数学卷·2018届江苏省盐城市高二年级下学期期终考试（2017-06）

数学卷·2018届江苏省盐城市高二年级下学期期终考试（2017-06）

‎ 2016/2017学年度第二学期高二年级期终考试 数 学 试 题 注意事项：‎ ‎　　1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．‎ ‎　　2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．‎ ‎　　3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．设（为虚数单位），则 ▲ ．‎ ‎2．已知命题：“，使得 ”，则命题的真假为 ▲ ．‎ ‎3．设，则“”是“”的 ▲ 条件．（选填： 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）‎ ‎4．如图为某天通过204国道某测速点的汽车时速频率分布直方图，则通过该测速点的300辆汽车中时速在的汽车大约有 ▲ 辆．‎ ‎（第4题图）‎ ‎ ‎开始 结束 S←1‎ n←7‎ S>150‎ S←S+n n←n-2‎ 否 是 输出n ‎（第5题图）‎ ‎5．某程序框图如图所示，则输出的结果为 ▲ ．‎ ‎6．在区间上随机取一个实数，则满足的概率为 ▲ ．‎ ‎7．已知双曲线的渐近线方程是，则其准线方程为 ▲ ．‎ ‎8．若函数在区间上有极值，则的取值范围是 ▲ ．‎ ‎9．（理科学生做）从5男3女共8名学生中选出4人组成志愿者服务队，则服务队中至少有1名女生的不同选法共有 ▲ 种．（用数字作答）‎ ‎ （文科学生做）已知函数，则不等式的解集是 ▲ ．‎ ‎10．（理科学生做）的展开式中的常数项是 ▲ ．‎ ‎（文科学生做）将函数的图象向右平移个单位（），若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是 ▲ ．‎ ‎11．已知圆的内接四边形的面积的最大值为，类比可得椭圆的内接四边形的面积的最大值为 ▲ ．‎ ‎12．已知集合和集合，若，则实数的最大值为 ▲ ．‎ ‎13．已知点是椭圆的左焦点，若椭圆上存在两点、满足，则椭圆的离心率的取值范围是 ▲ ．‎ ‎14．已知，，，，则的取值范围是 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ ‎（理科学生做）现有一只不透明的袋子里面装有6个小球，其中3个为红球，3个为黑球，这些小球除颜色外无任何差异，现从袋中一次性地随机摸出2个小球．‎ ‎（1）求这两个小球都是红球的概率；‎ ‎（2）记摸出的小球中红球的个数为X，求随机变量X的概率分布及其均值E(X )．‎ ‎（文科学生做）已知关于的不等式，其中．‎ ‎（1）若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）若不等式对任意实数x恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ ‎（理科学生做）观察下列等式，猜想一个一般性的结论，并用数学归纳法证明．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（文科学生做）已知函数，，函数的定义域为实数集R，‎ 函数．‎ ‎（1）若函数是奇函数，判断并证明函数的奇偶性；‎ ‎（2）若函数是单调增函数，用反证法证明函数的图象与轴至多有一个交点．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ ‎（理科学生做）如图，在三棱锥中，底面，，，．‎ ‎（1）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ A B C P ‎（第17题图·理）‎ ‎（文科学生做）已知函数．‎ ‎（1）求在区间上的值域；‎ ‎（2）若，，求的值．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图所示，矩形ABCD为本市沿海的一块滩涂湿地，其中阴影区域有丹顶鹤活动，曲线AC是以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分，其中AB=1 km，BC=2 km，现准备开发一个面积为0.6 km2的湿地公园，要求不能破坏丹顶鹤活动区域．问：能否在AB边上取点E、在BC边上取点F，使得△BEF区域满足该项目的用地要求？若能，请给出点E、F的选址方案；若不能，请说明理由．‎ A B C D E F ‎（第18题图）‎ ‎ ‎F A B O x y ‎（第19题图）‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 在平面直角坐标系内，椭圆E：，离心率为，右焦点F到右准线的距离为2，直线l过右焦点F且与椭圆E交于A、B两点．‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）若直线l与x轴垂直，C为椭圆E上的动点，求CA2+CB2的取值范围；‎ ‎（3）若动直线l与x轴不重合，在x轴上是否存在定点P，使得PF始终平分∠APB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知函数和函数（、为实数，为自然对数的底数，）．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当，时，判断方程的实数根的个数并证明；‎ ‎（3）已知，不等式对任意实数恒成立，求的最大值．‎ ‎2016/2017学年度第二学期高二年级期终考试 数学试题参考答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.‎ ‎1. 1 2. 假 3. 充分不必要 4. 150 ‎ ‎5. 1 6. 7. 8. ‎ ‎9. （理）65 （文） 10. （理）12 （文） ‎ ‎11. 12. 13. 14. 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.‎ ‎15．（理科）解：⑴记“取得两个小球都为红球”为事件A，‎ 则 ……………………………………………………………………4分 ‎⑵随机变量X的可能取值为：0、1、2 ， ……………………………………………………………6分 ‎ 表示取得两个球都为黑球，，‎ 表示取得一个红球一个黑球，，‎ 表示取得两个球都为红球，，‎ 随机变量X的概率分布如下：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ …………………………12分 ‎=1 ………………………………………………………………14分 ‎（注：三个概率每个2分）‎ ‎（文科）解：⑴由题意知方程的解为，且， ………………2分 所以，解得 . ……………………………4分 ‎⑵问题可化为对任意实数恒成立，‎ ‎①当时，恒成立； ……………………………………6分 ‎②当时，，解得； ………………………………12分 综上①②得． …………………………………………………14分 ‎16．（理科）解：归纳猜想得：，． ……………4分 ‎（注：如答成一样给分）‎ 证明如下：①当时，左边，右边，猜想成立； ……………………………6分 ‎②假设（）时猜想成立，即成立，‎ 当时，右边 ‎ ‎ ‎ =左边 所以时猜想也成立. …………………………………………………………………………12分 由①②可得，，成立. ………………………14分 ‎（文科）解：⑴由题意知的定义域为， ……………………………………………2分 又是奇函数 ，所以， ……………………………………………4分 ‎∴‎ ‎∴为奇函数. ……………………………………7分 ‎⑵假设函数的图象与轴有两个交点，不妨设其横坐标为，且，‎ 则， ………………………………………8分 又，所以为单调增函数， ………………………………10分 所以，‎ 又因为为单调增函数，所以，‎ 所以，即，‎ 这与矛盾， ………………………………………………………12分 所以假设不成立，所以函数的图象与轴至多有一个交点. ………………………14分 ‎17．（理科）解：⑴如图，以为原点,在平面ABC内作垂直于AC的射线为x轴，以射线AC 为y轴，‎ 射线AP为z轴建立如图所示空间直角坐标系， ……………………………………………………………2分 则P(0,0,4)，B(,1,0)，，故，‎ A B C P ‎（第17题图）‎ x y z 由x轴⊥平面PAC得平面PAC的一个法向量为， ……………………………………………5分 设直线与平面所成角为，‎ 则，‎ 即直线与平面所成角的正弦值为.……………8分 ‎⑵，，‎ 设为平面的一个法向量，‎ 则，‎ ‎，‎ 取得，，即为平面的一个法向量，………………………………11分 平面PAC的一个法向量为，‎ 设二面角的平面角为，则为锐角，则，‎ 即二面角的余弦值为．……………………………………………………………………14分 ‎（文科）解：⑴‎ ‎ …………………………………………………………4分 ‎，，，‎ 在区间上的值域为.…………………………………………………………………7分 ‎⑵，‎ ‎， …………………………………………9分 ‎，‎ 又，，， ……………………11分 ‎. ………………………………………………………………14分 ‎18．解：（法一）△BEF区域满足该项目的用地要求等价于△BEF面积的最大值不小于‎0.6 km2，……2分 以为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，‎ 则，，，，‎ 设曲线AC所在的抛物线的方程为，代入点得，‎ 得曲线AC的方程为，……………………………………………………………………4分 欲使得△BEF的面积最大，必有EF与抛物线弧AC相切，设切点为，，‎ 由得，故点处切线的斜率为，切线的方程为，‎ A B C D E F ‎（第18题图）‎ x y P 即， ………………………………………………………6分 当时显然不合题意，故，‎ 令得，令得，‎ 则，‎ 设，，…………………………………9分 ‎（注：学生写成不扣分）‎ 则，‎ 令得，令得，‎ 故在上递增，在上递减，故，…………………………………14分 而，故该方案所得△BEF区域不能满足该项目的用地要求． …………………………………16分 ‎(法二）转化为当时，直线EF的方程与抛物线弧AC的方程联列所得方程组至多有一个解.‎ ‎(法三) 转化为当时，抛物线弧AC上所有的点都在直线EF上方的区域，进一步转化为不等式恒成立问题.‎ ‎19．解：⑴由题意得：，得，， ……………………………2分 ‎∵，∴，∴椭圆的标准方程为：. ……………………………4分 ‎⑵当直线AB与轴垂直时，，设点，‎ 则 ，‎ 又点C在椭圆上，∴ ，消去得，，‎ ‎∴ 得取值范围为. ……………………………………………8分 ‎⑶假设在轴上存在点P满足题意，不妨设，设，‎ 设直线AB的方程为：，联列，消去得，‎ 则，， ………………………………………………………………12分 由PF平分∠APB知：， …………………………………………13分 又，‎ 又，，得，‎ 即，得，‎ 所以存在点P（4,0）满足题意． ………………………………………………………………16分 ‎20．解：⑴，‎ ‎①当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；……………2分 ‎②当时，由得，由得，‎ 故的单调递减区间为，单调递增区间为.………………………………………4分 ‎⑵当，时，方程即为，‎ 由(1)知在上递减，而，故在上有且仅有1个零点，………6分 由⑴知在上递增，而，，且的图像在上是连续不间断的，故在上有且仅有1个零点，所以在上也有且仅有1个零点，‎ 综上，方程有且仅有两个实数根. ………………………………………………………………8分 ‎⑶设，‎ ‎①当时，恒成立，则恒成立，‎ 而，与恒成立矛盾，故不合题意；…………………………………10分 ‎②当时，恒成立，则恒成立，‎ ‎1°当时，由恒成立可得，； ……………………………11分 ‎2°当时，，而，故，‎ 故，与恒成立矛盾，故不合题意；………………………………………13分 ‎3°当时，由（1）可知，而恒成立，‎ 故，得，故，‎ 记，，‎ 则，由得，由得，‎ 故在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎，，当且仅当，时取等号；‎ 综上①②两种情况得的最大值为．……………………………………………………………………16分