【数学】2019届一轮复习人教A版　三角函数问题学案

【数学】2019届一轮复习人教A版　三角函数问题学案

三 角 函 数 第1讲　三角函数问题 题型1　三角函数的图象问题 ‎(对应 生用书第1页)‎ ‎■核心知识储备………………………………………………………………………·‎ ‎1．“五点法”作图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图时，一般先列表，后描点，连线，其中所列表如下：‎ x ‎－ ‎－＋ － ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ ‎2．图象变换 ‎■典题试解寻法………………………………………………………………………‎ ‎【典题1】　(考查三角函数图象的平移变换)‎ ‎(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)‎ A．把C1上各点的横坐标伸长到原 的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B．把C1上各点的横坐标伸长到原 的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C．把C1上各点的横坐标缩短到原 的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D．把C1上各点的横坐标缩短到原 的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ ‎[思路分析]　异名三角函数同名三角函数得结论．‎ ‎[解析]　因为y＝sin＝cos＝cos，所以曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原 的，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x ‎，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2＝cos.故选D.‎ ‎[答案]　D ‎【典题2】　(考查已知三角函数的图象求解析式)(2017·洛阳模拟)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图11所示，已知图象经过点A(0,1)，B，则f(x)＝________. ‎ ‎【导 号：07804000】‎ 图11‎ ‎[思路分析]　由图象得周期T，利用T＝得ω→由特殊点A(0,1)得关于φ的三角方程→利用φ的范围确定φ的值→f(x)．‎ ‎[解析]　由已知得＝，∴T＝，又T＝，∴ω＝3.‎ ‎∵f(0)＝1，∴sin φ＝，又∵0＜φ＜，∴φ＝，‎ ‎∴f(x)＝2sin(经检验满足题意)．‎ ‎[答案]　2sin ‎[类题通法]‎ (1)当原函数与所要变换得到的目标函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，将y＝sin ωx(ω＞0)的图象变换成y＝sin(ωx＋φ)的图象时，只需进行平移变换，应把ωx＋φ变换成ω，根据确定平移量的大小，根据的符号确定平移的方向.‎ (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的确定 ‎①A由最值确定，A＝；‎ ‎②ω由周期确定；‎ (3)φ由图象上的特殊点确定.‎ 通常利用峰点、谷点或零点列出关于φ的方程，结合φ的范围解得φ的值，所列方程如下：‎ 峰点：ωx＋φ＝＋2kπ；谷点：ωx＋φ＝－＋2kπ.,利用零点时，要区分该零点是升零点，还是降零点.‎ 升零点(图象上升时与x轴的交点)：ωx＋φ＝2kπ；‎ 降零点(图象下降时与x轴的交点)：ωx＋φ＝π＋2kπ.(以上k∈Z) ‎■对点即时训练………………………………………………………………………·‎ ‎1．已知函数f(x)＝sin2(ωx)－(ω＞0)的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移a(a＞0)个单位，所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为(　　)‎ A．　 B． C． D． D　[依题意得f(x)＝－＝－cos 2ωx，最小正周期T＝＝，ω＝2，所以f(x)＝－cos 4x，将f(x)＝－cos 4x的图象向右平移a个单位后得到函数g(x)＝－cos[4(x－a)]的图象．又函数g(x)的图象关于原点对称．‎ 因此有g(0)＝－cos ‎4a＝0,‎4a＝kπ＋，k∈Z，即a＝＋，k∈Z，因此正实数a的最小值是，选D.]‎ ‎2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的图象如图12所示，则f 的值为________．‎ 图12‎ ‎1　[根据图象可知，A＝2，＝－，所以周期T＝π，ω＝＝2.‎ 又函数过点，‎ 所以有sin＝1，而0＜φ＜π，‎ 所以φ＝，则f(x)＝2sin，‎ 因此f ＝2sin＝1.]‎ ‎■题型强化集训………………………………………………………………………·‎ ‎(见专题限时集训T3、T5、T11)‎ 题型2　三角函数的性质问题 ‎(对应 生用书第2页)‎ ‎■核心知识储备………………………………………………………………………‎ ‎1．三角函数的单调区间：‎ y＝sin x的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z)；y＝cos x的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；y＝tan x的单调递增区间是(k∈Z)．‎ ‎2．三角函数的对称性 y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z ‎)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．‎ y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．‎ y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．‎ ‎3．三角函数的最值 ‎(1)y＝asin x＋bcos x＋c型函数的最值：‎ 通过引入辅助角φ可将此类函数的最值问题转化为y＝sin(x＋φ)＋c的最值问题，然后利用三角函数的图象和性质求解．‎ ‎(2)y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x型函数的最值：可利用降幂公式sin2x＝，sin xcos x＝，cos2x＝，将y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x转化为y＝Asin 2x＋Bcos 2x＋C，这样就可将其转化为(1)的类型 求最值．‎ ‎■典题试解寻法………………………………………………………………………·‎ ‎【典题1】　(考查三角函数图象的对称性)将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，则g(x)具有性质(　　)‎ A．最大值为1，图象关于直线x＝对称 B．在上单调递增，为奇函数 C．在上单调递增，为偶函数 D．周期为π，图象关于点对称 ‎[解析]　由题意可得将f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位得到g(x)＝cos＝cos＝sin 2x的图象，因为函数g(x)为奇函数，所以排除C，又当x＝时函数值为0，当x＝时，函数值为 ‎，所以A和D中对称的说法不正确，选B.‎ ‎[答案]　B ‎【典题2】　(考查三角函数的值域问题)(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．‎ ‎[解析]　f(x)＝1－cos2x＋cos x－＝－＋1.‎ ‎∵x∈，‎ ‎∴cos x∈[0,1]，‎ ‎∴当cos x＝时，f(x)取得最大值，最大值为1.‎ ‎[答案]　1‎ ‎【典题3】　(考查三角函数的定义域、周期性及单调性的判断)已知函数f(x)＝4tan x·sin·cos－. ‎ ‎【导 号：07804001】‎ ‎(1)求f(x)的定义域与最小正周期；‎ ‎(2)讨论f(x)在区间上的单调性．‎ ‎[解]　(1)f(x)的定义域为.‎ f(x)＝4tan xcos xcos－＝4sin xcos－ ‎＝4sin x－＝2sin xcos x＋2sin2x－ ‎＝sin 2x＋(1－cos 2x)－＝sin 2x－cos 2x＝2sin.‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)令z＝2x－，则函数y＝2sin z的单调递增区间是，k∈Z.‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 设A＝，B＝，易知A∩B＝.‎ 所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．‎ ‎[类题通法]‎ 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路 第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；‎ 第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．‎ ‎■对点即时训练………………………………………………………………………·‎ ‎1．已知函数f(x)＝sin(ωx＋2φ)－2sin φcos(ωx＋φ)(ω＞0，φ∈R)在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)‎ A．(0,2] B． C． D． C　[f(x)＝sin(ωx＋φ＋φ)－2sin φcos(ωx＋φ)＝cos φsin(ωx＋φ)－sin φcos(ωx＋φ)＝sin ωx，＋2kπ≤ωx≤＋2kπ，k∈Z⇒＋≤x≤＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间为，‎ k∈Z，所以＋≤π＜≤＋，k∈Z，由＋≤π，可得＋2k≤ω，k∈Z，由≤＋，k∈Z，可得ω≤1＋，k∈Z，所以＋2k≤ω≤1＋，k∈Z，又≥－π＝，所以≥π，因为ω＞0，所以0＜ω≤2，所以当k＝0时，≤ω≤‎ ‎1.故选C.]‎ ‎2．已知函数f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1的最大值为3，f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝(　　)‎ ‎【导 号：07804002】‎ A．2 468 B．3 501‎ C．4 032 D．5 739‎ C　[f(x)＝cos(2ωx＋2φ)＋＋1.由相邻两条对称轴间的距离为2，知＝2，得T＝4＝，∴ω＝，由f(x)的最大值为3，得A＝2.又f(x)的图象过点(0,2)，∴cos 2φ＝0，∴2φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝＋(k∈Z)，又0＜φ＜，∴φ＝，∴f(x)＝cos＋2＝－sin ＋2.∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝(－1＋2)＋(0＋2)＋(1＋2)＋(0＋2)＋(－1＋2)＋…＋(0＋2)＝2×2 016＝4 032.]‎ ‎■题型强化集训………………………………………………………………………·‎ ‎(见专题限时集训T1、T4、T6、T7、T8、T12、T13、T14)‎ 题型3　三角恒等变换 ‎(对应 生用书第4页)‎ ‎■核心知识储备………………………………………………………………………·‎ ‎1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；‎ ‎(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；‎ ‎(3)tan(α±β)＝.‎ ‎2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin 2α＝2sin αcos α；‎ ‎(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ ‎(3)tan 2α＝.‎ ‎3．辅助角公式 asin x＋bcos x＝sin(x＋φ).‎ ‎■典题试解寻法………………………………………………………………………·‎ ‎【典题1】　(考查给式求角问题)(2014·全国Ⅰ卷)设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)‎ A．3α－β＝ B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ ‎[解析]　法一：(切化弦)由tan α＝得＝，‎ 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，‎ ‎∴sin(α－β)＝cos α＝sin.‎ ‎∵α∈，β∈，‎ ‎∴α－β∈，－α∈，‎ 由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α，‎ ‎∴2α－β＝.‎ 法二：(弦化切)tan α＝＝ ‎＝ ‎＝cot ‎＝tan ‎＝tan，‎ ‎∴α＝kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴2α－β＝2kπ＋，k∈Z.‎ 当k＝0时，满足2α－β＝，故选B.‎ ‎[答案]　B ‎【典题2】　(考查给值求值问题)(2016·江西八校联考)如图13，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α，若|BC|＝1，则cos2－sincos －的值为________. ‎ ‎【导 号：07804003】‎ 图13‎ ‎[解析]　由题意可知|OB|＝|BC|＝1，∴△OBC为正三角形．‎ 由三角函数的定义可知，sin∠AOB＝sin＝，‎ ‎∴cos2－sincos－＝－－＝cos α－sin α＝sin＝.‎ ‎[答案]　 ‎[类题通法]‎ 解决三角函数式的化简求值要坚持“三看”原则：一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分；二是“函数名称”，是需进行“切化弦”还是“弦化切”等，从而确定使用的公式；三看“结构特征”，了解变式或化简的方向.‎ ‎■对点即时训练………………………………………………………………………·‎ ‎1．对于锐角α，若sin＝，则cos＝(　　)‎ A． B． C． D．－ D　[由α为锐角，且sin＝，可得cos＝，那么cos＝cos＝coscos －sinsin ＝，于是cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.故选D.]‎ ‎2．已知tan α＝，tan β＝－，且0＜α＜，＜β＜π，则2α－β的值为________．‎ ‎－　[tan 2α＝＝，‎ 又0＜α＜，所以2α∈，又＜β＜π，‎ 所以2α－β∈(－π，0)，又tan β＝－，则tan(2α－β)＝＝＝1，‎ 故2α－β＝－.]‎ ‎■题型强化集训………………………………………………………………………·‎ ‎(见专题限时集训T2、T9、T10)‎ 三年真题| 验收复习效果 ‎(对应 生用书第4页)‎ ‎1．(2015·全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)‎ A．－　　B.　　C．－　　D. D　[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D.]‎ ‎2．(2016·全国Ⅲ卷)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝(　　)‎ A．　　　　B．　　　　C．1　　　　D． A　[因为tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝.故选A.]‎ ‎3．(2016·全国Ⅱ卷)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　) ‎ ‎【导 号：07804004】‎ A．x＝－(k∈Z)‎ B．x＝＋(k∈Z)‎ C．x＝－(k∈Z)‎ D．x＝＋(k∈Z)‎ B　[将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin 2＝2sin的图象．由2x＋＝kx＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即平移后图象的对称轴为x＝＋(k∈Z)．]‎ ‎4．(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)‎ A．f(x)的一个周期为－2π B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x＋π)的一个零点为x＝ D．f(x)在单调递减 D　[A项，因为f(x)＝cos的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确．‎ B项，因为f(x)＝cos图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，B项正确．‎ C项，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－π，当k＝1时，x＝，所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确．‎ D项，因为f(x)＝cos的递减区间为(k∈Z)，递增区间为(k∈Z)，所以是减区间，是增区间，D项错误．故选D.]‎ ‎5．(2015·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图14所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)‎ ‎【导 号：07804005】‎ 图14‎ A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z D　[由图象知，最小正周期T＝2＝2，‎ ‎∴＝2，∴ω＝π.‎ 由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，‎ ‎∴f(x)＝cos.‎ 由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，得2k－

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