【数学】2020届一轮复习人教A版第二章第1节函数及其表示学案
第1节 函数及其表示
最新考纲 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段).
知 识 梳 理
1.函数与映射的概念
函数
映射
两个集合
A，B
设A，B是两个非空数集
设A，B是两个非空集合
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
函数y＝f(x)，x∈A
映射：f：A→B
2.函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
[微点提醒]
1.函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射.
2.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.( )
(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )
(3)f(x)＝＋是一个函数.( )
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( )
解析 (1)错误.函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.
(2)错误.值域C⊆B，不一定有C＝B.
(3)错误.f(x)＝＋中x不存在.
(4)错误.若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(必修1P25B2改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
解析 A中函数定义域不是[－2，2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0，2].
答案 B
3.(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( )
A.y＝()2 B.y＝＋1
C.y＝＋1 D.y＝＋1
解析 对于A，函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应法则分别对应相同，是相等函数；对于C，函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域x∈R不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数.
答案 B
4.(2019·珠海期中)已知f(x5)＝lg x，则f(2)＝( )
A.lg 2 B.lg 5 C.lg 2 D.lg 3
解析 令x5＝2，则x＝2，
∴f(2)＝lg 2＝lg 2.
答案 A
5.(2019·河南、河北两省重点高中联考)函数f(x)＝＋ln(x＋4)的定义域为________.
解析 要使f(x)有意义，则解得－4
0，且x≠kπ＋(k∈Z).
∴－1≤x≤1且＋kπ1)，则x＝，
∴f(t)＝lg ，即f(x)＝lg (x>1).
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝2，得c＝2，
f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝2ax＋a＋b＝x－1，
所以即∴f(x)＝x2－x＋2.
(3)在f(x)＝2f ·－1中，
将x换成，则换成x，
得f ＝2f(x)·－1，
由解得f(x)＝＋.
答案 (1)lg(x>1) (2)x2－x＋2 (3)＋
规律方法 求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.
(2)换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(3)构造法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x).
【训练2】 (1)(2018·成都检测)已知函数f(x)＝ax－b(a>0)，且f[f(x)]＝4x－3，则f(2)＝________.
(2)若f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，则f(x)＝________.
解析 (1)易知f[f(x)]＝a(ax－b)－b＝a2x－ab－b，
∴a2x－ab－b＝4x－3(a>0)，
因此解得
所以f(x)＝2x－1，则f(2)＝3.
(2)因为2f(x)＋f(－x)＝3x，①
所以将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②
由①②解得f(x)＝3x.
答案 (1)3 (2)3x
考点三 分段函数 多维探究
角度1 分段函数求值
【例3－1】 (2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f[f(15)]的值为________.
解析 因为函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数f(x)的最小正周期是4.因为在区间(－2，2]上，f(x)＝
所以f(15)＝f(－1)＝，
因此f[f(15)]＝f＝cos ＝.
答案
角度2 分段函数与方程、不等式问题
【例3－2】 (1)设函数f(x)＝若f ＝4，则b＝( )
A.1 B. C. D.
(2)(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f >1的x的取值范围是________.
解析 (1)f ＝3×－b＝－b，
若－b<1，即b>时，
则f ＝f ＝3－b＝4，
解得b＝，不合题意舍去.
若－b≥1，即b≤，则2－b＝4，解得b＝.
(2)当x≤0时，f(x)＋f ＝(x＋1)＋，
原不等式化为2x＋>1，解得－1，该不等式恒成立，
当x>时，f(x)＋f ＝2x＋2x－，
又x>时，2x＋2x－>2＋20＝1＋>1恒成立，
综上可知，不等式的解集为.
答案 (1)D (2)
规律方法 1.根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.
2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
提醒 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.
【训练3】 (1)(2019·合肥模拟)已知函数f(x)＝则f[f(1)]＝( )
A.－ B.2 C.4 D.11
(2)已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)由题意知f(1)＝12＋2＝3，
因此f[f(1)]＝f(3)＝3＋＝4.
(2)当x≥1时，f(x)＝2x－1≥1，
∵函数f(x)＝的值域为R，
∴当x<1时，(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则
解得0≤a<.
答案 (1)C (2)
[思维升华]
1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.
2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.
3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法.
4.分段函数问题要用分类讨论思想分段求解.
[易错防范]
1.复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混.
2.易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数.
3.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.
基础巩固题组
(建议用时：35分钟)
一、选择题
1.函数f(x)＝＋的定义域为( )
A.[0，2) B.(2，＋∞)
C.[0，2)∪(2，＋∞) D.(－∞，2)∪(2，＋∞)
解析 由题意知得所以函数的定义域为[0，2)∪(2，＋∞).
答案 C
2.(2019·郑州调研)如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )
解析 由y与x的关系知，在中间时间段y值不变，只有D符合题意.
答案 D
3.(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )
A.y＝x B.y＝lg x
C.y＝2x D.y＝
解析 函数y＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y＝x，y＝2x的定义域均为R，排除A，C；y＝lg x的值域为R，排除B；D中y＝的定义域、值域均为(0，＋∞).
答案 D
4.设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝( )
A.3 B.6 C.9 D.12
解析 根据分段函数的意义，f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋2＝3.又log212>1，
∴f(log212)＝2(log212)－1＝2log26＝6，
因此f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.
答案 C
5.(2019·西安联考)已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈[m，5]的值域是[－5，4]，则实数m的取值范围是( )
A.(－∞，－1) B.(－1，2]
C.[－1，2] D.[2，5]
解析 f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4.
当x＝2时，f(2)＝4.
由f(x)＝－x2＋4x＝－5，得x＝5或x＝－1.
∴要使f(x)在[m，5]上的值域是[－5，4]，则－1≤m≤2.
答案 C
6.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )
A.y＝ B.y＝
C.y＝ D.y＝
解析 代表人数与该班人数的关系是除以10的余数大于6，即大于等于7时要增加一名，故y＝.
答案 B
7.设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝( )
A.2 B.4 C.6 D.8
解析 由已知得00，则实数a的取值范围为( )
A.(1，＋∞) B.(2，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析 当a＝0时，显然不成立.
当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0等价于a2－2a>0，解得a>2.
当a<0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0等价于－a2－2a<0，解得a<－2.
综上所述，实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞).
答案 D
二、填空题
9.函数f(x)＝ln＋的定义域为________.
解析 要使函数f(x)有意义，
则⇒⇒00，则|log2x|＝，解得x＝2或x＝2－.
故x的集合为.
答案
能力提升题组
(建议用时：15分钟)
13.具有性质：f ＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数：
①y＝x－；②y＝ln ；③y＝
其中满足“倒负”变换的函数是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①
解析 对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足题意；对于②，f(x)＝ln ，则f＝ln ≠－f(x)，不满足；
对于③，f＝
即f＝
则f＝－f(x).
所以满足“倒负”变换的函数是①③.
答案 B
14.(2019·河南八市联考)设函数f(x)＝
若对任意的a∈R都有f[f(a)]＝2f(a)成立，则λ的取值范围是( )
A.(0，2] B.[0，2]
C.[2，＋∞) D.(－∞，2)
解析 当a≥1时，2a≥2.
∴f[f(a)]＝f(2a)＝22a＝2f(a)恒成立.
当a<1时，f[f(a)]＝f(－a＋λ)＝2f(a)＝2λ－a
∴λ－a≥1，即λ≥a＋1恒成立，
由题意λ≥(a＋1)max，∴λ≥2，
综上，λ的取值范围是[2，＋∞).
答案 C
15.已知函数f(x)满足f＝log2，则f(x)的解析式是________.
解析 根据题意知x>0，所以f＝log2x，则f(x)＝log2＝－log2x.
答案 f(x)＝－log2 x
16.已知函数f(x)＝则f[f(x)]<2的解集是________.
解析 当x≥1时，f(x)＝x3＋x≥2，则f[f(x)]<2解集为∅.
当x<1时，f(x)＝2ex－1<2.
所以f[f(x)]<2等价于f(x)<1，则2ex－1<1，得x<1－ln 2.
故f[f(x)]<2的解集为(－∞，1－ln 2).
答案 (－∞，1－ln 2)
