2017-2018学年北京市第四中学高二下学期第一次月考数学（理）试题 （解析版）

2017-2018学年北京市第四中学高二下学期第一次月考数学（理）试题 （解析版）

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ 北京四中2017-2018学年下学期高二年级第一次月考卷 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．[2018·咸阳期末]“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 ‎2．[2018·九江一中]已知函数，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3．[2018·林州一中]设椭圆的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与直线相切，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．[2018·咸阳期末]在长方体中，为与的交点，若，，，则下列向量与相等的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．[2018·阜城中学辽宁期末]设函数，曲线在点处的切线方程为，则实数，的值为（ ）‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎6．[2018·闽侯八中]已知圆和点，是圆上一点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．[2018·长春外国语]曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．[2018·孝义期末]是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（ ）‎ A．12 B．13 C．14 D．15‎ ‎9．[2018·林州一中]函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．[2018·淮北一中]抛物线的焦点为，准线为，、是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（ ）‎ A．2 B． C．4 D．1‎ ‎11．[2018·滁州期末]已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则不等式的解集为（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎12．[2018·荆州中学]对，设是关于的方程的实数根，，（符号表示不超过的最大整数）．则（ ）‎ A．1010 B．1012 C．2018 D．2020‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．[2018·东城期末]定积分的值为_________．‎ ‎14．[2018·张家口期末]已知曲线的一条切线的斜率为1，则切点的纵坐标为__________．‎ ‎15．[2018·烟台期末]长方体中，，，，，分别是，的中点，是上的点，，若平面与平面的交线为，则与所成角的余弦值为__________．‎ ‎16．[2018·洛阳期末]若函数图象的对称中心为，记函数的导函数为，则有，设函数，则________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．[2018·江南中学]已知函数，，；‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求在处的切线方程．‎ ‎18．[2018·临沂十八中]求由直线，，及曲线所围成的图形的面积．‎ ‎19．[2018·扬州期末]某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量（万只）与时间（年）（其中）的关系为．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值（其中为常数，且）来进行生态环境分析．‎ ‎（1）当时，求比值取最小值时的值；‎ ‎（2）经过调查，环保部门发现：当比值不超过时不需要进行环境防护．为确保恰好3年不需要进行保护，求实数的取值范围．（为自然对数的底，）‎ ‎20．[2018·闽侯四中]如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点．‎ ‎（1）证明：平面 ‎（2）已知，，求二面角的余弦值．‎ ‎21．[2018·咸阳期末]已知椭圆的一个焦点为，左、右顶点分别为、，经过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）记与的面积分别为和，求关于的表达式，并求出当为何值时有最大值．‎ ‎22．[2018·滁州期末]已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数有两个极值点，，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ 理科数学答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】B ‎【解析】由可得，所以当成立时可得到成立，反之不成立，所以是的必要不充分条件，选B．‎ ‎2．【答案】B ‎【解析】因为，‎ 所以，故选B．‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】由题意，得以为直径的圆与直线相切，则，，即该椭圆的离心率为．故选C．‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】由向量的三角形法则可得，‎ 即，故选A．‎ ‎5．【答案】A ‎【解析】函数的导数为，可得在点处的切线斜率为，切点为，由切线方程，可得，，解得，．故选：A．‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】由圆的方程可知，圆心，半径等于10，设点的坐标为，的垂直平分线交于点，．又，‎ ‎．依据椭圆的定义可得，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，，故椭圆方程为，故选B．‎ ‎7．【答案】D ‎【解析】依题意得，因此曲线在点处的切线的斜率等于，相应的切线方程是，当时，，当时，，‎ ‎∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：，故答案为D．‎ ‎8．【答案】D ‎【解析】双曲线中，，，，，，‎ ‎，，，‎ ‎，所以，故选D．‎ ‎9．【答案】C ‎【解析】在上恒成立，所以，令，，所以当时，，即，选C．‎ ‎10．【答案】D ‎【解析】设，，连接、，由抛物线定义，得，，在梯形中，．‎ 由余弦定理得，，‎ 配方得，，又，‎ ‎，‎ 得到，，即的最大值为1．故选：D．‎ ‎11．【答案】C ‎【解析】设，则，由题可知，当时，即函数在区间上是增函数，由题是定义在上的偶函数，故是上的奇函数，则函数在区间上是增函数，而，；即，，‎ 当时，不等式等价于，由得；‎ 当时，不等式等价于，由，得，故所求的解集为或．故选C．‎ ‎12．【答案】A ‎【解析】设，则，，‎ 记，，‎ 当，是增函数，方程只有一个实根，‎ ‎，，‎ ‎，即，，‎ ‎．故选A．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】0‎ ‎【解析】．‎ ‎14．【答案】2‎ ‎【解析】∵，∴，设切点的坐标为，则，由条件可得，解得，‎ ‎∴切点的纵坐标为．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，设中点为，则．‎ 所以，，，‎ 因此与所成角的余弦值为．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】由题意得，，解得，，因为，即函数的图象关于点对称，‎ 则 ‎，故答案为0．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）．由已知得．····3分 解得，∴．········6分 ‎（2）函数在处的切线方程为，即．····10分 ‎18．【答案】‎ ‎【解析】由，得到或，············3分 则············6分 ‎．········12分 ‎19．【答案】（1）在时取最小值；（2）．‎ ‎【解析】（1）当时，，∴；····2分 列表得：‎ ‎2‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ 单调减 极小值 单调增 ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴在时取最小值；··········6分 ‎（2）∵根据（1）知：在上单调减，在上单调增；············8分 ‎∵确保恰好3年不需要进行保护，∴，············10分 解得，即实数的取值范围为．············12分 ‎20．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，，‎ 由几何关系有：，，，，，，‎ 则直线的方向向量为：，，，‎ 设平面的法向量，则：，‎ 据此可得：平面的一个法向量为，‎ 结合可知：，据此可得：平面．····6分 ‎（2）结合（1）的结论可知：，，，‎ 则平面的一个法向量为．········8分 由平面可知平面的一个法向量为：，····10分 据此可得：，，，‎ 则，‎ 观察可知二面角的平面角为锐角，‎ 故二面角的余弦值为．············12分 ‎21．【答案】（1）椭圆的方程为；（2）当时，有最大值．‎ ‎【解析】（1）∵椭圆的焦点为，∴，········1分 又，∴，············2分 ‎∴椭圆的方程为．············3分 ‎（2）依题意知，设直线方程为，‎ 由消去整理得：，‎ ‎∵直线与椭圆交于，两点，‎ ‎∴，‎ 且，，············6分 由题意得 ‎，············9分 ‎∵，当且仅当，即时等号成立，‎ ‎∴当时，有最大值．············12分 ‎22．【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为；（2）．‎ ‎【解析】（1）时，，定义域为，‎ ‎．············2分 ‎∴时：，时，，‎ ‎∴的单调增区间为，单调减区间为．········4分 ‎（2）函数在上有两个极值点，‎ ‎．‎ 由．得，············6分 当，时，，············7分 ‎，，‎ 由，∴．‎ ‎∴，可得，，········8分 ‎，··9分 令，则，‎ 因为．，，，又．‎ 所以，即时，单调递减，‎ 所以，即，‎ 故实数的取值范围是．············12分