2018-2019学年江西省鹰潭市高二上学期期末质量检测数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年江西省鹰潭市高二上学期期末质量检测数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省鹰潭市高二上学期期末质量检测数学（理）试题 一、单选题 ‎1．命题“”的否定是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题中所给的命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，按规则写出其否定即可.‎ ‎【详解】‎ 因为命题“”是一个全称命题，‎ 所以命题“”的否定是“，使得”，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关全称命题的否定问题，注意全称命题的否定是特称命题，属于简单题目.‎ ‎2．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( ) ‎ A．400，40 B．200，10 C．400，80 D．200，20‎ ‎【答案】A ‎【解析】由扇形图能得到总数，利用抽样比较能求出样本容量；由分层抽样和条形图能求出抽取的高中生近视人数.‎ ‎【详解】‎ 用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，‎ 样本容量为：，‎ 抽取的高中生近视人数为：，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有扇形图与条形图的应用，以及分层抽样的性质，注意对基础知识的灵活应用，属于简单题目.‎ ‎3．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先对选项逐个分析，逐个排除，得到正确的结果.‎ ‎【详解】‎ A,C两项是焦点在轴上的双曲线，要排除，‎ 对于B项，双曲线的渐近线方程为，所以排除，‎ 只有D项，满足焦点在轴上，且渐近线方程为，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关双曲线的方程的求解问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线方程，双曲线的焦点所在轴，属于简单题目.‎ ‎4．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第5行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）‎ ‎84421 25331 34578 60736 25300 73286 23457 88907 23689 60804‎ ‎32567 80843 67895 35577 34899 48375 22535 57832 45778 92345‎ A．328 B．623 C．457 D．072‎ ‎【答案】B ‎【解析】从表中第5行第6列开始向右读取数据，求出得到的前6个编号，由此能得到结果.‎ ‎【详解】‎ 从表中第5行第6列开始向右读取数据，‎ 得到 前6个编号分别是：253,313,457,007,328,623，‎ 则得到的第6个样本编号是623，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关利用随机数表法进行抽样的问题，要会应用随机数表法进行抽样，属于简单题目.‎ ‎5．根据下边框图，当输入为2019时，输出的y为（ ）‎ A．1 B．2 C．5 D．10‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出y的值，模拟程序的运行过程，可得答案.‎ ‎【详解】‎ 当输入的为2019时，‎ 第一次执行循环体后，，满足；‎ 第2次执行循环体后，，满足；‎ 第三次执行循环体后，，满足；‎ 第673次执行循环体后，，满足；‎ 第674次执行循环体后，不满足；‎ 故，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关程序框图的输出结果的求解问题，涉及到的知识点有根据题中所给的程序框图，能够分析出其作用，注意循环体循环的次数.‎ ‎6．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关。黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）‎ A．必要条件 B．充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】返回家乡的前提条件是攻破楼兰，即可判断出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关必要非充分条件的问题，涉及到的知识点有必要非充分条件的定义，会判断条件的充分必要性，属于简单题目.‎ ‎7．已知椭圆的面积公式为，某同学需通过下面的随机模拟实验估计的值。过椭圆E:的左右焦点分别作与x轴垂直的直线与椭圆E交于A,B,C,D四点，随机在椭圆E内撒m粒豆子，设落入矩形ABCD内的豆子数为n，则圆周率的值约为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用题中所给的条件，求出AB,BC边长，随机在椭圆内撒m 粒豆子，设落入四边形ABCD内的豆子数为n，则根据面积型几何概型概率公式，求得圆周率的值.‎ ‎【详解】‎ 根据题意画出图形，‎ 则有，，‎ 随机在椭圆E内撒n粒豆子，设落入四边形ABCD内的豆子数为m，‎ 则，‎ 所以圆周率的值约为，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关面积型几何概型的应用问题，注意对应的面积比即为概率，转化为圆周率所满足的关系式，从而求得结果.‎ ‎8．已知动圆圆心M到直线x=-3的距离比到A(2,0)的距离大1，则M的轨迹方程为（ ）．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，点M到直线的距离和它到点的距离相等，故点P的轨迹是以点A为焦点，以直线为准线的抛物线，可得轨迹方程.‎ ‎【详解】‎ 因为点M到直线的距离比到点的距离大1，‎ 所以点M到直线的距离和它到点的距离相等，‎ 故点M的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，方程为，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关动点的轨迹方程的求解问题，涉及到的知识点有动点轨迹方程的求法，抛物线的定义，属于简单题目.‎ ‎9．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E、F、G分别是DC、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（ ）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用向量加法运算将向量和用长方体的棱对应的向量来表示，之后应用向量数量积的定义式和运算法则求得其数量积等于0，从而得到两向量是垂直的，故得其夹角余弦值为0，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意可得，‎ ‎，‎ 从而得到和垂直，故其所成角的余弦值为0，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关异面直线所成角的余弦值问题，涉及到的知识点是两向量的数量积为0，则其所成角为直角，从而得到其为垂直关系，还可以应用空间向量来解决.‎ ‎10．如图所示，过抛物线 的焦点F的直线l，交抛物线于点A,B．交其准线l于点C，若,且，则此抛物线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分别过A,B作准线的垂线，利用抛物线的定义将A,B到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知的比例关系，在直角三角形中求线段PF长度即可得p值，进而可得方程.‎ ‎【详解】‎ 如图，过A作垂直于抛物线的准线，垂足为D，‎ 过B作BE垂直于抛物线的准线，垂足为E，P为准线与x轴的交点，‎ 由抛物线的定义，，‎ 因为，所以，所以，‎ ‎，，‎ 所以，即，‎ 所以抛物线的方程为：，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关抛物线方程的求解问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，应用定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为其到准线的距离来解决，属于常规问题.‎ ‎11．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，p是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为（ ）‎ A．3 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴长为，焦距为2c，因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用表示出，在中根据余弦定理可得，利用基本不等式可得结论.‎ ‎【详解】‎ 如图，设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：‎ ‎，‎ 所以，‎ 设，因为，则 在中由余弦定理得：，‎ 化简得：，即，‎ 从而有，整理得，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关椭圆和双曲线的离心率的运算式的取值范围的问题，涉及到的知识点有椭圆的定义，双曲线的定义，余弦定理，基本不等式，属于较难题目.‎ 二、解答题 ‎12．甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠8小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设出甲、乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件同时列出这两艘船中至少有一艘在停靠泊位的必须等待约束条件，利用线性规划作出平面区域，利用几何概型概率公式求出概率.‎ ‎【详解】‎ 设甲到达的时刻为，乙到达的时刻为，‎ 则所有的基本事件构成的区域，‎ 这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域 ‎，‎ 这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关几何概型的问题，涉及到的知识点是面积型几何概型，注意该类问题的解题关键是弄明白对应的基本事件和满足条件的基本事件，属于简单题目.‎ ‎13．已知命题：方程表示焦点在轴上的双曲线，命题：关于x的方程无实根，‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）若命题p为真命题，则，解得实数m的取值范围；‎ ‎（2）若“”为假命题，“”为真命题，则命题p,q一真一假，进而可得实数m的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为方程表示焦点在轴上的双曲线，所以 ‎ ‎ 解得 ‎ ‎（2）若为真命题，则，解得 ‎ 因为“”为假命题，“”为真命题，等价于恰有一真一假 ‎ 当真假时，，则； ‎ 当假真时，，则 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关逻辑的问题，涉及到的知识点有根据命题的真假求参数的取值范围，复合命题真值表，属于简单题目.‎ ‎14．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照，，，分成5组，制成如图所示频率分直方图．‎ ‎（1）求图中x的值；‎ ‎（2）求这组数据的平均数和中位数；‎ ‎（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率．‎ ‎【答案】（1）0.02（2）平均数77，中位数（3）‎ ‎【解析】（1）由频率分布直方图的性质得出的值；‎ ‎（2）根据平均数和中位数的定义得出；‎ ‎（3）由题意，满意度评分值为的人的频率为0.005，故人数为5，根据男女比例得出男女人数，根据列举的值随机抽取2人共10个基本事件，根据古典概型得出.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，解得． ‎ ‎（2）这组数据的平均数为． ‎ 中位数设为，则，解得 ‎ ‎（3）满意度评分值在内有人，‎ 其中男生3人，女生2人．记为 ‎ 记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件A 通过列举知总基本事件个数为10个，A包含的基本事件个数为3个，‎ 利用古典概型概率公式可知.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关频率分布直方图的问题，涉及到的知识点有直方图的性质，应用直方图求中位数和平均数，古典概型概率公式，属于简单题目.‎ ‎15．如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面ABC，D，E分别是AC，的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）‎ ‎【解析】（1）利用线面垂直的判定和性质，得到平面，进而证得；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，求面DBE和面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，D是AC的中点，∴， ‎ ‎∵平面ABC，∴平面平面ABC，‎ ‎∴平面，∴． ‎ 又∵在正方形中，D，E分别是AC，的中点，易证得∴△A1AD≌△ACE ‎∴∠A1DA=∠AEC, ∵∠AEC+∠CAE=90°，∴∠A1DA+∠CAE=90° ,即．‎ 又，∴平面． ‎ 又，则 ‎ ‎（2）取中点F，以DF，DA，DB为x，y，z轴建立空间直角坐标系 ‎，，，，，‎ ‎，， ‎ 设平面DBE的一个法向量为，‎ 则，‎ 令，则， ‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，‎ 令，则， ‎ 设二面角的平面角为，观察可知为锐角，‎ 故二面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定和应用空间向量求二面角的余弦值，在解题的过程中，注意对角的判定，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.‎ ‎16．在中，D，E分别为AB，AC的中点，，以DE为折痕将折起，使点A到达点P的位置，如图.‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若平面DEP平面BCED，求直线DC与平面BCP所成角的正弦值。‎ ‎【答案】（1）见证明（2）‎ ‎【解析】（1）利用三角形的中位线得到，根据线面平行的判定定理证得；‎ ‎（2）利用面面垂直的性质，得到线线垂直，从而得到建立空间直角坐标系的条件，利用向量法求得线面所成角的正弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）（1）证明：D，E分别为AB，AC的中点，则，‎ 又，，则。 ‎ ‎（2）因为平面平面，平面平面，平面，.‎ 所以平面. 又因为平面，所以. ‎ 以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 在题图1中，设，则，，，.‎ 则，，，.‎ 所以，，. ‎ 设为平面的法向量，‎ 则，即 令，则.所以. ‎ 设DC与平面BCP所成的角为，‎ 则.‎ 所以直线DC与平面BCP所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，面面垂直的性质，利用空间向量解决线面角的问题，属于简单题目.‎ ‎17．已知抛物线过点．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）求过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点A不重合）．设直线AM，AN的斜率分别为，求证：为定值．‎ ‎【答案】(1) (2)见证明 ‎【解析】（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）设直线MN的方程为，代入，利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求得为定值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得，所以抛物线方程为． ‎ ‎（2）设，，直线MN的方程为，‎ 代入抛物线方程得 。‎ 所以，． ‎ 所以,‎ 所以为定值-2．‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关抛物线的问题，涉及到的知识点有抛物线的标准方程的求解，直线与抛物线的位置关系，斜率坐标公式，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.‎ ‎18．已知椭圆C的方程为，为椭圆C的左右焦点，离心率为，短轴长为2。‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）如图，椭圆C的内接平行四边形ABCD的一组对边分别过椭圆的焦点，求该平行四边形ABCD面积的最大值．‎ ‎【答案】(1) (2) 2‎ ‎【解析】（1）由题意可得2b=2，结合椭圆的离心率，求得的值，得到椭圆的方程；‎ ‎（2）求出直线AD与轴垂直时平行四边形ABCD面积的值为，再设出AD所在直线斜率存在时的直线方程，联立直线方程和椭圆方程，求出AD的长度，再求出两平行线间的距离，代入平行四边形面积公式，可得平行四边形ABCD面积小于，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意得2b=2，，解得，‎ 所以椭圆C的方程为。‎ ‎（2）当AD所在直线与轴垂直时，则AD所在直线方程为x=1，‎ 联立，解得y=，‎ 此时平行四边形ABCD的面积S=2； ‎ 当AD所在的直线斜率存在时，设直线方程为y=k(x-1)，‎ 联立，得，‎ 设A()D()，则， ‎ 则，‎ 两条平行线间的距离，则平行四边形ABCD的面积， ‎ 令t=，‎ 则S=，，‎ 开口向下，关于单调递减，则，‎ 综上所述，平行四边形ABCD的面积的最大值为。‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系，有关椭圆的内接平行四边形的面积问题，注意对直线的斜率存在与否进行讨论，属于较难题目.‎ 三、填空题 ‎19．已知命题p: ，若命题p的逆否命题为真命题，则实数m的取值范围为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据原命题和逆否命题是等价的，得到命题p是真命题，不等式恒成立得到判别式小于零，求得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为命题p的逆否命题是真命题，所以命题p是真命题，‎ 得，即，所以实数m的取值范围是，‎ 故答案是：.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是根据命题为真命题求参数的取值范围，涉及到的知识点有原命题和逆否命题等价，二次函数图象的特征与判别式的关系，属于简单题目.‎ ‎20．下图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值满足关系式y=-2x+4，则这样的x值___个．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值，并输出.‎ ‎【详解】‎ 该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，注意对框图进行分析，明确框图的作用，根据题意，建立相应的等量关系式，求得结果.‎ 根据题意，可知该程序的作用是计算分段函数的函数值，‎ 依题意得或或，‎ 解得，所以满足条件的x的值有两个，‎ 故答案是：2.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，注意分析框图的作用，之后建立相应的等量关系式，求得结果，从而得到满足条件的x的个数.‎ ‎21．已知是双曲线C:的左、右焦点，若直线 与双曲线C交于P,Q两点，且四边形是矩形，则双曲线的离心率为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意由矩形的对角线相等建立方程求出的关系即可求出双曲线的离心率.‎ ‎【详解】‎ 由题意，矩形的对角线相等，‎ 代入，‎ 可得，‎ 所以，‎ 整理得：，即，‎ 所以有，‎ 解得（舍去），或，‎ 解得，‎ 故答案是：.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有矩形的对角线相等，直线与双曲线的交点的求解，双曲线中之间的关系，双曲线的离心率，属于较难题目.‎ ‎22．设p是椭圆上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则的取值范围为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先将P点固定于一处，设两圆心分别为，则，且为椭圆的焦点，从而有，结合椭圆的定义，从而求得的范围.‎ ‎【详解】‎ 首先将P点固定于一处，设两圆心分别为，‎ 则，且为椭圆的焦点，‎ 根据圆外一点到与圆上的点的距离的范围可得 ‎，‎ 从而得到，‎ 根据椭圆的定义可知，‎ 所以的取值范围为，‎ 故答案是：.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关原外一点到圆上的点的距离的取值范围以及椭圆的定义，在解题的过程中，注意对椭圆上的点到两焦点的距离之和为定值的应用.‎