陕西省榆林市第二中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题

陕西省榆林市第二中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题

榆林市第二中学2019--2020学年度第一学期第一次月考高二年级数学试题 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1.已知数列，则5是这个数列的 A. 第12项 B. 第13项 C. 第14项 D. 第25项 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知的数列通项公式，列方程求出项数.‎ ‎【详解】已知数列的通项公式为，‎ 由，解得，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查数列通项公式应用，属于基础题.‎ ‎2.数列，，，，，，的一个通项公式为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先注意到数列的奇数项为负，偶数项为正，其次数列各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，从而易求出其通项公式．‎ ‎【详解】∵数列{an}各项值为，，，，，，‎ ‎∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，‎ ‎∴|an|＝2n﹣1‎ 又∵数列的奇数项为负，偶数项为正，‎ ‎∴an＝（﹣1）n（2n﹣1）．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题给出数列的前几项，猜想数列的通项，挖掘其规律是关键．解题时应注意数列的奇数项为负，偶数项为正，否则会错．‎ ‎3.在△ABC中，，则b=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用三角形内角和定理求得角，然后用正弦定理求得的值.‎ ‎【详解】由三角形内角和定理得，由正弦定理得，解得.故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角形内角和定理，考查利用正弦定理解三角形.三角形内角和定理往往是题目的隐藏条件，需要在做题时想到.本题属于基础题.‎ ‎4.在等差数列中，若，是方程的两根，则的前11项的和为（ ）‎ A. 22 B. ‎-33 ‎C. -11 D. 11‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根,则a5＋a7＝2, S11＝=‎11 a6进而得到结果.‎ ‎【详解】等差数列{an}中，若a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根，‎ 则a5＋a7＝2，∴a6＝(a5＋a7)＝1，∴{an}的前11项的和为 S11＝＝‎11a6＝11×1＝11.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 点睛：本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.‎ ‎5.已知等比数列的公比， 则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把要求的代数式的分母提取，约分后可得答案．‎ ‎【详解】解：∵等比数列{an}的公比，‎ ‎∴，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的性质，是基础的计算题．‎ ‎6.在中，已知，则的外接圆直径是（　）‎ A. 10 B. ‎12 ‎C. 14 D. 16‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用正弦定理．‎ ‎【详解】解：的外接圆直径(其中R指半径), 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理，利用正弦定理求外接圆的直径，属基础题．‎ ‎7.在等差数列中，，，则的前10项和为（ ）‎ A. -80 B. ‎-85 ‎C. -88 D. -90‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用待定系数法可求出通项，于是可求得前10项和.‎ ‎【详解】设的公差为，则，，所以，，前10项和为.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，求和公式，比较基础.‎ ‎8.已知数列是等差数列，，则 (     )‎ A. 36 B. ‎30 ‎C. 24                          D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过等差中项的性质即可得到答案.‎ ‎【详解】由于，故，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质，难度较小.‎ ‎9.如果等差数列中，那么 ( )‎ A. 28 B. ‎21 ‎C. 35 D. 14‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差中项，进而可得结论．‎ ‎【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查等差中项的性质，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎10.己知数列是等比数列, 是和3的等差中项,则 (  )‎ A. 16 B. ‎8 ‎C. 2 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差中求出，由此利用等比数列通项式能求出的值 ‎【详解】解：∵数列是等比数列，1009是1和3的等差中项，‎ ‎∴，,‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的两项积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列、等差中项的性质的合理运用．‎ ‎11.已知等比数列公比为正数,且,则 (   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为，等比数列中，若，且，所以有，故选A．‎ 考点：等比数列的性质．‎ 点评：简单题，等比数列中，若．‎ ‎12.设等差数列的前项和为,若,则 (  )‎ A. 12 B. ‎8 ‎C. 20 D. 16‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 由等差数列的性质得：成等比数列，由此能求出的值．‎ ‎【详解】解：∵等差数列的前项和为，，‎ 由等差数列的性质得：‎ 成等比数列 又 ‎∴‎ ‎．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的四项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.已知数列的前项和，则数列的通项公式是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）当时，，（2）当时，不适合上式，.所以答案应填：．‎ 考点：求数列的通项公式．‎ ‎【易错点睛】解答本题的关键是，但这里，也就是说取从开始的正整数，学生易忽略使用的条件，直接下结论导致错误，漏掉求时的值，有的在求时的值时不是通过来求，而是把代入求得导致错误.本题主要考查数列递推式的知识，难度不大，属于基础题.‎ ‎14.在△ABC中 ，则 ___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理可设，利用余弦定理可求的值.‎ ‎【详解】因为，故设，‎ 所以，填.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题.‎ ‎15.等比数列的各项为正数，且，则_____.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得，从而，由此能求出结果．‎ ‎【详解】解：∵等比数列的各项均为正数，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．‎ ‎16.已知的内角所对的边分别为，若，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由得，故答案为.‎ 考点：正弦定理.‎ 三、解答题（本大题共6大题，共70分）‎ ‎17.记为等差数列的前项和，已知，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求，并求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2），.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）先求出公差和首项，可得通项公式；‎ ‎（2）由（1）可得前项和，由二次函数性质可得最小值（只要注意取正整数）．‎ ‎【详解】（1）设的公差为，‎ 由题意得，，‎ 解得，.‎ 所以的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）得 因为 所以当或时，取得最小值，最小值为-30.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，方法叫基本量法．‎ ‎18.已知等差数列满足：，．的前n项和为．‎ ‎（Ⅰ）求及；‎ ‎（Ⅱ）令（）,求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设等差数列的公差为，由已知可得 解得，则及可求；（2）由（1）可得，裂项求和即可 试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为，，所以有，‎ 解得，所以，.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即数列的前项和.‎ 考点：等差数列的通项公式，前项和公式．裂项求和 ‎19.在中，，，分别是角，，的对边，且，，．求：‎ ‎（）的值．‎ ‎（）的面积．‎ ‎【答案】（）；（）.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）由A与C度数求出B的度数，再由c及C的度数，利用正弦定理求出b的值即可；（2）由b，c及sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．‎ 详解：‎ ‎（）∵，，∴，‎ 又，，‎ ‎∴由正弦定理得：．‎ ‎（），，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎．‎ 点睛：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．‎ ‎20.已知数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式； ‎ ‎（2）记，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列．可得＝‎ ‎，解得，即可得出．‎ ‎（2），再利用错位相减法即可求得.‎ ‎【详解】解：（1）数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列．‎ ‎∴=，‎ ‎∴，解得． ‎ ‎∴数列的通项公式．‎ ‎（2）由（1）可得：，‎ ‎∴‎ 即 ‎ 在构造 ‎①式-②式得，‎ 得 ‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、错位相减法求前n项和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎21.已知数列的前n项和满足，其中. ‎ ‎（Ⅰ）证明：数列为等比数列；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系式，再根据等比数列定义证结论，（2）根据分组求和法（一个等比数列与一个等差数列和）求数列的前项和 详解：解：（Ⅰ），①‎ ‎∴当时，，解得；‎ 当时，，②‎ 由①-②得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 由得，‎ 故是首项为，公比为的等比数列．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ ‎∴，‎ 则的前项和，‎ ‎．‎ 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型　（如 ）‎ ‎22.要测量对岸两点A,B之间的距离，选取相距的C、D两点，并测得，求A、B两点之间的距离．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在△ACD中，计算AC，在△BCD中，求BC，在△ABC中，利用勾股定理，即可求得结论．‎ ‎【详解】在△ACD中，∵∠ACD=30°，∠ADC=105°，‎ ‎∴∠DAC=180°-30°-105°=45°，‎ 由正弦定理得：，且CD=200，‎ ‎∴AD=．‎ 同理，在△BCD中，可得∠CBD=45°,‎ 由正弦定理得：，‎ ‎∴‎ ‎△ABD中，∠BDA=105°-15°=90°‎ 由勾股定理得：AB=，‎ 即A、B两点间的距离为．‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理的运用，考查勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．‎