【数学】2018届一轮复习人教A版直线、平面平行的判定及其性质学案

【数学】2018届一轮复习人教A版直线、平面平行的判定及其性质学案

‎　‎ ‎1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．‎ ‎2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题．‎ 知识点一　　直线与平面平行 ‎ ‎1．判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行．‎ ‎⇒a∥α ‎　　2.性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．‎ ⇒a∥b 答案 ‎1．a⊄α　b⊂α　b∥a ‎2．a∥α　a⊂β　α∩β＝b ‎1．已知直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线有________条．‎ 解析：由线面平行的性质可得．‎ 答案：1‎ ‎2．在下图所示的正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P为所在棱的中点，则直线AB与平面PNM的位置关系是________．‎ 解析：在正方体中，AB是正方体的对角线，M，N，P为所在棱的中点，取MN的中点F，连接PF，则易知PF∥AB，故由线面平行的判定定理可知直线AB与平面PNM平行．‎ 答案：平行 知识点二　平面与平面平行 ‎ ‎1．判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内有两条____直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．‎ ⇒α∥β ‎　　2.两平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面____，那么它们的______平行．‎ ⇒a∥b 答案 ‎1．相交　a⊂α　b⊂α　a∩b＝P　a∥β　b∥β ‎2．相交　交线　α∥β　α∩γ＝a　β∩γ＝b ‎3．判断正误 ‎(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　　)‎ ‎(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　　)‎ ‎(3)设l为直线，α，β是两个不同的平面，若l∥α，l∥β，则α∥β.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)×‎ ‎4．下列条件中，能判断两个平面平行的是(　　)‎ A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 答案：D ‎5．已知平面α∥β，直线a⊂α，有下列说法：‎ ‎①a与β内的所有直线平行；‎ ‎②a与β内无数条直线平行；‎ ‎③a与β内的任意一条直线都不垂直．‎ 其中真命题的序号是________．‎ 解析：由面面平行的性质可知，过a与β相交的平面与β的交线才与a平行，故①错误；②正确；平面β内的直线与直线a平行，异面均可，其中包括异面垂直，故③错误．‎ 答案：②‎ 热点一　直线与平面平行的判定与性质 ‎ 直线与平面平行的判定与性质是高考考查平行关系的一个重要考向，常与线线平行、面面平行及垂直关系综合出现在解答题中，考查线面平行的判定定理与性质定理在证明中的应用．‎ 考向1　直线与平面平行的判定 ‎【例1】　如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．‎ 求证：GF∥平面ADE.‎ ‎【证明】　‎ 证法1：如图，取AE的中点H，连接HG，HD，‎ 又G是BE的中点，所以GH∥AB，且GH＝AB.‎ 又F是CD的中点，所以DF＝CD.‎ 由四边形ABCD是矩形得，‎ AB∥CD，AB＝CD，‎ 所以GH∥DF，且GH＝DF，‎ 从而四边形HGFD是平行四边形，‎ 所以GF∥DH.‎ 又DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，‎ 所以GF∥平面ADE.‎ 证法2：如图，取AB的中点M，连接MG，MF.‎ 又G是BE的中点，可知GM∥AE.又AE⊂平面ADE，GM⊄平面ADE，‎ 所以GM∥平面ADE.在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得MF∥AD.‎ 又AD⊂平面ADE，MF⊄平面ADE.‎ 所以MF∥平面ADE.‎ 又因为GM∩MF＝M，GM⊂平面GMF，MF⊂平面GMF，所以平面GMF∥平面ADE.‎ 因为GF⊂平面GMF，‎ 所以GF∥平面ADE.‎ ‎【总结反思】‎ 证明直线与平面平行，一般有以下几种方法 ‎(1)若用定义直接判定，一般用反证法．‎ ‎(2)用判定定理来证明，关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程．‎ ‎(3)应用两平面平行的一个性质，即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面.‎ 如图所示，斜三棱柱ABC－A1B‎1C1中，点D，D1分别为AC，A‎1C1上的中点．‎ ‎(1)证明：AD1∥平面BDC1；‎ ‎(2)证明：BD∥平面AB1D1.‎ 证明：(1)∵D1，D分别为A‎1C1与AC的中点，四边形ACC‎1A1为平行四边形，∴C1D1綊DA，∴四边形ADC1D1为平行四边形，∴AD1∥C1D，‎ 又AD1⊄平面BDC1，C1D⊂平面BDC1，‎ ‎∴AD1∥平面BDC1.‎ ‎(2)连接D1D，‎ ‎∵D1，D是A‎1C1，AC的中点，∴易知在▱A1ACC1中D1D綊A‎1A，‎ 又∵在▱A1ABB1中A‎1A綊B1B，‎ ‎∴B1B綊D1D.‎ 故四边形BDD1B1为平行四边形，‎ ‎∴BD∥B1D1，‎ 又BD⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，‎ ‎∴BD∥平面AB1D1.‎ 考向2　直线与平面平行的性质 ‎【例2】　如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.‎ ‎(1)证明：GH∥EF；‎ ‎(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．‎ ‎【解】　(1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC⊂‎ 平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC，同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.‎ ‎(2)连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK，‎ 因为PA＝PC，点O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD，‎ 又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，‎ 所以PO⊥底面ABCD，‎ 又因为平面GEFH⊥平面ABCD，‎ 且PO⊄平面GEFH，‎ 所以PO∥平面GEFH，‎ 因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，‎ 所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，从而GK⊥EF，所以GK是梯形GEFH的高，由AB＝8，EB＝2得EBAB＝KBDB＝14，从而KB＝BD＝OB，即点K是OB的中点．‎ 再由PO∥GK得GK＝PO，即点G是PB的中点，同理GH＝BC＝4，‎ 由已知可得OB＝4，PO＝＝＝6，所以GK＝3，‎ 故四边形GEFH的面积 S＝·GK＝×3＝18.‎ ‎【总结反思】‎ 线面平行的性质定理是用来证明线线平行的，其关键是转化为该线与过该线的一个平面与该平面的交线平行.‎ ‎(2017·云南第一次检测)在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．‎ 解析：‎ 取AC的中点G，连接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，故AC⊥平面SGB，‎ 所以AC⊥SB.‎ 因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，‎ 则SB∥HD.‎ 同理SB∥FE.‎ 又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也为AS，SC的中点，从而得HF綊AC綊DE，所以四边形DEFH为平行四边形．‎ 又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，‎ 所以DE⊥HD，‎ 所以四边形DEFH为矩形，其面积S＝HF·HD＝·＝.‎ 答案： 热点二 平面与平面平行的判定与性质 ‎ 平面与平面的平行是线、面位置关系中重要的一环，是高考的重要内容，主要体现在以下两个方面：‎ 考向1　平面与平面平行的判定 ‎【例3】　如图所示，已知ABCD－A1B‎1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B‎1G＝1，H是B‎1C1的中点．‎ ‎(1)求证：E、B、F、D1四点共面；‎ ‎(2)求证：平面A1GH∥平面BED‎1F.‎ ‎【证明】　(1)连接FG.‎ ‎∵AE＝B‎1G＝1，∴BG＝A1E＝2，∴BG綊A1E，∴A‎1G∥BE.‎ 又∵C‎1F綊B‎1G，‎ ‎∴四边形C1FGB1是平行四边形．‎ ‎∴FG綊C1B1綊D‎1A1，‎ ‎∴四边形A1GFD1是平行四边形．‎ ‎∴A‎1G綊D‎1F，∴D‎1F綊EB，故E、B、F、D1四点共面．‎ ‎(2)∵H是B‎1C1的中点，∴B1H＝.‎ 又B‎1G＝1，＝.‎ 又＝，且∠FCB＝∠GB1H＝90°.‎ ‎∴△B1HG∽△CBF，∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG.‎ ‎∴HG∥FB.‎ 又由(1)知，A‎1G∥BE，且HG∩A‎1G＝G，FB∩BE＝B，‎ ‎∴平面A1GH∥平面BED‎1F.‎ ‎【总结反思】‎ 证明面面平行的方法 ‎(1)面面平行的定义；‎ ‎(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；‎ ‎(3)面面平行的判定定理的推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行；‎ ‎(4)利用垂直于同一条直线的两个平面平行.‎ 如图，在三棱柱ABC－A1B‎1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A‎1C1的中点，求证：‎ ‎(1)B，C，H，G四点共面；‎ ‎(2)平面EFA1∥平面BCHG.‎ 证明：(1)∵GH是△A1B‎1C1的中位线，∴GH∥B‎1C1.又∵B‎1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．‎ ‎(2)∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.‎ ‎∵A‎1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.‎ ‎∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.‎ ‎∴A1E∥平面BCHG.‎ ‎∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.‎ 考向2　平面与平面平行的性质 ‎【例4】　如图所示，斜三棱柱ABC－A1B‎1C1中，点D，D1分别为AC，A‎1C1上的点．‎ ‎(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?‎ ‎(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．‎ ‎【解】　‎ ‎(1)如图所示，取D1为线段A‎1C1的中点，此时＝1.‎ 连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.‎ 由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．‎ 在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A‎1C1的中点，所以OD1∥BC1.‎ 又因为OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1.‎ 所以当＝1时，BC1∥平面AB1D1.‎ ‎(2)由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O得BC1∥D1O，‎ 所以＝，又由题可知＝，＝1，‎ 所以＝1，即＝1.‎ ‎【总结反思】‎ 利用平面与平面平行的性质定理可以用来证明或判断线面平行关系或线线平行关系.‎ ‎(2016·新课标全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD－A1B‎1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB‎1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：因为过点A的平面α与平面CB1D1平行，平面ABCD∥平面A1B‎1C1D1，所以m∥B1D1∥BD，又A1B∥平面CB1D1，所以n∥A1B，则BD与A1B所成的角为所求角，所以m，n所成角的正弦值为，选A.‎ 答案：A