专题12-3导函数解答题突破第三季-2019年领军高考数学（理）压轴题必刷题

专题12-3导函数解答题突破第三季-2019年领军高考数学（理）压轴题必刷题

专题 12-3 导函数解答题突破第三季 1．已知函数 ． 若 ， ，试证明：当 时， ； 若对任意 ， 均有两个极值点 ， 试求 b 应满足的条件； 当 时，证明： ． 【答案】（1）见解析（2） ， .见解析 ， ． 设 ，则 ， ， ， ， ， 故 在 递减，在 递增， 故 至多有 2 个零点； 当 时， ， ， ，且 ， 又 ， 由 可知 ， 是 R 上的连续函数， 在 ， 上各有 1 个零点 ， ， 此时， ， 为函数 的 2 个不同的极值点， 故 符合题意； 当 时，取 ，则 在 递减，在 递增， 故 ， 故 时， ， 故函数 递增，没有极值点，不合题意， 综上，当 时，对任意 ， 均有 2 个极值点； 由 知， ， 为 的两个实数根， ， ， 在 递减， 下面先证 ，只需证明 ， 得 ， ， 设 ， ， 则 ， 故 在 递减， ， ， ， 又 ， 时， ， 在 递减， ， 问题转化为只需证明 ， 即证明 ， 设函数 ， ， 则 ， 设 ，则 ， 在 递增， ，即 ， 在 递增， ， 当 时， ， 则 ， ， ． 2．已知函数 . （1）当 时，求函数 的极值； （2）讨论函数 的单调性. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 （2）由 ， 可得： ①当 时， ， 在 为减函数； ②当 时， 时， ，故 在 为减函数； 时， ，故 在 为增函数. 3．已知 ，函数 . （1）讨论 的单调性； （2）若 有两个零点，求实数 的取值范围. 【答案】（1）详见解析；（2） . 【解析】 （1） 的定义域为 ， . ①当 时， ，令 ，得 ；令 ，得 ， 所以 在 上单调递增， 上单调递减. ②当 时， ， 当 ，即 时，因为 ，所以在 上单调递增； 当 ，即 时，因为 ，所以 在 上单调递增；在 上单 调递减，在 上单调递增； 当 ，即 时，因为 ，所以 在 上单调递增；在 上单调 递减，在 上单调递增. （2）由（1）知当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减， 要使 有两个零点，只要 ，所以 .（因为当 时， ，当 时， ） 下面我们讨论当 时的情形： 当 ，即 时， 在 上单调递增，不可能有两个零点； 当 ，即 时，因为 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增； 因为 ， ，所以 ， 没有两个零点； 当 时，即 时，因为 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， ， ， 没有两个零点. 综上所述：当 时， 有两个零点. 4．设函数 . （Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间； （Ⅱ）当 时，若函数 与函数 的图像总有两个交点，设两个交点的横坐标分别 为 ， . ①求 的取值范围； ②求证： . 【答案】（Ⅰ）当 时，单调递增区间是 ；单调递减区间是 . （Ⅱ）① ，②见解析 【解析】 （Ⅰ）由已知得， ， 由 ， ，令 得： ， 令 得， 所以，当 时，单调递增区间是 ；单调递减区间是 . 解法二： ， 由 得， ；由 得， 易知， 为极大值点. 而 在 时取得极小值， 由题意，只需满足 ，解得 . ②由题意知， ， 为函数 的两个零点，由①知，不妨 设 ，则 ，且函数 在 上单调递增， 欲证 ，只需证明 ，而 ， 所以，只需证明 . 令 ，则 ∴ ∵ ，∴ ，即 所以， ，即 在 上为增函数，所以， ， ∴ 成立，所以， . 5．已知函数 （ 为常数）． （Ⅰ）讨论函数 的单调性； （Ⅱ）是否存在正实数 ，使得对任意 ，都有 ，若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由； (2)若函数 有且只有三个不同的零点，分别记为 x1，x2，x3，设 x1＜x2＜x3，且 的最大值 是 e2，求 x1x3 的最大值． 【答案】（1）当 m≤0 时，函数 在区间(0，+∞)上单调递增；当 m>0 时， 函数 在(0， )上单调递增， 函数 在( ，+∞)上单调递减；（2） . （2）∵ 函数 g(x)=(x-e)( lnx-mx)有且只有三个不同的零点， 显然 x=e 是其零点， ∴ 函数 存在两个零点，即 有两个不等的实数根． 可转化为方程 在区间(0，+∞)上有两个不等的实数根， 即函数 y=m 的图象与函数 的图象有两个交点. ∵ ， ∴ 由 >0，解得 ，故 在上单调递增； 由 <0，解得 x>e，故 在(e，+∞)上单调递减； 故函数 y=m 的图象与 的图象的交点分别在(0，e)，(e，+∞)上， 即 lnx-mx=0 的两个根分别在区间(0，e)，(e，+∞)上， ∴ g(x)的三个不同的零点分别是 x1，e，x3，且 0e． 令 ，则 t∈ ． 由 ，解得 故 ，t∈ ． 令 ，则 ． 令 ，则 ． 所以 在区间 上单调递增，即 > ． 所以 ，即 在区间 上单调递增， 即 ≤ = ， 所以 ，即 x1x3≤ ， 所以 x1x3 的最大值为 ．