设定义在上的函数,给出以下四个论断：①的周期为； ②在区间上是增函数；③的图象关于点对称；④的图象关于直线对称.以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题（写成“”的形式）______________.（其中用到的论断都用序号表示）‎ ‎【答案】①④②③ 或①③②④‎ ‎【解析】‎ 若①成立，的周期为π，则；若④的图象关于直线对称.令时此时②的图像关于点（,0）对称成立；③在区间（,0）上是增函数成立；即①④②③；若①③成立可得，此时②在区间上是增函数成立，④的图象关于直线对称成立，故答案为①④②③‎ 或①③②④.‎ ‎15.已知椭圆与双曲线 有相同的焦点F1、F2，点P是两曲线的一个公共点，分别是两曲线的离心率，若PF1PF2，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推志出a12+a22=2c2，由此能求出4e12+e22的最小值．‎ ‎【详解】由题意设焦距为2c,椭圆长轴长为,双曲线实轴为2，‎ 令P在双曲线的右支上，‎ 由双曲线的定义，①‎ 由椭圆定义，②‎ 又∵PF1PF2，‎ ‎∴，③‎ ‎①2+②2,得，④‎ 将④代入③,得，‎ ‎∴.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线与椭圆离心率的计算，用到了双曲线和椭圆的定义及基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，属于中档题.‎ ‎16.已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3．则其外接球的体积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出示意图，利用体积最大时所处的位置，计算出球的半径从而算出球的体积.‎ ‎【详解】如图所示：‎ 设球心为，所在圆面的圆心为，则平面；因为，，所以是等腰直角三角形，所以是中点；所以当三棱锥体积最大时，为射线与球的交点，所以；因为，设球的半径为，所以，所以，解得：，所以球的体积为：.‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥的外接球的相关计算，难度较难.处理球的有关问题时要充分考虑到球本身的性质，例如：球心与小圆面圆心的连线垂直于小圆面.‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知分别是内角的对边，且满足： .‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)设，为的面积，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用正弦定理可得b2+c2﹣a2＝﹣bc，再由余弦定理计算可得所求角；‎ ‎（2）运用正弦定理求得b，c，由三角形的面积公式可得S，再由两角差的余弦公式和余弦函数的值域，即可得到所求最大值．‎ ‎【详解】(1)∵，‎ ‎∴根据正弦定理，知，即.‎ ‎∴由余弦定理，得.‎ 又，所以.‎ ‎(2)根据，及正弦定理 得，‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎∴ .‎ 故当时，取得最大值.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，以及余弦函数的值域，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎18.如图，在四棱锥E-ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3.‎ ‎（I）求棱锥C-ADE的体积；‎ ‎（II）求证：平面ACE⊥平面CDE；‎ ‎（III）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)存在，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）在中，，可得，由于平面，可得；（II）由平面，可得，进而得到平面，即可证明平面平面；（III）在线段上存在一点，使平面，．设为线段上的一点，且，过作交于点，由线面垂直的性质可得：．可得四边形是平行四边形，于是，即可证明平面 ‎【详解】（I）在Rt△ADE中，，因为CD⊥平面ADE，‎ 所以棱锥C-ADE的体积为.‎ ‎（II）因为平面，平面，所以.又因为，，所以平面，又因为平面，所以平面平面 ‎（III）在线段上存在一点F，且，使平面.‎ 解：设为线段上一点，且，过点作交于，则.‎ 因为平面，平面，所以，又因为 所以，，所以四边形是平行四边形，则.‎ 又因为平面，平面，所以平面.‎ 点睛：本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在，证明线面平行的几种常见形式：1、利用三角形中位线得到线线平行；2、构造平行四边形；3、构造面面平行.‎ ‎19.前些年有些地方由于受到提高的影响，部分企业只重视经济效益而没有树立环保意识,把大量的污染物排放到空中与地下,严重影响了人们的正常生活,为此政府进行强制整治，对不合格企业进行关闭,整顿,另一方面进行大量的绿化来净化和吸附污染物,通过几年的整治,环境明显得到好转,针对政府这一行为,老百姓大大点赞.‎ ‎（1）某机构随机访问50名居民，这50名居民对政府的评分(满分100分）如下表：‎ 分数 频数 ‎2‎ ‎3‎ ‎11‎ ‎14‎ ‎11‎ ‎9‎ 请在答题卡上作出居民对政府的评分频率分布直方图：‎ ‎（2）当地环保部门随机抽测了2019年6月的空气质量指数，其数据如下表：‎ 空气质量指数 ‎0—50‎ ‎50—100‎ ‎100—150‎ ‎150—200‎ 天数 ‎2‎ ‎18‎ ‎8‎ ‎2‎ 用空气质量指数的平均值作为该月空气质量指数级别，求出该月空气质量指数级别为第几级？(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率)(相关知识参见附表）‎ ‎（3）空气受到污染，呼吸系统等疾病患者最易感染，根据历史经验，凡遇到空气轻度污染，小李每天会服用有关药品花费50元，遇到中度污染每天服药的费用达到100元.环境整治前的2015年11月份小李因受到空气污染患呼吸系统等疾病花费了5000元，试估计2019年11月份（参考（2）中表格数据）小李比以前少花了多少钱的医药费？‎ 附：‎ 空气质量指数 ‎0-50‎ ‎50-100‎ ‎100-150‎ ‎150-200‎ ‎200-300‎ ‎>300‎ 空气质量指数级别 I II III IV V VI 空气质量指数 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 ‎【答案】（1）直方图见解析；（2）第Ⅱ级；（3）4400元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算出每组频率除以组距的值做为纵轴的数值；（2）利用组中值计算出平均值，根据表格判断空气质量指数级别为第几级；（3）根据（2）中表格数据，计算出轻度污染和重度污染对应的服药费用总和，然后和以前的费用做对比去计算少花的钱.‎ ‎【详解】（1）由评分表可知，相应区间频率除以组距的值分别为0.008，0.012，0.044，0.056，0.044，0.036，其频率分布直方图如图所示：‎ ‎（2）由题得，该月空气质量指数平均值为.‎ 对照表格可知，该月空气质量指数为第Ⅱ级，属于良.‎ ‎（3）估计2019年11月份轻度污染有8天，中度污染有2天，‎ 所以小李花费的药费为 元.‎ 又元，所以相比2015年11月份，‎ 小李少花费了4400元的医药费.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，难度一般.注意频率分布直方图的纵轴表示的数值是频率除以组距，不是频率，这一点要注意.‎ ‎20.已知两点，，动点与两点连线的斜率满足.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）是曲线与轴正半轴的交点，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（）；（2）存在，3个.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求动点的轨迹方程的一般步骤：1．建系——建立适当的坐标系．2．设点——设轨迹上的任一点P（x，y）．3．列式——列出动点P所满足的关系式．4．代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．5．证明——证明所求方程即为符合条件的动点的轨迹方程；（2）由题意可知设所在直线的方程为，则所在直线的方程为分别联立椭圆方程求得弦长，,再由得解方程即可.‎ ‎【详解】（1）设点的坐标为（）,则,, ‎ 依题意,所以,化简得, ‎ 所以动点的轨迹的方程为（）. ‎ 注:如果未说明（或注）,扣1分.‎ ‎（2）设能构成等腰直角,其中为,‎ 由题意可知,直角边,不可能垂直或平行于轴,‎ 故可设所在直线的方程为,‎ ‎（不妨设）,则所在直线的方程为,‎ 联立方程,消去整理得,解得,‎ 将代入可得,故点的坐标为.‎ 所以,‎ 同理可得,由,得,‎ 所以,整理得,‎ 解得或,‎ 当斜率时,斜率；‎ 当斜率时,斜率；‎ 当斜率时,斜率,‎ 综上所述,符合条件的三角形有个. ‎ 考点：圆锥曲线的综合应用 ‎21.已知函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求函数的单调区间：‎ ‎（Ⅱ）求函数的极值；‎ ‎（Ⅲ）若函数有两个不同的零点，求a的取值范围。‎ ‎【答案】（Ⅰ）单调减区间为（1，+） ，增区间为（0,1）; （Ⅱ）见解析（Ⅲ）a>1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）当a=1, f′（x）=,解f′（x）<0和f′（x）>0确定单调区间；（Ⅱ）f′（x），讨论a≤0和a＞0时f′（x）的符号，确定单调性和极值；（Ⅲ）由（Ⅱ）知当 a≤0时，f(x)至多有一个零点，舍去；当a＞0时，函数的极小值为f(a)=设函数g(x)=lnx+x-1，求导确定g（x）：当01时，g(x)>0，分情况讨论：当01时，由零点存在定理确定（）和（a,3a-1）各有一个零点，则a可求 ‎【详解】（Ⅰ）当a=1时,, f′（x）=‎ 当f′（x）<0时，x>1; f′（x）>0时，00，当x＞a时，f′（x）<0，‎ 此时f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减；‎ ‎∴当x=a时，函数的极大值为f(a)=，无极小值 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可知 当 a≤0时，f（x）在（0，+∞）递减，则f(x)至多有一个零点，不符合题意，舍去；‎ 当a＞0时，函数的极小值为f(a)=，‎ 令g(x)=lnx+x-1(x>0)‎ ‎∵ ∴g(x)在（0，+∞）单调递增，又g(1)=0, ∴01时，g(x)>0‎ ‎(i) 当01时，f(a)=ag(a)>0‎ ‎∵∴函数f(x)在（）内有一个零点，‎ ‎∵f(3a-1)=aln(3a-1)-‎ 设h(x)=lnx-x(x>2)‎ ‎∵ ∴h(x)在（2，+∞）内单调递减，则h(3a-1)1时，函数f(x)恰有两个零点 综上，函数有两个不同的零点时，a>1‎ ‎【点睛】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的零点个数的判断，函数的最值的应用，考查分析问题解决问题的能力．‎ 选考部分：请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.‎ ‎ 选修4-4；坐标系与参数方程 ‎22.在平而直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为 ，曲线的极坐标方程为 ‎（1）求曲线和的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点是曲线上一点、分别是和上的点，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；；；（2）15.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由曲线参数方程消去参数可得曲线普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线和的直角坐标方程.‎ ‎（2）由双曲线的定义可得，由点是曲线上一点、分别是和上的点，得到，，即可求解 的最大值.‎ ‎【详解】（1）由曲线的方程为（为参数），消去参数可得曲线的方程为，‎ 由曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程，‎ 根据极坐标与直角坐标的互化公式，且，‎ 可得曲线直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由（1）知双曲线，则，，可得，‎ 所以，，‎ 由双曲线的定义，可得，‎ 因为点是曲线上一点、分别是和上的点，‎ 可得，，‎ 所以，‎ 所以的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及双曲线的定义和圆的性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎ 选修4-5；不等式选讲 ‎23.设函数，恒成立.‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）求证：‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由恒成立，转化为恒成立，令，求得函数的最大值，得到的不等式，即可求解.‎ ‎（2）转化为证明，利用基本不等式，即可作出证明.‎ ‎【详解】（1）由题意知恒成立，即恒成立，‎ 即恒成立.‎ 令 可得函数在上是增函数，在上是减函数，‎ 所以，则，‎ 即，整理得，解得，‎ 综上实数取值范围是.‎ ‎（2）由，知，‎ 即，‎ 所以要证，‎ 只需证，‎ 即证，‎ 又 ‎，‎ 成立.‎ ‎【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的恒成立问题，以及基本不等式的应用，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题，以及合理使用基本不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎ ‎