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文档介绍
2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书:第四章 第7讲 解三角形的综合应用
第7讲 解三角形的综合应用 一、知识梳理 1.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图①). 2.方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②). 3.方向角 相对于某一正方向的水平角. (1)北偏东α,即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③). (2)北偏西α,即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向. (3)南偏西等其他方向角类似. 4.坡角与坡度 (1)坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ为坡角). (2)坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i为坡度).坡度又称为坡比. 常用结论 测量中的几种常见问题 求AB 图形 需要测量的元素 解法 求竖直高度 底部可达 ∠ACB=α BC=a 解直角三角形AB=atan α 底部不可达 ∠ACB=α ∠ADB=β CD=a 解两个直角三角形AB= 求水平距离 山两侧 ∠ACB=α AC=b BC=a 用余弦定理AB= 河两岸 ∠ACB=α ∠ABC=β CB=a 用正弦定理 AB= 河对岸 ∠ADC=α ∠BDC=β ∠BCD=δ ∠ACD=γ CD=a 在△ADC中, AC= 在△BDC中, BC= 在△ABC中,应用余弦定理求AB 二、教材衍化 1. 如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,则可以计算出A,B两点的距离为________m. 解析:由正弦定理得=,又因为∠B=30°, 所以AB===50(m). 答案:50 2.如图,在山脚A测得山顶P的仰角为30°,沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B,在B处测得山顶P的仰角为60°,则山高h=________米. 解析:由题图可得∠PAQ=α=30°, ∠BAQ=β=15°,△PAB中,∠PAB=α-β=15°, 又∠PBC=γ=60°, 所以∠BPA=(90°-α)-(90°-γ)=γ-α=30°, 所以=,所以PB=a, 所以PQ=PC+CQ=PB·sin γ+asin β =a×sin 60°+asin 15°=a. 答案:a 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向.( ) (2)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=180°.( ) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为.( ) (4)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( ) (5)方位角大小的范围是[0,2π),方向角大小的范围一般是[0,).( ) 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√ 二、易错纠偏 (1)方向角与方位角概念不清; (2)仰角、俯角概念不清; (3)不能将空间问题转化为解三角形问题. 1. 如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°的方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40°的方向上,则灯塔A相对于灯塔B的方向为( ) A.北偏西5° B.北偏西10° C.北偏西15° D.北偏西20° 解析:选B.易知∠B=∠A=30°,C在B的北偏西40°的方向上,又40°-30°=10°,故灯塔A相对于灯塔B的方向为北偏西10°. 2.在某次测量中,在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°,C点的俯角为70°,则∠BAC=________ 答案:130° 3.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,在炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部所连的线成30°角,则两条船相距________m. 解析:由题意画示意图,如图, OM=AOtan 45°=30(m), ON=AOtan 30°=×30=10(m), 在△MON中,由余弦定理得, MN===10(m). 答案:10 求距离、高度问题(师生共研) (1)(2020·福建宁德5月质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被誉为“ 地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上 已知最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A,B两点间的距离),现取两点C,D,测得CD=80,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则图中海洋蓝洞的口径为________. (2)(2020·吉林长春质量监测(四)) 《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作,现有取自其中的一个问题:今有望海岛,立两表,齐高三丈,前后相去千步,令后表与前表参相直,从前表却行一百二十三步,人目着地,取望岛峰,与表末参合,从后表却行一百二十七步,人目着地,取望岛峰,亦与表末参合,问岛高几何?其大意为:如图所示,立两个三丈高的标杆BC和DE,两标杆之间的距离BD=1 000步,两标杆的底端与海岛的底端H在同一直线上,从前面的标杆B处后退123步,人眼贴地面,从地上F处仰望岛峰,A,C,F三点共线,从后面的标杆D处后退127步,人眼贴地面,从地上G处仰望岛峰,A,E,G三点也共线,则海岛的高为______步.(注:1步=6尺,1里=180丈=1 800尺=300步) 【解析】 (1)由已知得,在△ACD中,∠ACD=15°,∠ADC=150°,所以∠DAC=15°, 由正弦定理得AC===40(+). 在△BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=135°, 所以∠DBC=30°, 由正弦定理=, 得BC===160sin 15°=40(-). 在△ABC中,由余弦定理,得AB2=1 600×(8+4)+1 600×(8-4)+2×1 600×(+)×(-)×=1 600×16+1 600×4=1 600×20=32 000, 解得AB=80. 故图中海洋蓝洞的口径为80. (2)因为AH∥BC,所以△BCF∽△HAF, 所以=. 因为AH∥DE,所以△DEG∽△HAG,所以=. 又BC=DE,所以=, 即=,所以HB=30 750步, 又=,所以AH==1 255(步). 【答案】 (1)80 (2)1 255 求距离、角度问题的注意事项 (1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可以用,就选择更便于计算的定理. 1. 如图,为了测量两座山峰上P,Q两点之间的距离,选择山坡上一段长度为300 m且和P,Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点,现测得∠PAB=90°,∠PAQ=∠PBA=∠PBQ=60°,则P,Q两点间的距离为________m. 解析:由已知,得∠QAB=∠PAB-∠PAQ=30°. 又∠PBA=∠PBQ=60°,所以∠AQB=30°,所以AB=BQ. 又PB为公共边,所以△PAB≌△PQB,所以PQ=PA. 在Rt△PAB中,AP=AB·tan 60°=900,故PQ=900, 所以P,Q两点间的距离为900 m. 答案:900 2.为了测量某新建的信号发射塔AB的高度,先取与发射塔底部B的同一水平面内的两个观测点C,D,测得∠BDC=60°,∠BCD=75°,CD=40 m,并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°,且CE=1 m,则发射塔高AB=________m. 解析: 如图,过点E作EF⊥AB,垂足为F,则EF=BC,BF=CE=1,∠AEF=30°. 在△BCD中,由正弦定理得, BC===20. 所以EF=20,在Rt△AFE中,AF=EF·tan∠AEF=20×=20, 所以AB=AF+BF=20+1(m). 答案:20+1 测量角度问题(师生共研) 在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向,相距12 n mile的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进,若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度,沿北偏东45°+α方向拦截蓝方的小艇,若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值. 【解】 如图,设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇, 则AC=14x,BC=10x,∠ABC=120°. 根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos 120°, 解得x=2.故AC=28,BC=20. 根据正弦定理得=, 解得sin α==. 所以红方侦察艇所需要的时间为2小时,角α的正弦值为. 测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解. [提醒] 方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必须先弄清楚是哪一个点的方向角. 已知在岛A南偏西38°方向,距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5小时能截住该走私船? 解:如图,设 缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上一点,缉私艇的速度为每小时x海里,则BC=0.5x,AC=5,依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°, 由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 120°, 所以BC2=49,所以BC=0.5x=7,解得x=14. 又由正弦定理得sin∠ABC===,所以∠ABC=38°,又∠BAD=38°,所以BC∥AD, 故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶,恰好用0.5小时截住该走私船. 求解几何计算问题(师生共研) (2020·湖南衡阳第三次联考)如图,在平面四边形ABCD中,0<∠DAB<,AD=2 ,AB=3,△ABD的面积为,AB⊥BC. (1)求sin∠ABD的值; (2)若∠BCD=,求BC的长. 【解】 (1)因为△ABD的面积S=AD×ABsin∠DAB=×2×3sin∠DAB=, 所以sin∠DAB=. 又0<∠DAB<,所以∠DAB=,所以cos∠DAB=cos=. 由余弦定理得BD==, 由正弦定理得sin∠ABD==. (2)法一:因为AB⊥BC,所以∠ABC=, sin∠DBC=sin=cos∠ABD= =. 在△BCD中,由正弦定理=可得CD==. 由余弦定理DC2+BC2-2DC·BCcos∠DCB=BD2, 可得3BC2+4BC-5=0,解得BC=或BC=-(舍去). 故BC的长为. 法二:因为AB⊥BC,所以∠ABC=, sin∠DBC=sin=cos∠ABD= =. cos∠DBC=cos=sin∠ABD=. sin∠BDC=sin(π-∠BCD-∠DBC) =sin=cos∠DBC-sin∠DBC=. 在△BCD中,由正弦定理=, 可得BC===. 求解该题第(2)问时易出现的问题是不能灵活利用“AB⊥BC”,将已知条件和第(1)问中所求值转化为△BCD内的边角关系.解决平面图形中的计算问题时,学会对条件进行分类与转化是非常重要的,一般来说,尽可能将条件转化到三角形中,这样就可以根据条件类型选用相应的定理求解.如该题中,把条件转化到△BCD中后,利用正弦定理和余弦定理就可以求出BC的长. 如图, 在平面四边形ABCD中,∠ABC为锐角,AD⊥BD,AC平分∠BAD,BC=2,BD=3+,△BCD的面积S=. (1)求CD; (2)求∠ABC. 解:(1)在△BCD中,S=BD·BC·sin∠CBD=, 因为BC=2,BD=3+, 所以sin∠CBD=. 因为∠ABC为锐角,所以∠CBD=30°. 在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos∠CBD=(2)2+(3+)2-2×2×(3+)×=9.所以CD=3. (2)在△BCD中,由正弦定理得=,即=,解得sin∠BDC=,因为BC查看更多