数学理·江西省抚州市崇仁二中2016-2017学年高二上学期期中数学试卷（理科）+Word版含解析x

数学理·江西省抚州市崇仁二中2016-2017学年高二上学期期中数学试卷（理科）+Word版含解析x

‎2016-2017学年江西省抚州市崇仁二中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．完成下列两项调查：‎ ‎①一项对“小彩旗春晚连转四小时”的调查中有10 000人认为这是成为优秀演员的必经之路，有9 000人认为太残酷，有1 000人认为无所谓．现要从中随机抽取200人做进一步调查．‎ ‎②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次是（　　）‎ A．①简单随机抽样，②系统抽样 B．①分层抽样，②简单随机抽样 C．①系统抽样，②分层抽样 D．①②都用分层抽样 ‎2．容量100的样本数据，按从小到大的顺序分8组，如表：‎ 组号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 频数 ‎10‎ ‎13‎ x ‎14‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎9‎ 第三组的频数和频率分别是（　　）‎ A．14和0.14 B．0.14和14 C．和0.14 D．和 ‎3．如图面积为4的矩形ABCD中有一个阴影部分，若往矩形ABCD投掷1000个点，落在矩形ABCD的非阴影部分中的点数为400个，试估计阴影部分的面积为（　　）‎ A．2.2 B．2.4 C．2.6 D．2.8‎ ‎4．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（　　）‎ A．117 B．118 C．118.5 D．119.5‎ ‎5．某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4、9.4、9.4、9.6、9.7，则该射手成绩的方差是（　　）‎ A．0.127 B．0.016 C．0.08 D．0.216‎ ‎6．已知条件p：|x﹣1|＜2，条件q：x2﹣5x﹣6＜0，则p是q的（　　）‎ A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 ‎7．下列说法中错误的个数为（　　）‎ ‎①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；‎ ‎②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；‎ ‎③是的充要条件；‎ ‎④与a=b是等价的；‎ ‎⑤“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分条件．‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎8．若向量（1，0，x）与向量（2，1，2）的夹角的余弦值为，则x为（　　）‎ A．0 B．1 C．﹣1 D．2‎ ‎9．已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），点P（x，﹣1，3）在平面ABC内，则x的值为（　　）‎ A．﹣4 B．1 C．10 D．11‎ ‎10．有40件产品编号1至40，现从中抽取4件检验，用系统抽样的方法确定所抽编号为（　　）‎ A．5，10，15，20 B．2，12，22，32 C．2，11，26，38 D．5，8，31，36‎ ‎11．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为（　　）‎ A．60° B．90° C．45° D．以上都不正确 ‎12．平面α的一个法向量=（1，﹣1，0），则y轴与平面α所成的角的大小为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）‎ ‎13．命题“∃x∈R，x2﹣x+2＞0”的否定：　　．‎ ‎14．已知向量=（cosθ，sinθ，1），=（，﹣1，2），则|2﹣|的最大值为　　．‎ ‎15．若a是从区间[0，10]中任取的一个实数，则方程x2﹣ax+1=0无实解的概率是　　．‎ ‎16．下列命题：‎ ‎①命题“∃x∈R，x2+x+1=0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1≠0”；‎ ‎②若A={x|x＞0}，B={x|x≤﹣1}，则A∩（∁RB）=A；‎ ‎③函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）是偶函数的充要条件是φ=kπ+（k∈Z）；‎ ‎④若非零向量，满足=λ•， =λ（λ∈R），则λ=1．‎ 其中正确命题的序号有　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．已知向量与向量=（2，﹣1，2）共线，且满足•=18，（k+）⊥（k﹣），求向量及k的值．‎ ‎18．一河南旅游团到安徽旅游．看到安徽有很多特色食品，其中水果类较有名气的有：怀远石榴、砀山梨、徽州青枣等19‎ 种，点心类较有名气的有：一品玉带糕、徽墨酥、八公山大救驾等38种，小吃类较有名气的有：符离集烧鸡、无为熏鸭、合肥龙虾等57种．该旅游团的游客决定按分层抽样的方法从这些特产中买6种带给亲朋品尝．‎ ‎（Ⅰ）求应从水果类、点心类、小吃类中分别买回的种数；‎ ‎（Ⅱ）若某游客从买回的6种特产中随机抽取2种送给自己的父母，‎ ‎①列出所有可能的抽取结果；‎ ‎②求抽取的2种特产均为小吃的概率．‎ ‎19．已知命题p：不等式|x﹣1|＞m﹣1的解集为R，命题q：f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求cos（•）的值；‎ ‎（3）求证A1B⊥C1M．‎ ‎21．设M={x|}，N={x|x2+（a﹣8）x﹣8a≤0}，命题p：x∈M，命题q：x∈N．‎ ‎（Ⅰ）当a=﹣6时，试判断命题p是命题q的什么条件；‎ ‎（Ⅱ）求a的取值范围，使命题p是命题q的一个必要但不充分条件．‎ ‎22．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ ‎（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省抚州市崇仁二中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．完成下列两项调查：‎ ‎①一项对“小彩旗春晚连转四小时”的调查中有10 000人认为这是成为优秀演员的必经之路，有9 000人认为太残酷，有1 000人认为无所谓．现要从中随机抽取200人做进一步调查．‎ ‎②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次是（　　）‎ A．①简单随机抽样，②系统抽样 B．①分层抽样，②简单随机抽样 C．①系统抽样，②分层抽样 D．①②都用分层抽样 ‎【考点】分层抽样方法；简单随机抽样．‎ ‎【分析】①的总体数目较多，而且差异很大，符合分层抽样的适用范围；②的总体个数不多，而且差异不大，符合简单随机抽样的适用范围．‎ ‎【解答】解：①一项对“小彩旗春晚连转四小时”的调查中有10 000人认为这是成为优秀演员的必经之路，有9 000人认为太残酷，有1 000人认为无所谓．现要从中随机抽取200人做进一步调查，此项抽查的总体数目较多，而且差异很大，符合分层抽样的适用范围；‎ ‎②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，此项抽查的总体个数不多，而且差异不大，符合简单随机抽样的适用范围．‎ ‎∴宜采用的抽样方法依次是：①分层抽样，②简单随机抽样．‎ 故选；B．‎ ‎　‎ ‎2．容量100的样本数据，按从小到大的顺序分8组，如表：‎ 组号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 频数 ‎10‎ ‎13‎ x ‎14‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎9‎ 第三组的频数和频率分别是（　　）‎ A．14和0.14 B．0.14和14 C．和0.14 D．和 ‎【考点】频率分布表．‎ ‎【分析】由容量100的样本数据知有100个数字，而其他组的数字个数都是已知，得到要求的结果，根据样本容量和本组数据的个数得到本组数据的频率．‎ ‎【解答】解：∵由容量100的样本数据知有100个数字，‎ 而其他组的数字个数都是已知，‎ ‎∴频数为100﹣（10+13+14+14+13+12+90）=14‎ 频率为．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．如图面积为4的矩形ABCD中有一个阴影部分，若往矩形ABCD投掷1000个点，落在矩形ABCD的非阴影部分中的点数为400个，试估计阴影部分的面积为（　　）‎ A．2.2 B．2.4 C．2.6 D．2.8‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】根据若往矩形ABCD投掷1000个点，落在矩形ABCD的非阴影部分中的点数为400个可估计落在阴影部分的概率，而落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积与矩形的面积比，从而可求出所求．‎ ‎【解答】解：根据几何概率的计算公式可得，向距形内随机投掷1000个点，落在矩形ABCD的非阴影部分中的点数为400个，‎ 则落在矩形ABCD的阴影部分中的点数为600个，‎ 设阴影部分的面积为S，落在阴影部分为事件A，‎ ‎∴落在阴影部分的概率P（A）=，解得S=2.4．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（　　）‎ A．117 B．118 C．118.5 D．119.5‎ ‎【考点】茎叶图．‎ ‎【分析】求出22次考试分数最大为98，最小56，可求极差，从小到大排列，找出中间两数为76，76，可求中位数，从而可求此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和．‎ ‎【解答】解：22次考试分数最大为98，最小为56，所以极差为98﹣56=42，‎ 从小到大排列，中间两数为76，76，所以中位数为76．‎ 所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为42+76=118．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4、9.4、9.4、9.6、9.7，则该射手成绩的方差是（　　）‎ A．0.127 B．0.016 C．0.08 D．0.216‎ ‎【考点】极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】先求出其平均值，再利用方差的计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵该射手在一次训练中五次射击的成绩的平均值==9.5；‎ ‎∴该射手成绩的方差s2=+（9.7﹣9.5）2]=0.016．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．已知条件p：|x﹣1|＜2，条件q：x2﹣5x﹣6＜0，则p是q的（　　）‎ A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【考点】充要条件．‎ ‎【分析】通过解不等式，先化简条件p，q，再判断出条件p，q中的数构成的集合间的关系，判断出p是q的什么条件．‎ ‎【解答】解：条件p：|x﹣1|＜2即﹣1＜x＜3，‎ 条件q：x2﹣5x﹣6＜0即﹣1＜x＜6，‎ ‎∵{x|﹣1＜x＜6}⊃{x|﹣1＜x＜3}，‎ ‎∴p是q的充分不必要条件．‎ 故选B ‎　‎ ‎7．下列说法中错误的个数为（　　）‎ ‎①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；‎ ‎②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；‎ ‎③是的充要条件；‎ ‎④与a=b是等价的；‎ ‎⑤“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分条件．‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据真假命题的判断方法和充要条件的定义逐个判断，确定个数．‎ ‎【解答】解：①一个命题的逆命题和它的否命题真假性相同．①正确 ‎②一个命题的否命题和他它本身真假性不一定相同．②错误 ‎③由不等式的基本性质，若则充分性成立，反之，取x=1，y=3，满足，但推不出，必要性不成立．③错误 ‎④⇒a=b，反之易知不成立．④错误 ‎⑤取x=﹣3，满足x≠3，但推不出“|x|≠3 错误⑤‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．若向量（1，0，x）与向量（2，1，2）的夹角的余弦值为，则x为（　　）‎ A．0 B．1 C．﹣1 D．2‎ ‎【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．‎ ‎【分析】本题可以有向量的数量积公式建立方程求参数，由于已知夹角的余弦值为，宜用数量积公式的变形形式建立方程求解．‎ ‎【解答】解：由题意=，∴1+x=，解得x=0‎ 故选A ‎　‎ ‎9．已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），点P（x，﹣1，3）在平面ABC内，则x的值为（　　）‎ A．﹣4 B．1 C．10 D．11‎ ‎【考点】向量在几何中的应用．‎ ‎【分析】利用平面向量的共面定理即可得出．‎ ‎【解答】解：∵点P（x，﹣1，3）在平面ABC内，∴存在实数λ，μ使得等式成立，‎ ‎∴（x﹣4，﹣2，0）=λ（﹣2，2，﹣2）+μ（﹣1，6，﹣8），‎ ‎∴，消去λ，μ解得x=11．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．有40件产品编号1至40，现从中抽取4件检验，用系统抽样的方法确定所抽编号为（　　）‎ A．5，10，15，20 B．2，12，22，32 C．2，11，26，38 D．5，8，31，36‎ ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】根据题意可知，本题所说的用系统抽样的方法所确定的抽样编号间隔应该是=10，观察所给的四组数据即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵根据题意可知，系统抽样得到的产品的编号应该具有相同的间隔，‎ 且间隔是=10．‎ ‎∴只有B符合要求，即后面的数比前一个数大10．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为（　　）‎ A．60° B．90° C．45° D．以上都不正确 ‎【考点】直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】根据本题的条件，E是BB1的中点且AA1=2，AB=BC=1，容易证明∠AEA1=90°，再由长方体的性质容易证明AD⊥平面ABB1A1，从而证明AE⊥平面A1ED1，是一个特殊的线面角．‎ ‎【解答】解：∵E是BB1的中点且AA1=2，AB=BC=1，‎ ‎∴∠AEA1=90°，‎ 又在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，‎ ‎∴A1D1⊥AE，‎ ‎∴AE⊥平面A1ED1，‎ 故选B ‎　‎ ‎12．平面α的一个法向量=（1，﹣1，0），则y轴与平面α所成的角的大小为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】用空间向量求直线与平面的夹角．‎ ‎【分析】设y轴与平面α所成的角的大小为θ，由在y轴上的单位向量和平面α的一个法向量，利用向量法能求出结果．‎ ‎【解答】解：设y轴与平面α所成的角的大小为θ，‎ ‎∵在y轴上的单位向量=（0，1，0），平面α的一个法向量=（1，﹣1，0），‎ ‎∴sinθ=|cos＜，＞|=||=，‎ ‎∴θ=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）‎ ‎13．命题“∃x∈R，x2﹣x+2＞0”的否定：　∀x∈R，x2﹣x+2≤0　．‎ ‎【考点】命题的否定；特称命题．‎ ‎【分析】将量词与结论同时否定，即可得结论．‎ ‎【解答】解：将量词与结论同时否定，可得：∀x∈R，x2﹣x+2≤0‎ 故答案为：∀x∈R，x2﹣x+2≤0‎ ‎　‎ ‎14．已知向量=（cosθ，sinθ，1），=（，﹣1，2），则|2﹣|的最大值为　4　．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数；向量的模．‎ ‎【分析】运用向量的模的公式和数量积的坐标表示，求出向量a，b的模和数量积，再由|2﹣|=化简整理，即可得到最大值．‎ ‎【解答】解：∵向量=（cosθ，sinθ，1），=（，﹣1，2），‎ ‎∴||==，||==2，‎ ‎=cosθ﹣sinθ+2=2﹣2sin（θ﹣）．‎ ‎∴|2﹣|===‎ ‎=，‎ 则sin（θ﹣）=1时，取最大值4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎15．若a是从区间[0，10]中任取的一个实数，则方程x2﹣ax+1=0无实解的概率是　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】根据题意先确定是几何概型中的长度类型，由方程x2﹣ax+1=0无实解，则必须有△＜0，求出构成的区域长度，再求出在区间[0，10]上任取一个数a构成的区域长度，再求两长度的比值．‎ ‎【解答】解：方程x2﹣ax+1=0无实解，‎ 则：△=a2﹣4＜0，‎ 即：（a﹣2）（a+2）＜0，⇒﹣2＜a＜2，‎ 又a≥0，‎ ‎∴0≤a＜2，其构成的区域长度为2，‎ 从区间[0，10]中任取的一个实数a构成的区域长度为10，‎ 则方程x2﹣ax+1=0无实解的概率是=‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．下列命题：‎ ‎①命题“∃x∈R，x2+x+1=0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1≠0”；‎ ‎②若A={x|x＞0}，B={x|x≤﹣1}，则A∩（∁RB）=A；‎ ‎③函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）是偶函数的充要条件是φ=kπ+（k∈Z）；‎ ‎④若非零向量，满足=λ•， =λ（λ∈R），则λ=1．‎ 其中正确命题的序号有　②③　．‎ ‎【考点】命题的否定；命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】①全称命题”的否定一定是“存在性命题”．①错误 ‎②直接求解A∩（CRB），验证．‎ ‎③利用正弦函数的图象与性质，得出应有f（0）=±1，代入求φ，判断正误．‎ ‎④根据向量的数乘运算，求出λ值，判断正误．‎ ‎【解答】解：①∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”．‎ 命题“∃x∈R，x2+x+1=0”的否定应是“∀x∈R，x2+x+1≠0”；①错误．‎ ‎②CRB={x|x＞﹣1}，A={x|x＞0}，∴A∩（CRB）={x|x＞0}=A ②正确．‎ ‎③函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）是偶函数的充要条件是f（x）图象关于y轴对称，‎ 即有f（0）=±1，∴sinφ=±1，φ=kπ+（k∈Z）．③正确．‎ ‎④由已知，非零向量，满足=λ•=λ•（λ）=λ2，λ2=1，λ=±1．④错误．‎ 故答案为：②③．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．已知向量与向量=（2，﹣1，2）共线，且满足•=18，（k+）⊥（k﹣），求向量及k的值．‎ ‎【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ ‎【分析】由已知得存在实数λ，使=λ，由此能求出=2=（4，﹣2，4）．由（k+）⊥（k﹣），得（k2﹣4）||2=0，由此能求出k=±2．‎ ‎【解答】解：∵，共线，∴存在实数λ，使=λ，‎ ‎∴•=λ2=λ||2，解得λ=2．‎ ‎∴=2=（4，﹣2，4）．‎ ‎∵（k+）⊥（k﹣），‎ ‎∴（k+）•（k﹣）=（k+2）•（k﹣2）=0，‎ 即（k2﹣4）||2=0，‎ 解得k=±2．‎ ‎　‎ ‎18．一河南旅游团到安徽旅游．看到安徽有很多特色食品，其中水果类较有名气的有：怀远石榴、砀山梨、徽州青枣等19种，点心类较有名气的有：一品玉带糕、徽墨酥、八公山大救驾等38种，小吃类较有名气的有：符离集烧鸡、无为熏鸭、合肥龙虾等57种．该旅游团的游客决定按分层抽样的方法从这些特产中买6种带给亲朋品尝．‎ ‎（Ⅰ）求应从水果类、点心类、小吃类中分别买回的种数；‎ ‎（Ⅱ）若某游客从买回的6种特产中随机抽取2种送给自己的父母，‎ ‎①列出所有可能的抽取结果；‎ ‎②求抽取的2种特产均为小吃的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先做出各种特色食品的总数，即样本容量，用要抽取的种数6除以总数，得到每个个体被抽到的概率，用概率乘以各种特色食品的总数，得到结果；‎ ‎（Ⅱ）利用列举法列举出从买回的6种特产中随机抽取2种的所有方法，然后找出抽取的2种特产均为小吃的方法种数，直接利用古典概型的概率计算公式计算．‎ ‎【解答】（Ⅰ）因为19+38+57=114，所以从水果类、点心类、小吃类中分别抽取的数目为：‎ ‎，，．‎ 所以应从水果类、点心类、小吃类中分别买回的种数为1，2，3．‎ ‎（Ⅱ）①在买回的6种特产中，3种特色小吃分别记为A1，A2，A3，2种点心分别记为a，b，水果记为甲，‎ 则抽取的2种特产的所有可能情况为：‎ ‎{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，a}，{A1，b}，{A1，甲}，‎ ‎{A2，A3}，{A2，a}，{A2，b}，{A2，甲}，‎ ‎{A3，a}，{A3，b}，{A3，甲}，‎ ‎{a，b}，{a，甲}，{b，甲}，共15种．‎ ‎②记从买回的6种特产中抽取2种均为小吃为事件B，‎ 则事件B的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种，‎ 所以．‎ ‎　‎ ‎19．已知命题p：不等式|x﹣1|＞m﹣1的解集为R，命题q：f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】由绝对值得意义知，p：即 m＜1；由指数函数的单调性与特殊点得，q：即 m＜2．从而求得当这两个命题有且只有一个正确时实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：不等式|x﹣1|＞m﹣1的解集为R，须m﹣1＜0，即p是真 命题，m＜1‎ f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，须5﹣2m＞1即q是真命题，m＜2，‎ 由于p或q为真命题，p且q为假命题，故p、q中一个真，另一个为假命题 ‎ 因此，1≤m＜2．‎ ‎　‎ ‎20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求cos（•）的值；‎ ‎（3）求证A1B⊥C1M．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；空间两点间的距离公式；异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】由直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，由于BCA=90°，我们可以以C为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz．‎ ‎（1）求出B点N点坐标，代入空间两点距离公式，即可得到答案；‎ ‎（2）分别求出向量，的坐标，然后代入两个向量夹角余弦公式，即可得到，＞的值；‎ ‎（3）我们求出向量，的坐标，然后代入向量数量积公式，判定两个向量的数量积是否为0，若成立，则表明A1B⊥C1M ‎【解答】解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz．‎ ‎（1）依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），‎ ‎∴‎ ‎（2）依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）．‎ ‎∴，， ，，‎ ‎∴cos＜‎ ‎（3）证明：依题意得C1（0，0，2），M=（﹣1，1，﹣2），=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴‎ ‎　‎ ‎21．设M={x|}，N={x|x2+（a﹣8）x﹣8a≤0}，命题p：x∈M，命题q：x∈N．‎ ‎（Ⅰ）当a=﹣6时，试判断命题p是命题q的什么条件；‎ ‎（Ⅱ）求a的取值范围，使命题p是命题q的一个必要但不充分条件．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】（Ⅰ）解分式不等式求出M={x|x＜﹣3或x＞5}，当a=﹣6时，解一元二次不等式求出N={x|6≤x≤8}，由此能够得到命题p是命题q的必要不充分条件．‎ ‎（Ⅱ）由M={x|x＜﹣3或x＞5}，N={x|（x﹣8）（x+a）≤0}，命题p是命题q的必要不充分条件，分类讨论能够求出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）M={x|}={x|x＜﹣3或x＞5}，‎ 当a=﹣6时，N={x|x2+（a﹣8）x﹣8a≤0}={x|x2﹣14x+48≤0}={x|6≤x≤8}，‎ ‎∵命题p：x∈M，命题q：x∈N，‎ ‎∴q⇒p，p推不出q，‎ ‎∴命题p是命题q的必要不充分条件．‎ ‎（Ⅱ）∵M={x|x＜﹣3或x＞5}，N={x|（x﹣8）（x+a）≤0}，‎ 命题p是命题q的必要不充分条件，‎ 当﹣a＞8，即a＜﹣8时，N={x|8＜x＜﹣a}，此时命题成立；‎ 当﹣a=8，即a=﹣8时，N={8}，命题成立；‎ 当﹣a＜8，即a＞﹣8时，此时N={﹣a＜x＜8}，故有﹣a＞5，解得a＜﹣5，‎ 综上所述，a的取值范围是{a|a＜﹣5}．‎ ‎　‎ ‎22．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ ‎（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．‎ ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；向量语言表述面面的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角．‎ ‎【分析】首先根据题意以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；‎ ‎（Ⅰ）根据坐标系，求出、、的坐标，由向量积的运算易得•=0， •=0；进而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得证明；‎ ‎（Ⅱ）依题意结合坐标系，可得B、、的坐标，进而求出平面的PBC的法向量与平面PBQ法向量，进而求出cos＜，＞，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案．‎ ‎【解答】解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；‎ ‎（Ⅰ）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）；‎ 则=（1，1，0），=（0，0，1），=（1，﹣1，0），‎ 所以•=0， •=0；‎ 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，‎ 故PQ⊥平面DCQ，‎ 又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；‎ ‎（Ⅱ）依题意，有B（1，0，1），‎ ‎=（1，0，0），=（﹣1，2，﹣1）；‎ 设=（x，y，z）是平面的PBC法向量，‎ 则即，‎ 因此可取=（0，﹣1，﹣2）；‎ 设是平面PBQ的法向量，则，‎ 可取=（1，1，1），‎ 所以cos＜，＞=﹣，‎ 故二面角角Q﹣BP﹣C的余弦值为﹣．‎ ‎　‎ ‎2016年11月20日