2017届高考文科数学（全国通用）二轮文档讲义：第3编应试技能专训-1客观题专练
第三步 应试技能专训
一、客观题专练
(一)
一、选择题
1．设U＝R，集合A＝，B＝{x∈R|0
0)，故选C.
4．已知数列{an}是公差为3的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a10等于( )
A．14 B.
C. D．32
答案 C
解析 由题意可得a＝a1·a5，即(a1＋3)2＝a1(a1＋4×3)，解之得a1＝，故a10＝＋(10－1)×3＝，故选C.
5．已知变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 画出可行域得知，当直线y＝z－2x过点(1,0)时，z取得最大值2.
6. 已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( )
A．f(x)＝e1－x2
B．f(x)＝ex2－1
C．f(x)＝ex2－1
D．f(x)＝ln (x2－1)
答案 A
解析 A中，令f(x)＝eu，u＝1－x2，易知当x<0时，u为增函数，当x>0时，u为减函数，所以当x<0时，f(x)为增函数，当x>0时，f(x)为减函数，故A可能是；B、C中同理可知，当x<0时，f(x)为减函数，当x>0时，f(x)为增函数，故B、C不是；D中，当x
＝0时，无意义，故D不是，选A.
7．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )
A．f(x)＝sin
B．f(x)＝sin
C．f(x)＝sin
D．f(x)＝sin
答案 B
解析 由图可以判断|A|<1，T>2π，则|ω|<1，f(0)>0，f(π)>0，f(2π)<0，只有选项B满足上述条件．
8．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x值为( )
A．－2 B．－2或－1
C．1或－3 D．－2或
答案 D
解析 当x≤0时，由y＝x－4＝0得x＝－2；
当x>0时，由y＝log3x＋1＝0得x＝.
第三编/第三步 应试技能专训金版教程|大二轮·文数
9. 高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为×2×(2＋4)＝6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的＝，故选C.
10．[2016·贵阳监测]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与函数y＝的图象交于点P，若函数y＝的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F(－2,0)，则双曲线的离心率是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设P(x0，)，因为函数y＝的导数为y′＝，所以切线的斜率为.又切线过双曲线的左焦点F(－2,0)，所以＝，解得x0＝2，所以P(2，)．因为点P在双曲线上，所以－＝1 ①.又c2＝22＝a2＋b2 ②，联立①②解得a＝或a＝2(舍)，所以e＝＝＝，故选B.
11．[2016·山西四校联考]在正三棱锥S－ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝2，则正三棱锥S－ABC的外接球的表面积为( )
A．6π B．12π
C．32π D．36π
答案 B
解析 如图，取CB的中点N，连接MN，AN，则MN∥SB.由于AM⊥SB，所以AM⊥MN.由正三棱锥的性质易知SB⊥AC，结合AM⊥SB知SB⊥平面SAC，所以SB⊥SA，SB⊥SC.又正三棱锥的三个侧面是全等的三角形，所以SA⊥SC，所以正三棱锥S－ABC为正方体的一个角，所以正三棱锥S－ABC的外接球即为正方体的外接球．由AB＝2，得SA＝SB＝SC＝2，所以正方体的体对角线为2，所以所求外接球的半径R＝，其表面积为4πR2＝12π，故选B.
12．[2016·商丘二模]设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R都有f(x)>f′(x)成立，则( )
A．3f(ln 2)<2f(ln 3)
B．3f(ln 2)＝2f(ln 3)
C．3f(ln 2)>2f(ln 3)
D．3f(ln 2)与2f(ln 3)的大小不确定
答案 C
解析 构造新函数g(x)＝，则求导函数得：g′(x)＝，因为对任意x∈R，都有f(x)>f′(x)，所以g′(x)<0，即g(x)在实数域上单调递减，所以g(ln 2)>g(ln 3)，即>，解得3f(ln 2)>2f(ln 3)，故本题正确答案为C.
二、填空题
13．若向量a，b满足：|a|＝1，|b|＝2，(a－b)⊥a，则a，b的夹角是________．
答案
解析 依题意得(a－b)·a＝0，即a2－a·b＝0,1－2cos〈a，b〉＝0，cos〈a，b〉＝；又〈a，b〉∈[0，π]，因此〈a，b〉＝，即向量a
，b的夹角为.
14．若不等式x2＋y2≤2所表示的平面区域为M，不等式组表示的平面区域为N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为________．
答案
解析 作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示，平面区域N的面积为×3×(6＋2)＝12，区域M在区域N内的面积为π()2＝，故所求概率P＝＝.
15．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosC＋ccosB＝R(R为△ABC外接圆半径)且a＝2，b＋c＝4，则△ABC的面积为________．
答案
解析 因为bcosC＋ccosB＝R，
得2sinBcosC＋2sinCcosB＝，
sin(B＋C)＝，即sinA＝.
由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA，
即4＝b2＋c2－bc，∴4＝(b＋c)2－3bc，
∵b＋c＝4，∴bc＝4，∴S△ABC＝bcsinA＝.
16．存在实数φ，使得圆面x2＋y2≤4恰好覆盖函数y＝sin图象的最高或最低点共三个，则正数k的取值范围是________．
答案
解析 当函数y＝sin的图象取到最高或最低点时，x＋φ＝＋nπ(n∈Z)⇒x＝＋kn－φ(n∈Z)，由圆面x2＋y2≤4覆盖最高或最低点，可知－≤x≤，再令－≤＋kn－φ≤，得＋－≤n≤＋－，分析题意可知存在实数φ，使得不等式＋－≤n≤＋－的整数解有且只有3个，
∴2≤＋－－<4⇒0}，则A∪B
＝( )
A．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)
B．(2,3]
C．(－∞，3]∪(4，＋∞)
D．[－2,2)
答案 A
解析 因为B＝{x|x>2或x<－4}，所以A∪B＝{x|x<－4或x≥－2}，故选A.
3．设x，y∈R，则“x≥1且y≥1”是“x2＋y2≥2”的( )
A．既不充分又不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．充分不必要条件
答案 D
解析 当x≥1，y≥1时，x2≥1，y2≥1，所以x2＋y2≥2；而当x＝－2，y＝－4时，x2＋y2≥2仍成立，所以“x≥1且y≥1”是“x2＋y2≥2”的充分不必要条件，故选D.
4．据我国西部各省(区，市)2013年人均地区生产总值(单位：千元)绘制的频率分布直方图如图所示，则人均地区生产总值在区间[28,38)上的频率是( )
A．0.3 B．0.4
C．0.5 D．0.7
答案 A
解析 依题意，由题图可估计人均地区生产总值在区间[28,38)上的频率是1－(0.08＋0.06)×5＝0.3，选A.
5. 如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )
A．AP⊥PB，AP⊥PC
B．AP⊥PB，BC⊥PB
C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC
D．AP⊥平面PBC
答案 B
解析 A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.
6．执行如下程序框图，则输出结果为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 C
解析 依次执行框图中的语句：n＝1，S＝0，T＝20；T＝10，S
＝1，n＝2；T＝5，S＝3，n＝3；T＝，S＝6，n＝4，跳出循环，输出的n＝4，故选C.
7．已知α∈，tan＝，那么sin2α＋cos2α的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 A
解析 由tan＝，知＝，
∴tan2α＝－.∵2α∈，∴sin2α＝，cos2α＝－.
∴sin2α＋cos2α＝－，故选A.
8．甲、乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同，如图所示，记甲的体积为V甲，乙的体积为V乙，则( )
A．V甲V乙 D．V甲、V乙大小不能确定
答案 C
解析 由三视图知，甲几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，乙几何体是在甲几何体的基础上去掉一个角，即去掉一个三个面是直角三角形的三棱锥后得到的一个三棱锥，所以V甲>V乙，故选C.
9．[2016·江西南昌调研]设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )
A.， B.，
C.， D.，
答案 A
解析 因为a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，所以ab＝c，a＋b＝－1.又直线x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0的距离d＝，所以d2＝2＝＝＝－2c，因为0≤c≤，所以－2×≤－2c≤－2×0，得≤－2c≤，所以≤d≤，故选A.
10．[2016·郑州质检]已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是( )
A．a≤1 B．a≥1
C．a≤2 D．a≥2
答案 A
解析 由题意知f(x)min≥g(x)min(x∈[2,3])，因为f(x)min＝5，g(x)min＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1，故选A.
11．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F(－c,0)关于直线bx＋cy
＝0的对称点P在椭圆上，则椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设焦点F(－c,0)关于直线bx＋cy＝0的对称点为P(m，n)，
则所以
所以m＝＝＝(1－2e2)c，
n＝＝＝2be2.
因为点P(m，n)在椭圆上，所以＋＝1，即(1－2e2)2e2＋4e4＝1，即4e6＋e2－1＝0，将各选项代入知e＝符合，故选D.
12．[2016·武昌调研]已知函数f(x)＝sinx－xcosx.现有下列结论：
①∀x∈[0，π]，f(x)≥0；
②若0，即<，所以②正确；
当x>0时，“>a”等价于“sinx－ax>0”，
令g(x)＝sinx－cx，则g′(x)＝cosx－c，
当c≤0时，g(x)>0对x∈恒成立；
当c≥1时，因为对∀x∈.
g′(x)＝cosx－c<0，
所以g(x)在区间上单调递减，
从而，g(x)0，g(x)在(0，x0)上单调递增，且g(x)>g(0)＝0；
若x∈时，g′(x0)<0，g(x)在上单调递减，
要使g(x)＝sinx－cx>0在上恒成立，
必须使g＝sin－c＝1－c≥0恒成立，即00对∀x∈恒成立；
当c≥1时，g(x)<0，对∀x∈恒成立，
所以若a<0}，则A∩(∁UB)等于( )
A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2}
C．{x|00得－30，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
答案 B
解析 由题意得，＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4⇒c＝＝2⇒b＝4，故选B.
6．运行下面的程序，如果输出的S＝，那么判断框内是( )
A．k≤2013? B．k≤2014?
C．k≥2013? D．k≥2014?
答案 B
解析 当判断框内是k≤n？时，S＝＋＋…＋＝1－，若S＝，则n＝2014.
7．[2016·郑州质检]将函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，则g(x)具有性质( )
A．最大值为1，图象关于直线x＝对称
B．在上单调递减，为奇函数
C．在上单调递增，为偶函数
D．周期为π，图象关于点对称
答案 B
解析 由题意得，g(x)＝sin＝sin(2x－π)＝－sin2x，对于A，最大值为1正确，而g＝0，图象不关于直线x＝对称，故A错误；对于B，当x∈时，2x∈，满足单调递减，显然g(x)也是奇函数，故B正确；C显然错误；对于D，周期T＝＝π，g＝－，故图象不关于点对称，故选B.
8．[2016·重庆测试]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B．2
C. D．3
答案 C
解析 依题意，如图所示，题中的几何体是从正三棱柱ABC－A1B1C1中截去一个三棱锥B－A1B1E(其中点E是B1C1的中点)后剩余的部分，其中正三棱柱ABC－A1B1C1的底面是一个边长为2的正三角形、高为3，因此该几何体的体积为×3－××3＝，选C.
9．[2016·福建质检]若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，根据椭圆与正方形的对称性，可画出满足题意的图象，如图所示，因为|OB|＝a，所以|OA|＝a，所以点A的坐标为，又点A在椭圆上，所以＋＝1，所以a2＝3b2，所以a2＝3(a2－c2)，所以3c2＝2a2，所以椭圆的离心率e＝＝，故选D.
10．[2016·河南八市质检]已知a>0，x，y满足约束条件若z＝3x＋2y的最小值为1，则a＝( )
A. B.
C. D．1
答案 B
解析 根据约束条件画出可行域，将z＝3x＋2y的最小值转化为在y轴上的截距，当直线z＝3x＋2y经过点B时，z最小，又B点坐标为(1，－2a)，代入3x＋2y＝1，得3－4a＝1，得a＝，故选B.
11．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
，若b＝a，C＝，S△ABC＝sin2A，则S△ABC＝( )
A. B.
C. D．2
答案 A
解析 解法一：由b＝a，C＝，得S△ABC＝absinC＝a·a·＝a2，又S△ABC＝sin2A，则＝sin2A，故＝sinA，即＝2，由＝，得＝2，所以c＝2sinC＝1，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，得a2＋3a2－1＝2·a·a·，整理得4a2－1＝3a2，a2＝1，所以a＝1，故S△ABC＝.
解法二：由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，得a2＋(a)2－c2＝2a·a·cos，即a2＝c2，故a＝c，从而有A＝C＝，所以S△ABC＝sin2A＝×sin2＝，故选A.
12．若P为曲线y＝ln x上一动点，Q为直线y＝x＋1上一动点，则|PQ|min等于( )
A．0 B.
C. D．2
答案 C
解析 如图所示，直线l与y＝ln x相切且与y＝x＋1平行时，切点P到直线y＝x＋1的距离|PQ|即为所求最小值．(ln x)′＝，令＝1，得x＝1.
故P(1,0)．故|PQ|min＝＝.
二、填空题
13．[2015·广东高考]已知样本数据x1，x2，…，xn的均值＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的均值为________．
答案 11
解析 由条件知＝＝5，
则所求均值0＝
＝＝2＋1＝2×5＋1＝11.
14．已知{an}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，Sn是{an}的前n项和，则S12的值为________．
答案 54
解析 由题意得，a＝a3a11，即(a1＋4)2＝(a1＋2)(a1＋10)，a1＝－1，∴S12＝12×(－1)＋×1＝54.
15．设函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，f(3)＝0，且g(x)＝f(x＋1)为偶函数，则不等式g(2－2x)<0的解集为________．
答案 (0,2)
解析 依题意得f(－x＋1)＝f(x＋1)，因此f(x)的图象关于直线x＝1对称．又f(x)在[1，＋∞)上为增函数，因此f(x)在(－∞
，1]上为减函数．又g(x)＝f(x＋1)为偶函数，因此g(x)在[0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0]上为减函数，且g(2)＝f(2＋1)＝f(3)＝0，g(－2)＝0，不等式g(2－2x)<0，即g(|2－2x|)0}，集合B＝{x|1－x>0}，则A∩B等于( )
A．(1,3) B．(－∞，－1)
C．(－1,3) D．(－1,1)
答案 D
解析 ∵A＝(－1,3)，B＝(－∞，1)，∴A∩B＝(－1,1)．
3.
一次数学考试后，某老师从自己所带的两个班级中各抽取5人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图．已知甲班5名同学成绩的平均数为81，乙班5名同学成绩的中位数为73，则x－y的值为( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
答案 D
解析 由题意得，＝81⇒x＝0，易知y＝3，∴x－y＝－3，故选D.
4．已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
C．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l
D．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
答案 C
解析 A项，m，n可能的位置关系为平行，相交，异面，故A错误；B项，根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误；C项，根据线面平行的性质可知C正确；D项，若m∥n，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C.
5．△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cosA＝，c－a＝2，b＝3，，则a＝( )
A．2 B.
C．3 D.
答案 A
解析 由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bccosA⇒a2＝9＋(a＋2)2－2×3×(a＋2)×⇒a＝2，故选A.
6．[2016·东北三省联考]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是线段CD的中点，则三棱锥P－A1B1A的侧视图为( )
答案 D
解析 如图，画出原正方体的侧视图，显然对于三棱锥P－A1B1A，B(C)点均消失了，其余各点均在，从而其侧视图为D.
7．[2016·合肥质检]执行下面的程序框图，则输出的n的值为( )
A．10 B．11
C．1024 D．2048
答案 C
解析 该程序框图共运行10次，S＝1＋2＋22＋…＋210＝2047，输出的n＝210＝1024，选项C正确．
8．[2016·河南六市一联]实数x，y满足使z＝ax＋y取得最大值的最优解有2个，则z1＝ax＋y＋1的最小值为( )
A．0 B．－2
C．1 D．－1
答案 A
解析 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，∵z＝ax＋y取得最大值的最优解有2个，∴－a＝1，a＝－1，∴当x＝1，y＝0或x＝0，y＝－1时，z＝ax＋y＝－x＋y有最小值－1，∴ax＋y＋1的最小值是0，故选A.
9．已知a，b都是实数，命题p：a＋b＝2；命题q：直线x＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切，则p是q的( )
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由直线x＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切，得＝，即a＋b＝±2，∴p是q的充分但不必要条件．
10．[2016·山西质检]若函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，且当x1，x2∈，x1≠x2时，f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝( )
A. B.
C. D．1
答案 C
解析 由题意得，2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，
∴φ＝＋kπ，k∈Z，∵|φ|<，∴k＝0，φ＝，
又x1，x2∈，∴2x1＋，2x2＋∈(0，π)，
∴＝，解得x1＋x2＝，
∴f(x1＋x2)＝sin＝，故选C.
11．[2016·云南统检]已知双曲线M的焦点F1、F2在x轴上，直线x＋3y＝0是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M上，且·＝0，如果抛物线y2＝16x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么||·||＝( )
A．21 B．14
C．7 D．0
答案 B
解析 设双曲线方程为＋＝1(a>0，b>0)，
∵直线x＋3y＝0是双曲线M的一条渐近线，
∴＝①，又抛物线的准线为x＝－4，∴c＝4②，
又a2＋b2＝c2③，
∴由①②③得a＝3.
设点P为双曲线右支上一点，
∴由双曲线定义得|||－|||＝6④，
又·＝0，∴⊥，∴在Rt△PF1F2中||2＋||2＝82⑤，联立④⑤，解得||·||＝14.
12．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝log2x－2的零点依次为a，b，c，则( )
A．a0)的焦点为F，其准线与双曲线x2－y2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
答案 2
解析 由题意可知，抛物线的焦点为F，准线方程为y＝－，联立解得x＝± .
∵△ABF为等边三角形，∴＝2|x|，即p2＋＝4，解得p＝2或－2(舍去)．
15．[2016·海口调研]半径为2的球O
中有一内接正四棱柱(底面是正方形，侧棱垂直底面)．当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是________．
答案 16(π－)
解析 依题意，设球的内接正四棱柱的底面边长为a、高为h，则有16＝2a2＋h2≥2ah，即4ah≤16，该正四棱柱的侧面积S＝4ah≤16，当且仅当h＝a＝2时取等号．因此，当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是4π×22－16＝16(π－)．
16．已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且Sn＝2Sn－1＋1(n≥2，且n∈N*)，数列{bn}是等差数列，且b1＝a1，b4＝a1＋a2＋a3.设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，则T10＝________.
答案
解析 解法一：数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且Sn＝2Sn－1＋1(n≥2，且n∈N*)，∴当n＝2时，a1＋a2＝2a1＋1，∴a2＝2，当n≥3时，an＝Sn－Sn－1＝2Sn－1－2Sn－2＝2an－1，又a2＝2a1，∴an＝2an－1(n≥2，且n∈N*)，数列{an}为首项为1，公比为2的等比数列，∴an＝2n－1，a3＝22＝4.设数列{bn}的公差为d，又b1＝a1＝1，b4＝1＋3d＝7，∴d＝2，bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1，cn＝＝＝，
∴T10＝＋－＋…＋－＝＝.
解法二：∵数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且Sn＝2Sn－1＋1(n≥2，且n∈N*)，∴当n＝2时，a1＋a2＝2a1＋1，∴a2＝2，当n＝3时，a1＋a2＋a3＝2a1＋2a2＋1，
∴a3＝4.设数列{bn}的公差为d，又b1＝a1＝1，b4＝1＋3d＝7，∴d＝2，bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1，cn＝＝＝
，
∴T10＝＝＝.
