【数学】2018届一轮复习人教A版专题1-4数列与数学归纳法学案

【数学】2018届一轮复习人教A版专题1-4数列与数学归纳法学案

‎【考情动态】‎ 考　点 最新考纲 五年统计 数列的概念和表示方法 ‎ 了解数列的概念和表示方法 (列表、图象、公式)‎ ‎2016浙江13‎ ‎1.等差数列的概念与运算 ‎1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；‎ ‎2.了解等差数列与一次函数.‎ ‎2013浙江文19；理18；‎ ‎2014浙江文19；‎ ‎2015浙江文10,17；理3；‎ ‎2016浙江文8；,理6；‎ ‎2017浙江6.‎ ‎2.等差数列的前n项和 ‎1.掌握等差数列前 n 项和公式及其应用；‎ ‎2.会用数列的等差关系解决实际问题.‎ ‎2013浙江文19；理18；‎ ‎2014浙江文19； ‎ ‎2015浙江理3；‎ ‎2016浙江文8；,理6；‎ ‎2017浙江6.‎ ‎3.等比数列的概念与运算 ‎1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式；‎ ‎2.了解等比数列与指数函数的关系.‎ ‎2013浙江文19；理18；‎ ‎2014浙江理19；‎ ‎2015浙江文10,17；理3；‎ ‎2016浙江文17.‎ ‎4.等比数列前n项和及应用 ‎1.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用；‎ ‎2.会用数列的等比关系解决实际问题.‎ ‎2016浙江文17.‎ ‎5.数列求和 掌握等差数列、等比数列前 n 项和公式及其应用.‎ ‎2016浙江文17‎ ‎2015浙江文17；,理20；‎ ‎2014浙江文19；理19；‎ ‎2013浙江文19；理18.‎ ‎6与数列有关的综合问题 ‎1.理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用.‎ ‎2．了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.‎ ‎3．会用数列的等差关系或等比关系解决实际问题.‎ ‎2017浙江6,22；‎ ‎2016浙江文8;理6,20；‎ ‎2015浙江理20；‎ ‎2014浙江文19；理19.‎ ‎7.数学归纳法 了解数学归纳原理，会用数学归纳法证明简单的数学命题.‎ ‎2017浙江22‎ ‎【热点重温】‎ 热点一 确定数列的通项公式 ‎【典例1】【2018届甘肃省兰州第一中学高三上学期第二次月考】已知正项数列的首项，前n项和为，若以为坐标的点在曲线上，则数列的通项公式为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【对点训练】【2018届辽宁省丹东市五校协作体高三上学期联考】设数列的前n项和为若 且 则的通项公式_______．‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴,‎ ‎∴，即。‎ 又，解得。故。‎ ‎∴数列从第二项起是公比为3的等比数列，故当时， 。‎ ‎∴。‎ 答案： ‎ 点睛：已知求的三个步骤 ‎(1)先利用求出； ‎ ‎(2)用n－1替换中的n得到一个新的关系，利用 (n≥2)便可求出当n≥2时的表达式；‎ ‎(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段 写． ‎ ‎【典例2】【2018届衡水金卷高三大联考理】已知数列与的前项和分别为， ，且， ， ，若恒成立，则的最小值是( )‎ A. B. C. 49 D. ‎ ‎【答案】B 即数列是以3为首项，3为公差的等差数列，所以.‎ 所以.‎ 所以 ‎.‎ 要使恒成立，只需. ‎ 故选B. ‎ ‎【对点训练】已知数列满足， ．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若， ，求证：对任意的， .‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎（Ⅱ）因为， . ‎ 因此.‎ ‎ ‎ 所以，对任意， ． ‎ ‎【考向预测】‎ 关于数列的概念问题，虽然在高考中很少独立命题，但数列的通项公式、猜想、归纳、递推意识却融入数列的试题之中，往往将数列的前n项和与通项综合考查．‎ 热点二 等差数列与等比数列的计算问题 ‎【典例3】【2017课标1，理4】记为等差数列的前项和．若，，则的公差为 A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【答案】C ‎【对点训练】【2017课标3，理9】等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为（ ）‎ A． B． C．3 D．8‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ ‎【典例4】【2017江苏，9】等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则= .‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】当时，显然不符合题意；‎ 当时，，解得，则.‎ ‎【对点训练】【2017课标3，理14】设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设等比数列的公比为 ，很明显 ，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：‎ ‎，由 可得： ，代入①可得，‎ 由等比数列的通项公式可得： . ‎ ‎【典例5】【2017浙江卷6】已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】由，可知当，则，即，反之，，所以为充要条件，选C．[ :学| | ]‎ ‎【对点训练】已知是等差数列的前项和，且，给出下列五个命题：①；②；③；④数列中的最大项为；⑤，其中正确命题的个数为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【考向预测】1.等差数列的性质、通项公式和前n项和公式构成等差数列的重要内容，在历届高考中必考，既有独立考查的情况，也有与等比数列等其它知识内容综合考查的情况．选择题、填空题、解答题多种题型加以考查． ‎ ‎2.等比数列也是高考的常考内容，以等比数列的基本公式及基本运算为基础，可考查单一的等比数列问题，但更倾向于与等差数列或其他内容相结合的问题，其中涉及到方程的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想等．从思维品质上看更讲究思维的灵活性及深刻性．‎ ‎3. 等差(比)数列基本运算的解题思路 ‎（1）设基本量a1和公差d(公比q)．‎ ‎（2）列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．‎ ‎（3）注意应用分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当时，；当时，；在判断等比数列单调性时，也必须对与分类讨论．‎ 热点三 数列的求和 ‎【典例6】【2017课标II，理15】等差数列的前项和为，，，则 。‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【对点训练】【2018届湖南省衡阳县高三12月联考】若曲线在轴的交点处的切线经过点，则数列的前项和__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，得，则切点为 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴曲线在轴的交点处的切线方程为 ‎∵切线经过点 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为 ‎ ‎【典例7】【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】数列满足 ‎.‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，求的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，[ ‎ 由可知.又 ‎∴ ∴，‎ ‎∴，‎ 则，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎【对点训练】【2018届江西省赣州市崇义中学高三上第二次月考】已知数列的前项和为， ， ．等 差数列中， ，且公差．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）是否存在正整数，使得?．若存在，求出的最小值；若 不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）， ；（2）4．‎ ‎【考向预测】数列求和是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，以解答题为主，难度中等或稍难，数列求和问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.考查等差数列的求和多于等比数列的求和，往往在此基础上考查“裂项相消法”、“错位相减法”. ‎ 热点四 数列的综合问题 ‎【典例8】【2018届浙江省镇海中学高三上学期期中】已知数列满足上： ， .‎ ‎（1）若，证明：数列是等差数列；‎ ‎（2）若，判断数列的单调性并说明理由； ‎ ‎（3）若，求证： .‎ ‎【答案】（1）依题意， 恒为常数；（2）见解析；（3）见解析.‎ ‎（3）由，得与异号，由，求和即可证得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意， ，平方得：‎ 恒为常数.‎ ‎（3）‎ ‎， 与异号，‎ ‎， ， ， ， .‎ ‎.‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎【对点训练】【浙江省重点中学2017年12月期末热身联考】已知数列满足： ， .‎ ‎⑴求；‎ ‎⑵证明： ；‎ ‎⑶是否存在正实数，使得对任意的，都有，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在.‎ ‎（2）∵， ‎ ‎∴，则，‎ ‎∴‎ 令，则 ‎ ‎∴{ }是递增数列 ‎∴，即 ‎【典例9】【2018浙届江省台州中学高三上第三次统练】设数列的前项和为， .‎ ‎（1）求证：数列为等差数列，并分别写出和关于的表达式；‎ ‎（2）是否存在自然数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； ‎ ‎（3）设， ，若不等式对恒成立，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用，求得，这是等差数列，故 ‎；（2），这是等差数列，前向和为，故；（3），利用裂项求和法求得，解得，故.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由,得,相减得.‎ 故数列是以为首项,‎ 以公差的等差数列. .‎ ‎（2）由（1）知,‎ ‎,由 ‎,得,即存在满足条件的自然数.‎ ‎【对点训练】【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】在数列中， ， ‎ ‎.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项的和为，试求数列的最小值；‎ ‎（3）求证：当时， .‎ ‎【答案】（1）（2）（3）见解析 ‎【考向预测】数列的综合问题，往往是将数列求和、数列的通项公式与不等式、函数、最值等问题综合起 ，是浙江 高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，以解答题为主，难度往往较大，近几年基本处于最后一道的位置.‎ 热点五 数学归纳法 ‎【典例10】【2017浙江，22】（本题满分15分）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（）．‎ 证明：当时，‎ ‎（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；‎ ‎（Ⅱ）2xn+1− xn≤；[ :学 ]‎ ‎（Ⅲ）≤xn≤．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．‎ ‎（Ⅱ）由得 ‎【对点训练】【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】已知数列满足，，求证：‎ ‎（I）；‎ ‎（II）；‎ ‎（III）.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2) 见解析;(3) 见解析.‎ ‎（II）因为，‎ 所以 所以.‎ ‎（III）因为，所以.‎ 从而.‎ 所以，即.‎ 所以.‎ 又，故.‎ ‎【典例11】【2018届浙江省温州市高三9月一模】已知数列中，，（）．　‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：是等差数列；‎ ‎（3）设，记数列的前项和为，求证： ．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.‎ ‎（2）由，得，‎ 所以，‎ 即，‎ 即，‎ 所以，数列是等差数列．‎ ‎（3）由（2）知，，‎ ‎∴，‎ 因此，‎ 当时，，‎ 即时，，‎ 所以时，，‎ 显然，只需证明，即可．‎ 当时， ．‎ ‎【对点训练】【2018届浙江省部分市学校高三上学期9+1联考】已知数列满足： ， ， .　‎ ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）证明： ；‎ ‎（3）证明： .‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.‎ ‎ ‎ ‎（2）要证，只需证，‎ 只需证其中，‎ 先证，‎ 令， ，只需证.　‎ 因为，‎ 所以在上单调递减，所以. ‎ 再证，‎ 令， ，只需证，‎ ‎，‎ 令， ，则，‎ 所以在上单调递增，所以，‎ 从而，所以在上单调递增，所以，‎ 综上可得.‎ ‎【考向预测】数学归纳法是一种重要的数学方法，其应用主要体现在证明等式、证明不等式、证明整除性问题、归纳猜想证明等．浙江对数学归纳法的考查主要是与数列相结合，命题灵活，突出其选拔功能，难度较大.‎