数学卷·2017届江苏省泰兴中学高三12月阶段性检测（2016

数学卷·2017届江苏省泰兴中学高三12月阶段性检测（2016

江苏省泰兴中学高三数学阶段性检测 一、填空题：每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．‎ ‎1．已知R为实数集，集合，，则=　▲ ．‎ ‎2．“”是“”的一个　 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”选择一个填写）‎ ‎3．已知等差数列的前项和为，若，，则　 ▲ ．‎ ‎4．设曲线在点(3,2)处的切线与直线垂直，则　 ▲ ．‎ ‎5．设实数满足约束条件，则的最大值为　 ▲ ．‎ ‎6．已知奇函数的图象关于直线对称，当时，,‎ 那么　 ▲ ．‎ ‎7．直线与圆相交于两点，若，则实数k的取值范围是　 ▲ ．‎ ‎8．已知，则＝　 ▲ ．‎ ‎9．设平面向量,（其中）若,‎ 则的最小值为　 ▲ ．‎ ‎10．已知函数（其中），若的图象经过点,则在区间上的单调递增区间为　 ▲ ．‎ ‎11. 已知⊿ABC中，，为⊿ABC的重心，且满足，则⊿ABC 的面积的最大值为　 ▲ ．‎ ‎12．已知均为非负数且，则的最小值为　 ▲ ．‎ ‎13．已知函数，且对任意的恒成立，则实数的最大值为　 ▲ ．‎ ‎14．设集合，则集合中任意两个元素的差的绝对值的和为　 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎15．（本题满分14分）已知命题：函数在上是增函数；命题：若函数在区间没有零点. ‎ ‎（1）如果命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎16.(本题满分14分) 设向量.（其中）‎ ‎（1）若，求实数的值；‎ ‎（2）若，求函数的值.‎ ‎17．(本题满分14分) 无锡市政府决定规划地铁三号线：该线起於惠山区惠山城铁站，止於无锡新区硕放空港产业园内的无锡机场站，全长28公里，目前惠山城铁站和无锡机场站两个站点已经建好，余下的工程是在已经建好的站点之间铺设轨道和等距离修建停靠站．经有关部门预算，修建一个停靠站的费用为6400万元，铺设距离为公里的相邻两个停靠站之间的轨道费用为万元．设余下工程的总费用为万元．（停靠站位于轨道两侧，不影响轨道总长度）‎ ‎（1）试将表示成的函数；‎ ‎（2）需要建多少个停靠站才能使工程费用最小，并求最小值．‎ ‎18．（本题满分16分）已知平面直角坐标系内两个定点、，满足 的点形成的曲线记为．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）过点B的直线与曲线相交于C、D两点，当⊿COD的面积最大时，求直线的方程（O为坐标原点）；‎ ‎（3）设曲线分别交x、y轴的正半轴于M、N两点，点Q是曲线位于第三象限内一段上的任意一点，连结QN交x轴于点E、连结QM交y轴于F．求证四边形MNEF的面积为定值．‎ ‎19．（本题满分16分）若函数在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．‎ ‎（1）当定义域为，试判断是否为“局部奇函数”；‎ ‎（2）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的范围；‎ ‎（3）已知，对于任意的，函数都是定义域为上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．‎ ‎20. （本题满分16分）已知数列的前项积为，即.‎ ‎（1）若数列为首项为2016，公比为的等比数列，‎ ‎①求的表达式；②当为何值时，取得最大值；‎ ‎（2）当时，数列都有且成立，‎ 求证：为等比数列.‎ 江苏省泰兴中学2017届高三数学阶段检测附加题 ‎21B．(矩阵与变换)‎ ‎（本小题满分10分）‎ 已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵M将点变换为．求矩阵M．‎ ‎ C．(极坐标与参数方程)‎ ‎ （本小题满分10分）‎ 已知平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．‎ ‎（1）求圆C的圆心的极坐标；（2）当圆C与直线l有公共点时，求r的取值范围．‎ ‎【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．(本小题满分10分)‎ 某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试，共设置了A、B、C三个测试项目．假定张某通过项目A的概率为，通过项目B、C的概率均为a，且这三个测试项目能否通过相互独立．‎ ‎（1）用随机变量X表示张某在测试中通过的项目个数，求X的概率分布和数学期望（用a表示）；（2）若张某通过一个项目的概率最大，求实数a的取值范围．‎ ‎23．(本小题满分10分)‎ 在如图所示的四棱锥中，底面，，，，E为线段BS上的一个动点．‎ ‎（1）证明：DE和SC不可能垂直；‎ ‎（2）当点E为线段BS的三等分点（靠近B）时，求二面角的余弦值．‎ ‎2017届高三数学阶段检测附加题参考答案 ‎21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ B．(矩阵与变换，本小题满分10分)‎ 解:设，由及，．．．．．．．．．5分 得，解得，∴． ．．．．．．．．．10分 C．(极坐标与参数方程，本小题满分10分)‎ 解：（1）由得，‎ ‎∴曲线C是以为圆心，为半径的圆，‎ ‎∴圆心的极坐标为．　　　　　　　　　　　　 ．．．．．．．．5分 ‎（2）由得，‎ 从而圆心到直线l的距离为，‎ ‎∵圆C与直线l有公共点，∴，即．　 ．．．．．．．10分 ‎22．(本题满分10分)‎ 解：（1）随机变量X的可能取值为0，1，2，3．‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎． ‎ 从而X的分布列为 X X的数学期望为 ‎． ．．．．5分 ‎（2），‎ ‎，‎ ‎．‎ 由和，得,即的取值范围是． ．．．10分 ‎23．(本题满分10分)‎ 解：（1）∵底面，，∴AB、AD、AS两两垂直．‎ 以为原点，AB、AD、AS所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图），　　 ．．．．．．．．．．1分 则，，，‎ ‎∵且，∴设其中，‎ ‎∴，， ．．．．．．．．．2分 假设DE和SC垂直，则，‎ 即，解得，‎ 这与矛盾，假设不成立，所以DE和SC不可能垂直． ．．．．4分 ‎（2）∵E为线段BS的三等分点（靠近B），∴．‎ 设平面SCD的一个法向量是，平面CDE的一个法向量是，‎ ‎∵，，∴，‎ 即，即，取， ．．．．．．．6分 ‎∵，，∴，‎ 即，即，取， ．．．．．．．8分 设二面角的平面角大小为，由图可知为锐角，‎ ‎∴，‎ 即二面角S-CD-E的余弦值为． ．．．．．．．10分 江苏省泰兴中学高三数学阶段性检测参考答案 一、填空题：每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．‎ ‎1． ． 2．充分不必要． 3． 12 4． ．‎ ‎5． 26． 6． ． 7． ． 8． ．‎ ‎9． 10 ． 10． ． 11. ． 12． ．‎ ‎13． 1． 14． ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎15．解：（1）对恒成立……………（3分）‎ ‎∴……………（6分）‎ ‎（2）对任意的恒成立，∴在区间递增 命题为真命题……………（9分）‎ 由命题“”为真命题，“”为假命题知一真一假 若真假，则………（11分）‎ 若假真，则……………（13分）‎ 综上所述，……………（14分）‎ ‎16.解：（1）……………（2分）‎ ‎∴………（4分）‎ 又 ∴.……………（6分）‎ ‎（2）‎ ‎ ∴，…………………………………（9分）‎ ‎…………………（12分）‎ 又且 ‎∴即………（14分）‎ ‎17．解：（1）设需要修建个停靠站，则个停靠站将‎28公里的轨道分成相等的段 ‎∴ ……………（3分）‎ ‎∴‎ 化简得……………（7分）‎ ‎（2）‎ ‎（万元）……………（11分）‎ 当且仅当即，取“=” ……………（13分）‎ 答：需要建13个停靠站才能使工程费用最小，最小值费用为128028万元……（14分）‎ ‎18．解：（1）由题设知，两边化简得 ‎∴点的轨迹的方程为……………（3分）‎ ‎（2）由题意知的斜率一定存在， 设即，‎ ‎∵原点到直线的距离，……………（5分）‎ ‎∴，……………（7分）‎ 当且仅当时，取得“=” ‎ ‎∴当时，此时，‎ ‎∴直线的方程为．……………（9分）‎ ‎（3）设……………（11分）‎ 设（其中）‎ 则，令得 ‎∴…………（12分）‎ ‎，令得 ‎∴…………（13分）‎ ‎∴‎ ‎（定值）…………（16分）‎ ‎19．解：（1）因为，所以，‎ 由得，‎ 令，而存在一根，‎ 即存在，使得，所以为“局部奇函数”．……………3分 ‎（2）由题意知，在上有解，即 在上有解，‎ 所以在上有解，……………………4分 令，所以在上有解，‎ 令，‎ ①当时，即，解得，此时在上必有零点，所以；………………………………6分 ②当时，在上有零点必须满足 综上：.……………………………………………9分 ‎（3）由题意知，，在上都有解，‎ 即，在上都有解，即，在上都有解，………10分 令，令，‎ 由题意知在上的值域包含，………………………12分 因为，又因为，所以，‎ 所以，所以在上单调递增，……………………………14分 所以 综上：.………………………………………………16分 ‎20. 解：（1）①由题意知，‎ 所以.……………………………3分 ‎②记，，即，，‎ ‎，当时，；当时，，‎ 又因为，所以，当时，；当时，，所以的最大值为.…………………………………6分 此时，而，所以.‎ 而，‎ 所以，当时，取得最大值. ………………………9分 ‎（2）当时，，所以，即，…10分 已知 ①‎ 当时， ②‎ ①②两式相除得，化简得，③ ‎ 又因为，④‎ ③④两式相除得，⑤…………………12分 ⑤式可化为：，‎ 令，所以，所以，‎ 即， 都成立，‎ 所以为等比数列. ………………………………16分 ‎（当然令，则转而证明为等差数列，方法雷同，不再赘述）‎