2018-2019学年重庆市区县高一下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年重庆市区县高一下学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年重庆市区县高一下学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知向量，，若，共线，则实数（ ）‎ A． B． C． D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用向量平行的性质直接求解．‎ ‎【详解】‎ 向量，，共线，‎ ‎，‎ 解得实数．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎2．已知，若关于x的不等式的解集为，则（ ）‎ A． B． C．1 D．7‎ ‎【答案】B ‎【解析】由韦达定理列方程求出，即可得解．‎ ‎【详解】‎ 由已知及韦达定理可得，，，‎ 即，，‎ 所以．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次方程和一元二次不等式的关系、韦达定理的应用等，属于一般基础题．‎ ‎3．已知等差数列的前n项和为，且，，则（ ）‎ A．11 B．16 C．20 D．28‎ ‎【答案】C ‎【解析】可利用等差数列的性质，，仍然成等差数列来解决．‎ ‎【详解】‎ 为等差数列，前项和为，‎ ‎，，成等差数列，，‎ 又，，，．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的性质，关键在于掌握“等差数列中，，仍成等差数列”这一性质，属于基础题．‎ ‎4．某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3∶2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为（ ）‎ A．600 B．800 C．1000 D．1200‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为和，则，继而算出抽到的各年级人数，再根据分层抽样的原理可以推得该校高二年级的人数．‎ ‎【详解】‎ 根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为和，则 ‎，‎ 即，‎ 所以高一年级和高二年级抽到的人数分别是12人和8人，‎ 则该校高二年级学生人数为人．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分层抽样的方法，属于容易题．‎ ‎5．已知变量x，y的取值如下表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y ‎10‎ ‎15‎ ‎30‎ ‎45‎ ‎50‎ 由散点图分析可知y与x线性相关，且求得回归直线的方程为，据此可预测：当时，y的值约为（ ）‎ A．63 B．74 C．85 D．96‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得，取求得值即可．‎ ‎【详解】‎ 由题得，．‎ 故样本点的中心的坐标为，‎ 代入，得．‎ ‎，取，得．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．‎ ‎6．已知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据不等式的基本性质，一一进行判断即可得出正确结果．‎ ‎【详解】‎ A. ，取，显然不成立，所以该选项错误；‎ B. ，取，显然不成立，所以该选项错误；‎ C. ，取，显然不成立，所以该选项错误；‎ D. ，由已知且，所以，‎ 即．所以该选项正确.‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的基本性质，属于容易题．‎ ‎7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则满足条件的的个数为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．无数多个 ‎【答案】B ‎【解析】直接由正弦定理分析判断得解.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理得,‎ 所以C只有一解，所以三角形只有一解.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎8．已知等比数列的前n项和为，若，，则（ ）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用等比数列的前项和公式列出方程组，能求出首项．‎ ‎【详解】‎ 等比数列的前项和为，，，‎ ‎，‎ 解得，．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎9．某校统计了1000名学生的数学期末考试成绩，已知这1000名学生的成绩均在50分到150分之间，其频率分布直方图如图所示，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为（ ）‎ A．10 B．20 C．40 D．60‎ ‎【答案】C ‎【解析】由频率分布直方图求出这1000名学生中成绩在130分以上的频率，由此能求出这1000名学生中成绩在130分以上的人数．‎ ‎【详解】‎ 由频率分布直方图得这1000名学生中成绩在130分以上的频率为：‎ ‎，‎ 则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为人．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意和余弦定理可得，再由余弦定理可得，可得角的值．‎ ‎【详解】‎ 在中，，‎ 由余弦定理可得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用余弦定理解三角形，考查了转化思想，属基础题．‎ ‎11．已知，，，则的最小值为（ ）‎ A． B． C．7 D．9‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据条件可知，，，从而得出，这样便可得出的最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎；‎ ‎，且，；‎ ‎；‎ ‎，当且仅当时等号成立；‎ ‎；‎ 的最小值为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 考查基本不等式在求最值中的应用，注意应用基本不等式所满足的条件及等号成立的条件．‎ ‎12．已知，所在平面内一点P满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由平面向量基本定理及单位向量可得点在的外角平分线上，且点在的外角平分线上，，，在中，由正弦定理得得解．‎ ‎【详解】‎ 因为 所以，‎ 因为方向为外角平分线方向，‎ 所以点在的外角平分线上，‎ 同理，点在的外角平分线上，‎ ‎，，‎ 在中，由正弦定理得，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量基本定理及单位向量，考查向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．‎ 二、填空题 ‎13．不等式的解集为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用两个数的商是正数等价于两个数同号；将已知的分式不等式转化为整式不等式，求出解集．‎ ‎【详解】‎ 同解于 解得或 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解分式不等式，利用等价变形转化为整式不等式是解题的关键．‎ ‎14．甲、乙两人要到某地参加活动，他们都随机从火车、汽车、飞机三种交通工具中选择一种，则他们选择相同交通工具的概率为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用古典概型的概率求解.‎ ‎【详解】‎ 甲、乙两人选择交通工具总的选择有种，他们选择相同交通工具有3种情况，‎ 所以他们选择相同交通工具的概率为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型，要用计数原理进行计数，属于基础题．‎ ‎15．当实数a变化时，点到直线的距离的最大值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知直线方程求得直线所过定点，再由两点间的距离公式求解．‎ ‎【详解】‎ 由直线，得，‎ 联立，解得．‎ 直线恒过定点，‎ 到直线的最大距离．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点到直线距离最值的求法，考查直线的定点问题，是基础题．‎ ‎16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，则的最大值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求得的值，再利用两角和差的三角公式和正弦函数的最大值，求得的最大值．‎ ‎【详解】‎ 中，若的面积为，，．‎ ‎，‎ 当且仅当时，取等号，故 的最大值为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要两角和差的三角公式的应用和正弦函数的最大值，属于基础题．‎ 三、解答题 ‎17．学生会有共名同学,其中名男生名女生,现从中随机选出名代表发言.求：‎ 同学被选中的概率；‎ 至少有名女同学被选中的概率.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】(1)用列举法列出所有基本事件,得到基本事件的总数和同学被选中的,然后用古典概型概率公式可求得;‎ ‎(2)利用对立事件的概率公式即可求得.‎ ‎【详解】‎ 解：选两名代表发言一共有,,‎ 共种情况,‎ 其中.被选中的情况是共种.‎ 所以被选中的概本为.‎ 不妨设四位同学为男同学,则没有女同学被选中的情况是:‎ 共种,‎ 则至少有一名女同学被选中的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了古典概型的概率公式和对立事件的概率公式,属基础题.‎ ‎18．设等差数列的前n项和为，，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）在等差数列中根据，，可求得其首项与公差，从而可求得；‎ ‎（2）可证明为等比数列，利用等比数列的求和公式计算即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎；‎ ‎（2），‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的前项和，着重考查等差数列的性质与通项公式及等比数列的前项和公式，属于基础题．‎ ‎19．近年来，某地大力发展文化旅游创意产业，创意维护一处古寨，几年来，经统计，古寨的使用年限x（年）和所支出的维护费用y（万元）的相关数据如图所示，根据以往资料显示y对x呈线性相关关系.‎ ‎（1）求出y关于x的回归直线方程；‎ ‎（2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过10万元？‎ 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为.‎ ‎【答案】（1）（2）使用年限至少为14年时，维护费用将超过10万元 ‎【解析】（1）由已知图形中的数据求得与的值，则线性回归方程可求；（2）直接由求得的范围得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故线性回归方程为；‎ ‎（2）由，解得．‎ 故使用年限至少为14年时，维护费用将超过10万元．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．‎ ‎20．如图，在中，，D为延长线上一点，且，，.‎ ‎（1）求的长度；‎ ‎（2）求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）求得，在中运用余弦定理可得所求值；（2）在中，求得，，，再由三角形的面积公式，可得所求值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可得，‎ 在中，由余弦定理可得 ‎，则；‎ ‎（2）在中，，‎ ‎，，‎ 的面积为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形的余弦定理和正弦定理、面积公式的运用，考查方程思想和运算能力．‎ ‎21．在平面直角坐标系中，的顶点、，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为.‎ ‎（1）求点B到直线的距离；‎ ‎（2）求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由题意求得所在直线的斜率再由直线方程点斜式求的方程，然后利用点到直线的距离公式求解；（2）设的坐标，由题意列式求得的坐标，再求出，代入三角形面积公式求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，，直线的方程为，即．‎ 点到直线的距离；‎ ‎（2）设，则的中点坐标为，‎ 则，解得，即，‎ ‎．‎ 的面积．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点到直线的距离公式的应用，考查点关于直线的对称点的求法，是基础题．‎ ‎22．已知数列的前n项和为，，.‎ ‎（1）证明：数列为等比数列；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 ‎【解析】（1）将已知递推式取倒数得，，再结合等比数列的定义，即可得证；（2）由（1）得，再利用基本不等式以及放缩法和等比数列的求和公式，结合不等式的性质，即可得证．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），，‎ 可得，‎ 即有，‎ 可得数列为公比为2，首项为2的等比数列；‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 即，‎ 由基本不等式可得，，‎ 即有．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式、考查构造数列法以及放缩法的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．‎